第1頁（共1頁）八年級下思維訓練一（2019、3、8）班級姓名1．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝+．其中正確結論的序號是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④2．如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF．則在點E運動過程中，DF的最小值是．3．在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F，連接AC．（1）如圖1，若∠ADC＝90°，G是EF的中點，連接AG、CG．①求證：BE＝BF．②請判斷△AGC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若∠ADC＝60°，將線段FB繞點F順時針旋轉60°至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結論不必證明）4．提出問題：如圖，在△ABC中，∠A＝90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG連接EG，小亮發現△ABC與△AEG面積相等．小亮思考：這個問題中，如果∠A≠90°，那么△ABC與△AEG面積是否仍然相等？猜想結論：經過研究，小亮認為：上述問題中，對于任意△ABC，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，那么△ABC與△AEG面積相等．證明猜想：（1）請你幫助小亮畫出圖形，并完成證明過程．已知：以△ABC的兩邊AB、AC為邊長分別向外作正方形ABDE、ACFG，連接GE．求證：S△AEG＝S△ABC．結論應用：（2）學校教學樓前的一個六邊形花圃被分成七個部分，分別種上不同品種的花卉，其中四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，且面積分別為9m2、5m2和4m2．求這個六邊形花圃ABIHFE的面積．5．如圖，以△ABC三邊為邊，分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADEF是菱形？請說明理由．（3）當△ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADEF是正方形？不必說出理由．6．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．過點D作DC的垂線，分別交AE、AB于點M、N．（1）若M為AG中點，且DM＝2，求DE的長；（2）求證：AB＝CF+DM．7．如圖，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN∥BC．設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，連接AE、AF．那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．8．（1）如圖1，已知矩形ABCD中，點E是BC上的一動點，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC于點G，CH⊥BD于點H，試證明CH＝EF+EG；（2）若點E在BC的延長線上，如圖2，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC的延長線于點G，CH⊥BD于點H，則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；（3）如圖3，BD是正方形ABCD的對角線，L在BD上，且BL＝BC，連接CL，點E是CL上任一點，EF⊥BD于點F，EG⊥BC于點G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；（4）觀察圖1、圖2、圖3的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線段的關系，并滿足（1）或（2）的結論，寫出相關題設的條件和結論．

參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）1．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝+．其中正確結論的序號是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∵AP⊥AE，∴∠BAE+∠BAP＝90°，又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；∵AE＝AP，AP⊥AE，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，故③正確；∵AE＝AP＝1，∴PE＝AE＝，在Rt△PBE中，BE＝＝＝2，∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE，＝×1×1+××2，＝0.5+，故④正確；過點B作BF⊥AE交AE的延長線于F，∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝×2＝，即點B到直線AE的距離為，故②錯誤，綜上所述，正確的結論有①③④．故選：A．2．如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF．則在點E運動過程中，DF的最小值是1.5．【解答】解：如圖，取AC的中點G，連接EG，∵旋轉角為60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等邊△ABC的對稱軸，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋轉到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根據垂線段最短，EG⊥AD時，EG最短，即DF最短，此時∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案為：1.5．3．在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F，連接AC．（1）如圖1，若∠ADC＝90°，G是EF的中點，連接AG、CG．①求證：BE＝BF．②請判斷△AGC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若∠ADC＝60°，將線段FB繞點F順時針旋轉60°至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結論不必證明）【分析】（1）①先判定四邊形ABCD是矩形，再根據矩形的性質可得∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根據平行線的性質求出∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，再根據DF是∠ADC的平分線，利用角平分線的定義得到∠ADF＝∠FDC，從而得到∠F＝∠BEF，然后根據等角對等邊的性質即可證明；②連接BG，根據等腰直角三角形的性質可得∠F＝∠BEF＝45°，再根據等腰三角形三線合一的性質求出BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG＝CG，再求出∠GAC+∠ACG＝90°，然后求出∠AGC＝90°，然后根據等腰直角三角形的定義判斷即可；（2）連接BG，根據旋轉的性質可得△BFG是等邊三角形，再根據角平分線的定義以及平行線的性質求出AF＝AD，平行四邊形的對角相等求出∠ABC＝∠ADC＝60°，然后求出∠CBG＝60°，從而得到∠AFG＝∠CBG，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG＝CG，全等三角形對應角相等可得∠FAG＝∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG＝120°，再求出∠AGC＝60°，然后根據等邊三角形的判定方法判定即可．【解答】（1）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，∵DF是∠ADC的平分線，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠F＝∠BEF，∴BF＝BE；②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：連接BG，由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∵G是EF的中點，∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，∵∠FAD＝90°，∴AF＝AD，又∵AD＝BC，∴AF＝BC，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∴∠FAG＝∠BCG，又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，即∠GAC+∠ACG＝90°，∴∠AGC＝90°，∴△AGC是等腰直角三角形；（2）連接BG，∵FB繞點F順時針旋轉60°至FG，∴△BFG是等邊三角形，∴FG＝BG，∠FBG＝60°，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AFG＝∠CBG，∵DF是∠ADC的平分線，∴∠ADF＝∠FDC，∵AB∥DC，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，∴△AGC是等邊三角形．4．提出問題：如圖，在△ABC中，∠A＝90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，小亮發現△ABC與△AEG面積相等．小亮思考：這個問題中，如果∠A≠90°，那么△ABC與△AEG面積是否仍然相等？猜想結論：經過研究，小亮認為：上述問題中，對于任意△ABC，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，那么△ABC與△AEG面積相等．證明猜想：（1）請你幫助小亮畫出圖形，并完成證明過程．已知：以△ABC的兩邊AB、AC為邊長分別向外作正方形ABDE、ACFG，連接GE．求證：S△AEG＝S△ABC．結論應用：（2）學校教學樓前的一個六邊形花圃被分成七個部分，分別種上不同品種的花卉，其中四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，且面積分別為9m2、5m2和4m2．求這個六邊形花圃ABIHFE的面積．【解答】（1）證明：①如圖（1），當∠BAC＝90°時，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAC＝∠EAG＝90°，∵在△BAC和△EAG中，∴△BAC≌△EAG（SAS），∴S△AEG＝S△ABC．②如圖（2），當∠BAC＜90°時，過C作CM⊥AB，垂足為M，過G作GN⊥AE，與AE的延長線交于點N．∴∠AMC＝∠ANG＝90°∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∵∠GAN+∠NAC＝∠GAC＝90°，∠MAC+∠NAC＝∠MAN＝90°，∴∠GAN＝∠MAC．∵在△GAN和△CAM中，，∴△AMC≌△ANG（AAS），∴GN＝CM．∵S△AEG＝AE?GN，S△ABC＝AB?CM，∴S△AEG＝S△ABC．③如圖（3），當∠BAC＞90°時，BM⊥CG的延長線與M，EN⊥AG于N，∴∠AMB＝∠ANE＝90°，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝∠GAM＝90°，∴∠BAM＝∠EAN．∵在△BAM和△EAN中，，∴△BAM≌△EAN（AAS），∴BM＝EN．∵S△AEG＝AG?EN，S△ABC＝AC?BM，∴S△AEG＝S△ABC．（2）解：∵正方形ABCD、CIHG、GFED的面積分別為9m2、5m2和4m2，∴DC2＝9m2，CG2＝5m2，DG2＝4m2．∴DC2＝CG2+DG2，∴△DCG是直角三角形，∴∠DGC＝90°．∴S△DCG＝?DG?CG＝×2×＝m2．∵四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，根據上面結論可得：△ADE、△FGH△、△CBI均與△DCG的面積相等，∴六邊形ABIHFE的面積為9+5+4+4×＝（18+4）m2．5．如圖，以△ABC三邊為邊，分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADEF是菱形？請說明理由．（3）當△ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADEF是正方形？不必說出理由．【分析】（1）根據等邊三角形的性質推出∠BCE＝∠FCA＝60°，求出∠BCA＝∠FCE，證△BCA≌△ECF，推出AD＝EF＝AB，同理得出DE＝AF，即可得出答案；（2）根據菱形的判定證出即可；（3）根據正方形的判定證出即可．【解答】（1）證明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等邊三角形，∴AB＝AD，AC＝CF，BC＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACF﹣∠ACE，即∠BCA＝∠FCE，在△BCA和△ECF中，∴△BCA≌△ECF，∴AB＝EF，∵AB＝AD，∴AD＝EF，同理DE＝AF，∴四邊形ADEF是平行四邊形．（2）解：當AB＝AC且∠BAC≠60°時，四邊形ADEF是菱形，理由是：由（1）知：AD＝AB＝EF，AC＝DE＝AF，∵AC＝AB，∴AD＝AF，∵四邊形ADEF是平行四邊形，AD＝AF，∴平行四邊形ADEF是菱形；（3）解：當AB＝AC，∠BAC＝150°時，四邊形ADEF是正方形，理由是：∵四邊形ADEF是平行四邊形，已證：AD＝AF，∠DAF＝90°，∴平行四邊形ADEF是正方形．【點評】本題考查了對平行四邊形、菱形、正方形的判定的理解和運用，同時也運用了等邊三角形性質和全等三角形的性質和判定，題目較好，有一定的難度．6．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．過點D作DC的垂線，分別交AE、AB于點M、N．（1）若M為AG中點，且DM＝2，求DE的長；（2）求證：AB＝CF+DM．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD，∵DF⊥BC，∴DF⊥AD，∵M為AG中點，∴AG＝2DM＝4，∵DN⊥CD，∴∠ADM+∠MDG＝∠MDG+∠EDG，∴∠ADM＝∠EDG，∴∠DAE+∠ADM＝∠DEA+∠EDG，即∠DMG＝∠DGM，∴DG＝DM＝2，在Rt△ADG中，DE＝AD＝＝；（2）證法一：過點A作AD的垂線交DN的延長線于點H，在△ADH和△FDC中，，∴△DAH≌△DFC（ASA），∴AH＝FC，DH＝DC，∵DF⊥AD，∴AH∥DF，∴∠HAM＝∠DGM，∵∠AMH＝∠DMG，∠DMG＝∠DGM，∴∠HAM＝∠HMA，∴AH＝MH，∴MH＝CF，∴AB＝CD＝DH＝MH+DM＝CF+DM．證法二：延長MD到點P，使DP＝CF，連接PE由（1）知AD＝DE，又AD＝DF，∴DF＝DE，∠DFC＝∠EDP＝90°∴Rt△DCF≌Rt△EPD，∴DC＝EP，∠CDF＝∠PED∴PE∥DF，∴∠PEA＝∠DGA，由（1）得∠DGA＝∠DME，∴∠PEA＝∠DME∴PM＝PE，而PM＝DM+DP＝DM+CF，PE＝CD＝AB，∴AB＝DM+FC．證法三：過點A作AH⊥CB于點H，易證△ABH≌△DCF，??從而證得四邊形AHFD為正方形．把△ADG繞點A順時針旋轉90°，得△AHP，∠AHP＝∠AHB＝90°∴P、H、B三點共線∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2，而∠2＝∠HAP，∴∠HAB+∠1＝∠HAB+∠HAP，即∠HAG＝∠PAB∵AH∥DF，∴∠HAG＝∠DGA而∠DGA＝∠APB∴∠PAB＝∠APB∴AB＝PB∵PB＝PH+HB＝DG+FC∴AB＝DM+FC．證法四：在DC上截取DP＝DM，連接PF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD∴∠BAE＝∠DEA，而∠BAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DEA?DA＝DE，?又∠ADF＝∠MDE＝90°，∴∠ADM＝∠EDG，∴△ADM≌△EDG，∴DM＝DG，∴DG＝DP，又AD＝DF，∴DF＝DE，而∠PDF＝∠FDP，∴△PDF≌△GDE，∴∠DPF＝∠DGE，∠DFP＝∠DEG，∴∠CPF＝∠DGM，∵∠DFP+∠CFP＝∠DEG+∠DMG＝90°，∴∠CFP＝∠DMG，而∠DMG＝∠DGM，∴∠CFP＝∠CPF?CF＝CP，而CD＝DP+CP＝DM+CF，AB＝CD，∴AB＝DM+CF．8．如圖，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN∥BC．設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，連接AE、AF．那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．【解答】解：當點O運動到AC的中點（或OA＝OC）時，四邊形AECF是矩形．證明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，同理，FO＝CO