中考數學復習--動點中的隱圓問題

在中考數學中，有一些高頻考題，如線段的最值問題，動點路程問題，幾乎每年各地都會有出現。在這些題目中的圖形中往往沒有出現“圓”，但在解題時卻要用到“圓”的知識點，我們把這樣類型的題目稱之為“隱圓模型”。----看不見的圓

主從聯動（瓜豆原理）隱圓（四點共圓）圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點E與點A重合，DE＝12cm．當點D沿DA方向滑動時，點E同時從點A出發沿射線AF方向滑動．當點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為_______cm．

點C在∠BAF的平分線上運動將軍飲馬構造二次函數

如圖1，已知線段AB，AC，線段AC繞點A在直線AB上方旋轉，連接BC，以BC為邊在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．（1）略（2）略（3）如圖3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，當AD的值最大時，求此時tan∠CBA的值．胡不歸隱圓

胡不歸+定角定邊構造二次函數模型背景定角定邊定角定邊

阿氏圓定角定高

如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若∠MAN＝45°，則MN的最小值為

．定點定長定角定邊如圖，在?ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E為邊CD的中點，F為邊AD上的一動點，將△DEF沿EF翻折得△D′EF，連接AD'，BD'，則△ABD′面積的最小值為

．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，線段CD繞點C在平面內旋轉，過點B作AD的垂線，交射線AD于點E．若CD＝1，則AE的最大值為

，最小值為

．最大張角如圖，已知兩條平行線l1、l2，點A是l1上的定點，AB⊥l2于點B，點C、D分別是l1，l2上的動點，且滿足AC＝BD，連接CD交線段AB于點E，BH⊥CD于點H，則當∠BAH最大時，sin∠BAH的值為

．模型背景三、順應《課程標準》

《課標》課程理念要求：課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本經驗（簡稱“四基”），發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態度和價值觀。模型背景三、順應《課程標準》

課程目標要求：初中階段，核心素養主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識，創新意識。模型背景三、順應《課程標準》課程內容要求：第四學段（7-9年級）掌握（節選）圖形的性質①掌握基本事實：兩點之間線段最短；②理解垂線段的概念；③理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念。模型背景三、順應《課程標準》學業質量標準：第四學段（7-9年級）（節選）知道運動過程的不變量、圖形運動的變化特征，能運用幾何圖形的基本性質進行推理證明。模型背景三、順應《課程標準》學業水平考試：第四學段（7-9年級）（節選）適當提高應用性、探究性和綜合性試題比例，題目設置要注重創新真實情境，提出有意義的問題，實現核心素養導向的義務教育數學課程學業質量的全面考查。

有“圓”

千里來相會，無“圓”對面不相識

尋找圓的“影子”，

使得“圓”形畢露常見的隱圓模型模型1:定點定長型動點P到定點0的距離為d保持不變，則點P的軌跡為以點0為圓心，d為半徑的圓弧.圓的定義:圓是到定點的距離等于定長的點的集合。oPd模型1:定點定長型若AB=AC=AD.則點B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上。1.幾個點到某個定點距離相等可用圓(定點為圓心，相等距離為半徑)模型1:定點定長型1.幾個點到某個定點距離相等可用圓(定點為圓心，相等距離為半徑)例1.如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數為_____.模型1:定點定長型例2.在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=3cm，現有一根長為2cm的木棒EF緊貼著矩形的邊(即兩個端點始終落在矩形的邊上)，按逆時針方向滑動一周，則木棒EF的中點P在運動過程中所圍成的圖形的面積為多少？2.動點到定點距離保持不變的可用圓方法:先確定定點，定點為圓心，動點到定點的距離為半徑。ABDCEFP

ABDCEFP模型1:定點定長型2.動點到定點距離保持不變的可用圓例3.如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF=2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為____分析:PA+PG=PA'+PG≥A'GA'G的最小值為A'D-DG=5-1=4A’一箭穿心模型1:定點定長型3.過定點作折疊的可用圓(定點為圓心，對應點到定點的距離為半徑)例4.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C，則A'C長度的最小值是____【分析】考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'軌跡是以M點為圓心，MA為半徑的圓弧，連接CM，與圓的交點即為所求的A'，此時A'C的值最小，構造直角△MHC，勾股定理求CM，再減去A'M即可.模型1:定點定長型3.過定點作折疊的可用圓(定點為圓心，對應點到定點的距離為半徑)例5.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處則點P到邊AB距離的最小值是

_____.【分析】考慮到將△FCE沿EF翻折得到△

FPE，可得P點軌跡是以F點為圓心，FC為半徑的圓弧:過F點作FH⊥AB,與圓的交點即為所求P點，此時點P到AB的距離最小，由相似或三角函數先求FH，再減去FP，即可得到PH.一箭穿心+垂線段最短模型1:定點定長型例6.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的小值是_______.【分析】F點軌跡是以E點為圓心，EA為半徑的圓，作點D關于BC對稱點D'，連接PD'，PF+PD化為PF+PD'.連接ED'，與圓的交點為所求F點，與BC交點為所求P點，勾股定理先求ED'再減去EF即可D'3.過定點作折疊的可用圓(定點為圓心，對應點到定點的距離為半徑)模型1:定點定長型4.“瓜豆”里的隱圓(主從聯動型，主動點軌跡為圓則從動點的軌跡也是圓)例7.(泰安)如圖，點A，B的坐標分別為A(2，0)，B(0，2)，點C為坐標平面內一點，BC=1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為()

主動點--定點定長型

從動點--定點定長型E(瓜豆)微課

模型1:定點定長型

方法二：作點A關于y軸的對稱點例7.(泰安)如圖，點A，B的坐標分別為A(2，0)，B(0，2)，點C為坐標平面內一點，BC=1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為()

模型1:定點定長型4.“瓜豆”里的隱圓(主從聯動型，主動點軌跡為圓則從動點的軌跡也是圓)例8.如圖，AB=4，0為AB的中點，⊙0的半徑為1，點P是⊙0上一動點，以點P為直角頂點的等腰直角△PBC(點P，B，C按逆時針方向排列)，則線段AC長的取值范圍是

____O'

模型2:直角對直徑原理：圓O中，圓周角是90°所對的弦是直徑。固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A、B、C三點共圓，AB為直徑。ABC（動點）ABC（動點）模型2:直角對直徑例9.在正方形ABCD中，AD=2，E，F分別為邊DC，CB上的點，且始終保持DE=CF，連接AE和DF交于點P，則線段CP的最小值為_____.

模型2:直角對直徑例10.如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是____.

o模型2:直角對直徑例11.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點E，則AE的最小值_____.

模型3:定邊對定角模型解讀定邊對定角微課P(動)固定線段AB所對動角P為定值則點P運動軌跡為過A、B、C三點的圓P(動)原理:弦AB所對同側圓周角恒相等備注:點P在優弧、劣弧上運動皆可模型3:定邊對定角例12.如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P點,則CP的最小值為________.【分析】由BE=CF可推得三角形ABE≌三角形BCF，所以∠APF=60°但∠APF所對的邊AF是變化的:所以考慮∠APB=120°，其對邊AB是定值。所以如圖所示，P點軌跡是以點O為圓心的圓弧。(構造OA=OB且∠AOB=120°)當0、P、C共線時，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再減去OP即可.O模型3:定邊對定角例13.如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一運動的點P從點P向半徑0A引垂線PH交OA于點H，設△OPH的內心為I，當點P在弧AB上從點A運動到點B時，內心I所經過的路徑長為________.C

模型3:定邊對定角例14.如圖，已知以AB為直徑的圓O，C為弧AB的中點，P為弧BC上任意一點，CD垂直CP交AP于D，連接BD，若AB=6.則BD的最小值為_____.

G例14.如圖，已知以AB為直徑的圓O，C為弧AB的中點，P為弧BC上任意一點，CD垂直CP交AP于D，連接BD，若AB=6.則BD的最小值為_____.“瓜豆”分析--構造“雙子型(手拉手模型)”

G方法二:定點定長型模型4:定角夾定高【題型背景】

在一些最值問題中，給定一個角，并且過定角的頂點作對邊的垂線為定值時，也存在最值問題，面對這種問題我們借助“隱圓”進行說明:我們稱這種問題為:“定角夾定高”模型也成“探照燈”模型。主要解決:(1)線段最短問題:(2)面積最小問題。

模型4:定角夾定高

[解題突破點]1.找出“隱圓”——三角形外接圓2.定高過外心(半徑+弦心距>定高)，即AB=AC（等腰三角形）定角定高微課模型4:定角夾定高分析:當高經過外心時，BC最小，此時AB=AC,且∠A=60°，所以ABC為等邊三角形，所以可得BC=6.r

模型4:定角夾定高

F'OHG

模型4:定角夾定高周長的最小值某地舉辦了迎新年大型燈光秀表演．其中一個鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖，若將兩根光線（AB，AC）和光線與城墻的兩交點的連接的線段（BC）看作一個三角形，記為△ABC，那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值，若沒有，說明理由．延長CB至點D，使BD=BA，連接AD，延長BC至點E，使CE=AC，連接AE。DE

解題突破點：AB=AC時，周長最小。OFG模型4:定角夾定高定角夾定中線定角夾定角平分線中線倍長

定邊對定角作雙高

定角夾定高突破點：AB=AC時,△ABC面積有最大值突破點：AB=AC時,△ABC面積有最小值模型5:四點共圓四點共圓的基本圖形ABCDCDBA[對角互補型]如圖，∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，則A、B、C、D四點共圓。[同側等角型]如圖，∠A=∠C，則A、B、C、D四點共圓。模型5:四點共圓

F

模型5：四點共圓o例18.如圖，等邊△ABC中，AB=6，P為AB邊上一動點，PD⊥BC，PE⊥AC，則DE的最小值為____.

模型5：四點共圓2.手拉手(雙子型)中的四點共圓條件:△0