天津市靜海區2024-2025學年高二數學第二學期期末復習檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若是函數的唯一極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示,其中圓的半徑均為,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．3．五個人站成一排，其中甲乙相鄰的站法有（）A．18種 B．24種 C．48種 D．36種4．的展開式中只有第5項二項式系數最大，則展開式中含項的系數是（）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，分別是,的中點，則四面體在平面上的正投影是A． B． C． D．6．設n=0π2A．20 B．-20 C．120 D．-1207．函數的極值點所在的區間為（）A． B． C． D．8．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（）A． B． C． D．9．已知數列為等差數列，且，則的值為A． B．45 C． D．10．如圖，在平面直角坐標系中，質點間隔3分鐘先后從點，繞原點按逆時針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運動，則與的縱坐標之差第4次達到最大值時，運動的時間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘11．已知，的線性回歸直線方程為，且，之間的一組相關數據如下表所示，則下列說法錯誤的為A．變量，之間呈現正相關關系 B．可以預測，當時，C． D．由表格數據可知，該回歸直線必過點12．已知函數f（x）對任意的實數x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．北緯圈上有A，B兩點，該緯度圈上劣弧長為（R為地球半徑），則A，B兩點的球面距離為________.14．已知函數，若，則實數的取值范圍為__________.15．已知定義在上的函數的圖象關于點對稱,,若函數圖象與函數圖象的交點為,則_____．16．已知一組數據，，，的線性回歸方程為，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若，求證：當時，.18．（12分）隨著“互聯網＋交通”模式的迅猛發展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現．某“共享助力單車”運營公司為了解某地區用戶對該公司所提供的服務的滿意度，隨機調查了100名用戶，得到用戶的滿意度評分，現將評分分為5組，如下表：組別一二三四五滿意度評分[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10]頻數510a3216頻率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a，b，c的值；(2)估計用戶的滿意度評分的平均數；(3)若從這100名用戶中隨機抽取25人，估計滿意度評分低于6分的人數為多少？19．（12分）已知復數.（1）若是純虛數，求；（2）若，求.20．（12分）從1、2、3、4、5五個數字中任意取出無重復的3個數字.（I）可以組成多少個三位數？（II）可以組成多少個比300大的偶數？（III）從所組成的三位數中任取一個，求該數字是大于300的奇數的概率.21．（12分）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值．22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數）．（1）將，的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？（2）以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為．若上的點對應的參數為，點在上，點為的中點，求點到直線距離的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：由f（x）的導函數形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根．詳解：∵函數的定義域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函數f（x）的唯一一個極值點∴x=1是導函數f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調遞增的g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減lnk＜x時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增∴g（x）的最小值為g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex圖象，它們切于（1，e），綜上所述，k≤e．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查利用導數研究函數的單調性和最值，考查利用導數研究函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是分析轉化ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點.2、A【解析】該幾何體為一棱長為6的正方體掏掉一個棱長為2的小正方體，再放置進去一個半徑為1的球，所以體積為.故選A.3、C【解析】

將甲乙看作一個大的元素與其他元素進行排列，再乘即可得出結論．【詳解】五個人站成一排，其中甲乙相鄰，將甲乙看作一個大的元素與其他3人進行排列，再考慮甲乙順序為，故共種站法.故選：C.本題考查排列組合的應用，求排列組合常用的方法有：元素優先法、插空法、捆綁法、隔板法、間接法等，解決排列組合問題對學生的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高，本題屬于簡單題.4、C【解析】

根據只有第5項系數最大計算出，再計算展開式中含項的系數【詳解】只有第5項系數最大,展開式中含項的系數,系數為故答案選C本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.5、C【解析】分析：根據正投影的概念判斷即可.詳解：根據正投影的概念判斷選C.選C.點睛：本題考查正投影的概念，需基礎題.6、B【解析】

先利用微積分基本定理求出n的值，然后利用二項式定理展開式通項，令x的指數為零，解出相應的參數值，代入通項可得出常數項的值?！驹斀狻俊遪=0二項式x-1x6令6-2r=0，得r=3，因此，二項式x-1x6故選：B.本題考查定積分的計算和二項式指定項的系數，解題的關鍵就是微積分定理的應用以及二項式展開式通項的應用，考查計算能力，屬于中等題。7、A【解析】

求出導函數，然后運用函數零點存在性定理進行驗證可得所求區間．【詳解】∵，∴，且函數單調遞增．又，∴函數在區間內存在唯一的零點，即函數的極值點在區間內．故選A．本題考查函數零點存在性定理的應用，解答本題時要弄清函數的極值點即為導函數的零點，同時還應注意只有在導函數零點左右兩側的函數值變號時，該零點才為極值點，否則導函數的零點就不是極值點．8、B【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸常為,故選B.9、B【解析】由已知及等差數列性質有，故選B.10、A【解析】

分析：由題意可得：yN=，yM=，計算yM﹣yN=sin，即可得出．詳解：由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M與N的縱坐標之差第4次達到最大值時，N運動的時間=1×12+=17.5（分鐘）．故選A．點睛：本題考查了三角函數的圖象與性質、和差公式、數形結合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．也查到了三角函數的定義的應用，三角函數的定義指的是單位圓上的點坐標和這一點的旋轉角之間的關系.11、C【解析】

A中，根據線性回歸直線方程中回歸系數0.82＞0，判斷x，y之間呈正相關關系；B中，利用回歸方程計算x＝5時的值即可預測結果；C中，計算、，代入回歸直線方程求得m的值；D中，由題意知m＝1.8時求出、，可得回歸直線方程過點（，）．【詳解】已知線性回歸直線方程為0.82x+1.27，0.82＞0，所以變量x，y之間呈正相關關系，A正確；計算x＝5時，0.82×5+1.27＝5.37，即預測當x＝5時y＝5.37，B正確；（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回歸直線方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C錯誤；由題意知m＝1.8時，1.5，2.5，所以回歸直線方程過點（1.5，2.5），D正確．故選C．本題考查了線性回歸方程的概念與應用問題，是基礎題．12、B【解析】

分析可得，即函數是周期為4的周期函數，據此可得，即可求解，得到答案．【詳解】根據題意，函數對任意的實數均有，即，則有，即函數是周期為4的周期函數，則，故選B．本題主要考查了函數的周期的判定及其應用，其中解答中根據題設條件，求得函數的周期是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出北緯圈所在圓的半徑，是、兩地在北緯圈上對應的圓心角，得到線段的長，設地球的中心為，解三角形求出的大小，利用弧長公式求、這兩地的球面距離．【詳解】解：北緯圈所在圓的半徑為，它們在緯度圈上所對應的劣弧長等于為地球半徑），是、兩地在北緯圈上對應的圓心角），故，線段，，、這兩地的球面距離是，故答案為：．本題考查球的有關經緯度知識，球面距離，弧長公式，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于基礎題．14、.【解析】

作出函數f（x）的圖象，設f（a）=f（b）=t，根據否定，轉化為關于t的函數，構造函數，求出函數的導數，利用導數研究函數的單調性和取值范圍即可．【詳解】作出函數f（x）的圖象如圖：設f（a）=f（b）=t，則0＜t≤，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，則f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，則a=lnt，b=（t+1），則a﹣2b=lnt﹣t﹣1，設g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，函數的導數g′（t）=﹣1=，則當0＜t≤時g′（t）＞0，此時函數g（t）為增函數，∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，即實數a﹣2b的取值范圍為（﹣∞，﹣﹣2]，故答案為：（﹣∞，﹣﹣2]．本題主要考查分段函數的應用，涉及函數與方程的關系，利用換元法轉化為關于t的函數，構造函數，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性和最值是解決本題的關鍵．綜合性較強．15、4038.【解析】

由函數圖象的對稱性得：函數圖象與函數圖象的交點關于點對稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數的圖象關于點對稱又函數的圖象關于點對稱則函數圖象與函數圖象的交點關于點對稱則故，即本題正確結果：本題考查利用函數圖象的對稱性來求值的問題，關鍵是能夠根據函數解析式判斷出函數的對稱中心，屬中檔題．16、【解析】

樣本數據的回方程必經過樣本點的中心，該組數據的中心為，代入回歸方程，得到關于的方程.【詳解】設這組數據的中心為，，，，整理得：.本題考查回歸直線方程經過樣本點中心，考查統計中簡單的數據處理能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）依題意，的定義域為，，分類討論可求的單調性；（2）當時，要證明，即證明，只需證明.設，利用導數研究其性質，即可證明詳解：（1）依題意，的定義域為，，（1）當時，，在單調遞減；（2）當時，當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；（3）當時，當時，；當時，；所以在單調遞增，在單調遞減；綜上，當時，在單調遞減；當時，在單調遞減，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.（2）當時，要證明，即證明，因為，所以只需證明，只需證明.設，則，設，則，所以當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；所以，所以當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；所以，所以當時，.點睛：本小題考查導數與函數的單調性、不等式等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想，分類與整合思想等．18、(1)，，；(2)5.88；(3)13.【解析】

（1）由頻數分布表，即可求解表格中的的值；（2）由頻數分布表，即可估計用戶的滿意度平分的平均數；（3）從這100名用戶中隨機抽取25人，由頻數分布表能估計滿意度平分低于6分的人數．【詳解】(1)由頻數分布表得，解得，，；(2)估計用戶的滿意度評分的平均數為：.(3)從這100名用戶中隨機抽取25人，估計滿足一度評分低于6分的人數為：人.本題主要考查了頻數分布表的應用，以及平均數、頻數的求解，其中解答中熟記頻數分布表的性質，合理準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，以及分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．19、（1）；（2）或1-2i.【解析】分析：（1）根據純虛數的定義得到，解不等式組即得a的值.(2)由題得，解之得a的值，再求.詳解：（1）若是純虛數，則，所以（2）因為，所以，所以或.當時，，當時，.點睛：（1）本題主要考查復數的概念、復數的模和共軛復數，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)復數為純虛數不要把下面的b≠0漏掉了.20、(1).（2）比三百大的數字有15個.(3).【解析】分析：（1）根據乘法計數原理可知可組成個個；（2）第一類：以2結尾百位有3種選擇，十位有3種選擇，則有9個，第二類：以4結尾，百位有2種選擇，十位有3種選擇，則共有6個；（3）比300大的數字，百位上有3種選擇，十位上有4種選擇，個位上有3種選擇，則共有36個數字，則奇數共有21個，根據古典概型的計算公式得到結果即可.詳解：（1）百位數字有5種選擇，十位數字有4種選擇，各位數字有3種選擇，根據乘法計數原理可知可組成個三位數。（2）各位數字上有兩類：第一類：以2結尾百位有3種選擇，十位有3種選擇。則有9個數字。第二類：以4結尾，百位有2種選擇，十位有3種選擇，則共有6個數字。則比三百大的數字有15個（3）比300大的數字，百位上有3種選擇，十位上有4種選擇，個位上有3種選擇，則共有36個數字，則奇數共有21個，則該數字是大于300的奇數的概率是.點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．21、（1）,（2）見解析（3）【解析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設,依題意得,,,（1）解：易得,于是所以異面直線與所成