江西省南昌八中、南昌二十三中等四校2024-2025學年數學高二第二學期期末達標測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，，則=()A． B．C． D．2．已知變量，滿足回歸方程，其散點圖如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，3．在同一直角坐標系中，函數且的圖象可能是（）A． B．C． D．4．甲、乙兩位同學將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績均為整數滿分100分），乙同學對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分，則甲同學的平均成績超過乙同學的平均成績的概率為（）A． B． C． D．5．已知是定義在上的函數，且對任意的都有，，若角滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．是虛數單位，則的虛部是（）A．-2 B．-1 C． D．7．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準線于點C，且A、C位于x軸同側，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知，用數學歸納法證明時．假設當時命題成立，證明當時命題也成立，需要用到的與之間的關系式是（）A． B．C． D．9．等差數列的前項和是，且，，則（）A．39 B．91 C．48 D．5110．已知數列，則是這個數列的（）A．第項 B．第項 C．第項 D．第項11．設隨機變量，若，則n=A．3 B．6 C．8 D．912．若全集，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數z＝(i是虛數單位)，則|z|＝________．14．同宿舍的6個同學站成一排照相，其中甲只能站兩端，乙和丙必須相鄰，一共有_____種不同排法（用數字作答）15．觀察如圖等式，照此規律，第個等式為______.16．用反證法證明命題：“定義在實數集上的單調函數的圖象與軸至多只有個交點”時，應假設“定義在實數集上的單調函數的圖象與軸__________”．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）畢業季有位好友欲合影留念，現排成一排，如果：（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？18．（12分）已知函數f(x)=(ax-x（1）若函數f(x)在區間[2,+∞)上單調遞減，求實數a的取值范圍；（2）設f(x)的兩個極值點為x1,?x2?(19．（12分）新高考方案的考試科目簡稱“”，“3”是指統考科目語數外，“1”指在首選科目“物理、歷史”中任選1門，“2”指在再選科目“化學、生物、政治和地理”中任選2門組成每位同學的6門高考科目.假設學生在選科中，選修每門首選科目的機會均等，選擇每門再選科目的機會相等.（Ⅰ）求某同學選修“物理、化學和生物”的概率；（Ⅱ）若選科完畢后的某次“會考”中，甲同學通過首選科目的概率是，通過每門再選科目的概率都是，且各門課程通過與否相互獨立.用表示該同學所選的3門課程在這次“會考”中通過的門數，求隨機變量的概率分布和數學期望.20．（12分）如圖，正方形的邊長為2，點，分別為，的中點，將，分別沿，折起，使，兩點重合于點，連接.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的余弦值.21．（12分）已知函數，.（1）當時，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求實數的取值范圍.22．（10分）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y=ax-3+10（1）求a的值；（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大利潤.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先化簡集合A,B，結合并集計算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關鍵化簡集合A,B，難度較小．2、D【解析】

由散點圖知變量負相關，回歸直線方程的斜率小于1；回歸直線在y軸上的截距大于1．可得答案.【詳解】由散點圖可知，變量之間具有負相關關系．

回歸直線的方程的斜率．

回歸直線在軸上的截距是正數．

故選：D本題考查了散點圖與線性回歸方程的應用問題，是基礎題．3、D【解析】

本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數函數、對數函數的圖象和，結合選項，判斷得出正確結論.題目不難，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時，函數過定點且單調遞減，則函數過定點且單調遞增，函數過定點且單調遞減，D選項符合；當時，函數過定點且單調遞增，則函數過定點且單調遞減，函數過定點且單調遞增，各選項均不符合.綜上，選D.易出現的錯誤有，一是指數函數、對數函數的圖象和性質掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認識函數的單調性.4、C【解析】

首先求得甲的平均數，然后結合題意確定污損的數字可能的取值，最后利用古典概型計算公式求解其概率值即可.【詳解】由題意可得：，設被污損的數字為x，則：，滿足題意時，，即：，即x可能的取值為,結合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.本題主要考查莖葉圖的識別與閱讀，平均數的計算方法，古典概型計算公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、A【解析】

構造新函數，由可得為單調減函數，由可得為奇函數，從而解得的取值范圍.【詳解】解：令因為，所以為R上的單調減函數，又因為，所以，即，即，所以函數為奇函數，故，即為，化簡得，即，即，由單調性有，解得，故選A.本題考查了函數性質的綜合運用，解題的關鍵是由題意構造出新函數，研究其性質，從而解題.6、B【解析】

根據復數的除法運算把復數化為代數形式后可得其虛部．【詳解】由題意得，所以復數的虛部是．故選B．本題考查復數的運算和復數的基本概念，解答本題時容易出現的錯誤是認為復數的虛部為，對此要強化對基本概念的理解和掌握，屬于基礎題．7、C【解析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【詳解】拋物線y2＝4x焦點F（1，0），準線方程l：x＝﹣1，準線l與x軸交于H點，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查相似三角形的性質，考查計算能力，數形結合思想，屬于中檔題．8、C【解析】

分別根據已知列出和，即可得兩者之間的關系式.【詳解】由題得，當時，，當時，，則有，故選C.本題考查數學歸納法的步驟表示，屬于基礎題.9、B【解析】解：由題意結合等差數列的通項公式有：，解得：，數列的前13項和：.本題選擇B選項.10、B【解析】解：數列即：，據此可得數列的通項公式為：，由解得：，即是這個數列的第項.本題選擇B選項.11、D【解析】

根據隨機變量，得到方程組，解得答案.【詳解】隨機變量，解得故答案選D本題考查了二項分布的期望和方差，屬于常考基礎題型.12、C【解析】

分別化簡求解集合U,A，再求補集即可【詳解】因為，，所以.故選：C本題考查集合的運算，考查運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：因為，所以所以本題也可利用復數模的性質進行求解，即考點：復數的模14、【解析】

設甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個整體，與A、B、C三人全排列，然后排甲，甲只能在兩端，有2種站法，利用分步乘法計數原理可求出答案.【詳解】設甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個整體，與A、B、C三人全排列，有種，甲只能在兩端，甲有2種站法，則共有種排法.本題考查了排列組合，考查了相鄰問題“捆綁法”的運用，屬于基礎題.15、.【解析】分析：由題意結合所給等式的規律歸納出第個等式即可.詳解：首先觀察等式左側的特點：第1個等式開頭為1，第2個等式開頭為2，第3個等式開頭為3，第4個等式開頭為4，則第n個等式開頭為n，第1個等式左側有1個數，第2個等式左側有3個數，第3個等式左側有5個數，第4個等式左側有7個數，則第n個等式左側有2n-1個數，據此可知第n個等式左側為：，第1個等式右側為1，第2個等式右側為9，第3個等式右側為25，第4個等式右側為49，則第n個等式右側為，據此可得第個等式為.點睛：歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法．16、至少有個交點【解析】分析：反證法證明命題，只否定結論，條件不變。詳解：命題：“定義在實數集上的單調函數的圖象與軸至多只有個交點”時，結論的反面為“與軸至少有個交點”。點睛：反證法證明命題，只否定結論，條件不變，至多只有個理解為，故否定為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用插空法可求出排法種數；（2）利用捆綁法可求出排法種數；（3）分兩種情況討論：①若在排尾；②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數，由加法原理計算可得出答案.【詳解】（1）將、插入到其余人所形成的個空中，因此，排法種數為；（2）將、兩人捆綁在一起看作一個復合元素和其他人去安排，因此，排法種數為；（3）分以下兩種情況討論：①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；②若不在排尾，則有個位置可選，有個位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個位置即可，此時，共有種排法.綜上所述，共有種不同的排法種數.本題考查了排列、組合的應用，同時也考查了插空法、捆綁法以及分類計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）0,8【解析】

（1）利用導數求出f(x)=(ax-x2)ex??(a≥0)的遞減區間，令[2,+∞)是其子集，利用包含關系列不等式求解即可；（2）f'x=-x2+a-2x+aex,?則x1【詳解】（1）由f(x)=(ax-x2)Δ=(a-2)2-4(-a)=a2+4>0，所以函數f(x)在(-∞,x1]上單調遞減，在(所以要f(x)在[2,+∞)上單調遞減，只需x2=a-2+∴a2+4≤所以所求a的取值范圍是0,8（2）f'x=-x∴x1,?x2是關于又f(xx1x2∴f(x又f(x令t=x2-從而只需-(t+2)+(t-2)et>0令h(t)=-(t+2)+(t-2)et，而h'∴h又ln11≈2.398<2.4=本題是以導數的運用為背景的函數綜合題，主要考查了函數思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數的幾何意義；第二層次是導數的簡單應用，包括求函數的單調區間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式甚至數列及函數單調性有機結合，設計綜合題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）顯然各類別中，一共有種組合，而選修物理、化學和生物只有一種可能，于是通過古典概率公式即可得到答案；（Ⅱ）找出的所有可能取值有0，1，2，3，依次求得概率，從而得到分布列和數學期望.【詳解】解：（Ⅰ）記“某同學選修物理、化學和生物”為事件，因為各類別中，學生選修每門課程的機會均等則，答：該同學選修物理、化學和生物的概率為.（Ⅱ）隨機變量的所有可能取值有0，1，2，3.因為，，，，所以的分布列為0123所以數學期望.本題主要考查分布列和數學期望的相關計算，意在考查學生處理實際問題的能力，對學生的分析能力和計算能力要求較高.20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知易證平面，可得，又由可得證；（Ⅱ）法一：在內過點作于點，可證為所求線面角；法二：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，用空間向量方法求解.【詳解】解：（Ⅰ）∵，，∴平面，又平面，∴.由已知可得，∴平面.（Ⅱ）法一：在內過點作于點.由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，則即為與平面所成角.設與交于點，連接，則，.又平面，平面，，在，，.∴，即與平面所成角的余弦值.法二：以點為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系.則，，，，設，則，解得，于是.又平面的一個法向量為，故.因此，與平面所成角的余弦值.本題考查了線面垂直的證明和線面角的求法，考查了直觀想象能力和數學計算能力，屬于中檔題.21、(1).(2).【解析】

(1)利用分類討論法解絕對值不等式；（2）等價轉化為對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立，再解不等式得解.【詳解】（1）當時，.①當時，原不等式可化為，化簡得，解得，∴；②當時，原不等式可化為，化簡得，解得，∴；③當時，原不等式可化為，