福建泉州市泉港區第一中學2025屆高二下數學期末監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知滿足約束條件，若的最大值為（）A．6 B． C．5 D．2．設隨機變量，若，則等于（）A． B． C． D．3．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機抽取60名高中生做問卷調查，得到以下數據：作文成績優秀作文成績一般總計課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計303060由以上數據，計算得到的觀測值，根據臨界值表，以下說法正確的是()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A．在樣本數據中沒有發現足夠證據支持結論“作文成績優秀與課外閱讀量大有關”B．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為作文成績優秀與課外閱讀量大有關C．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為作文成績優秀與課外閱讀量大有關D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為作文成績優秀與課外閱讀量大有關4．某市組織了一次高二調研考試，考試后統計的數學成績服從正態分布，其密度函數，x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是()A．該市這次考試的數學平均成績為80分B．分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同C．分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同D．該市這次考試的數學成績標準差為105．設向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．06．的展開式中只有第5項二項式系數最大，則展開式中含項的系數是（）A． B． C． D．7．已知集合，，若，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知函數在上單調，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．9．已知函數的圖象與直線有兩個交點，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知方程在上有兩個不等的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．11．如圖，在三棱錐中，側面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為A． B． C． D．12．已知點，則點軌跡方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設,則________.14．已知，，若向量與共線，則在方向上的投影為______.15．已知球的半徑為，為球面上兩點，若之間的球面距離是，則這兩點間的距離等于_________16．已知函數的導函數為，若，則的值為___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知i為虛數單位，m為實數，復數.（1）m為何值時，z是純虛數？（2）若，求的取值范圍.18．（12分）在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在內的選手可以參加復活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計這200名參賽選手的成績平均數；（2）根據已有的經驗，參加復活賽的選手能夠進入第二輪比賽的概率為，假設每名選手能否通過復活賽相互獨立，現有3名選手進入復活賽，記這3名選手在復活賽中通過的人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望．19．（12分）在極坐標系中，極點為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點.求：(1)的值；(2)過點且與直線平行的直線的極坐標方程．20．（12分）甲乙兩個學校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學校全體高三年級學生在該地區一模考試的數學成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數學成績，并作出了頻數分布統計表如下：（1）計算，的值；（2）若規定考試成績在為優秀，請根據樣本估計乙校數學成績的優秀率；（3）若規定考試成績在內為優秀，由以上統計數據填寫下面列聯表，若按是否優秀來判斷，是否有的把握認為兩個學校的數學成績有差異.附：，.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知傾斜角為的直線經過點.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）寫出曲線的普通方程;（2）若直線與曲線有兩個不同的交點，求的取值范圍.22．（10分）已知的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121；(1)求n的值；(2)求展開式中系數最大的項；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：首先繪制不等式組表示的平面區域，然后結合目標函數的幾何意義求解最值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區域如圖所示，結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最大值，聯立直線方程：，可得點A坐標為：，據此可知目標函數的最大值為：.本題選擇A選項.點睛：求線性目標函數z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.2、C【解析】由于,則由正態分布圖形可知圖形關于對稱，故，則，故選C.3、D【解析】分析：根據臨界值表，確定犯錯誤的概率詳解：因為根據臨界值表，9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為作文成績優秀與課外閱讀量大有關．選D.點睛：本題考查卡方含義，考查基本求解能力.4、B【解析】分析：根據密度函數的特點可得：平均成績及標準差，再結合正態曲線的對稱性可得分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同，從而即可選出答案.詳解：密度函數，該市這次考試的數學平均成績為80分該市這次考試的數學標準差為10，從圖形上看，它關于直線對稱，且50與110也關于直線對稱，故分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同.故選B.點睛：本題主要考查了正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，以及利用幾何圖形的對稱性求解.5、A【解析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗證與同向即可得解【詳解】由與平行得，所以，又因為同向平行，所以.故選A本題考查向量共線（平行）的概念，考查計算求解的能力，屬基礎題．6、C【解析】

根據只有第5項系數最大計算出，再計算展開式中含項的系數【詳解】只有第5項系數最大,展開式中含項的系數,系數為故答案選C本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.7、A【解析】由已知得，由，則，又，所以.故選A.8、D【解析】

求得導數，根據在上單調，得出或在上恒成立，分離參數構造新函數，利用導數求得新函數的單調性與最值，即可求解。【詳解】由題意，函數，則，因為，在上單調，所以①當在上恒成立時，在上單調遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數，∴．②當在上恒成立時，在上單調遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．本題主要考查了利用導數研究函數單調性、最值問題，用到了分離參數法求參數的范圍，恒成立問題的處理及轉化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運算能力，屬于偏難題．9、A【解析】

兩個函數圖象的交點個數問題，轉化為方程有兩個不同的根，再轉化為函數零點問題，設出函數，求單調區間，分類討論，求出符合題意的范圍即可．【詳解】解：函數的圖象與直線有兩個交點可轉化為函數有兩個零點，導函數為，當時，恒成立，函數在R上單調遞減，不可能有兩個零點；當時，令，可得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為.令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以.所以的最小值，則m的取值范圍是.故選：本題考查函數零點問題，利用方程思想轉化與導數求解是解決本題的關鍵，屬于中檔偏難題．10、C【解析】

由于恒成立，構造函數，則方程在上有兩個不等的實數根等價于函數在上有兩個不同的零點，利用導數研究函數在的值域即可解決問題。【詳解】由于恒成立，構造函數，則方程在上有兩個不等的實數根等價于函數在上有兩個不同的零點，則，（1）當時，則在上恒成立，即函數在上單調遞增，當時，，，根據零點定理可得只有唯一零點，不滿足題意；（2）當時，令，解得：，令，解得：或，故的單調增區間為，的單調減區間為，①當，即時，則在單調遞增，當時，，，根據零點定理可得只有唯一零點，不滿足題意；②當，即時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，，，，故要使函數在上有兩個不同的零點，則，解得：；綜上所述：方程在上有兩個不等的實數根，則實數的取值范圍為：故答案選C本題考查方程根的個數問題，可轉為函數的零點問題，利用導數討論函數的單調區間以及最值即可解決問題，有一定的綜合性，屬于中檔題。11、A【解析】

取BD中點,可證，為直線AC與底面BCD所成角。【詳解】取BD中點，由，，又側面底面BCD，所以。所以為直線AC與底面BCD所成角。,所以。選A.本題考查線面角，用幾何法求線面角要一作、二證、三求，要有線面垂直才有線面角。12、A【解析】由雙曲線的定義可知：點位于以為焦點的雙曲線的左支上，且，故其軌跡方程為，應選答案A。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

因為,分別令和,即可求得答案.【詳解】令.原式化為.令,得,.故答案為:.本題主要考查了多項式展開式系數和,解題關鍵是掌握求多項式系數和的解題方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.14、【解析】

,由向量與共線，得，解得，則在方向上的投影為，故答案為.15、【解析】

根據球面距離計算出的大小，根據的大小即可計算出之間的距離.【詳解】因為，，所以為等邊三角形，所以.故答案為：.本題考查根據球面距離計算球面上兩點間的距離，難度較易.計算球面上兩點間的距離，可通過求解兩點與球心的夾角，根據角度直接寫出或者利用余弦定理計算出兩點間的距離.16、【解析】

求函數的導函數，令即可求出的值.【詳解】因為令則所以本題主要考查了函數的導數，及導函數求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用復數代數形式的乘法運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求解m的值；（2）由復數的幾何意義，畫出圖形，數形結合得答案【詳解】（1）．當時，即時，z是純虛數；（1）可設復數對應的點為，則由，得，即點在直線上，又，點的軌跡為直線與圓相交的弦，則表示線段上的點到的距離，由圖象可知，當時，距離最小，即點到直線的距離，則由得或，，的取值范圍是.本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，考查復數的代數表示法及其幾何意義，點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，屬于中檔題．18、（1），82；（2）見解析【解析】

（1）由頻率分布直方圖面積和為1，可求得．取每個矩形的中點與概率乘積和求得平均數．（2）由二項分布求得分布列與數學期望．【詳解】1由題意：，估計這200名選手的成績平均數為．2由題意知，XB(3,1/3)，X可能取值為0，1，2，3，，所以X的分布列為

：

X的數學期望為

．本題主要考查隨機變量的分布列和期望，考查獨立性檢驗，意在考查離散型隨機變量的分布列期望和獨立性檢驗等基礎知識的掌握能力，考查學生基本的運算推理能力.19、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）把曲線C1和曲線C2的方程化為直角坐標方程，它們分別表示一個圓和一條直線．利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離為d的值，再利用弦長公式求得弦長|AB|的值．

（2）用待定系數法求得直線l的方程，再根據極坐標方程與直角坐標方程的互化公式求得l的極坐標方程試題解析：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圓心(0,0)到直線的距離為∴．（2）∵曲線的斜率為1，∴過點且與曲線平行的直線的直角坐標方程為，∴直線的極坐標為，即．20、（1），；（2）；（3）有95﹪的把握認為兩個學校數學成績有差異【解析】

（1）由分層抽樣的知識及題中所給數據分別計算出甲校與乙校抽取的人數，可得，的值；（2）計算樣本的優秀率，可得乙校的優秀率；（3）補全列聯表，計算出的值，對照臨界表可得答案.【詳解】解：（1）由題意知，甲校抽取人，則，乙校抽取人，則.（2）由題意知，乙校優秀率為.（3）填表如下表（1）.甲校乙校總計優秀102030非優秀453075總計5550105根據題意，由題中數據得，有95﹪的把握認為兩個學校數學成績有差異.本題主要考查了分層抽樣及頻率分布直方圖的相關知識、獨立性檢驗及其應用，屬于中檔題，注意運算準確.21、(1).(2).【解析】分析：(1)利用極坐標與直角坐標互化的公式可得曲線的普通方程為.(2)聯立直線的參數方程與C的二次方程可得.結合直線參數的幾何意義有.利用三角函數的性質可知的取值范圍是.詳解：(1)由得.將，代入上式中,得曲線的普通方程為.(2)將的參數方程(為參數)代入的方程,整理得.因為直線與曲線有兩個不同的交點，所以,化簡得.又,所以，且.設方程的兩根為,則，，所以,所以.由，