甘肅省隴南市徽縣第二中學2025屆數學高二下期末聯考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知n，，，下面哪一個等式是恒成立的（）A． B．C． D．2．“中國夢”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種3．一個盒子里有7個紅球，3個白球，從盒子里先取一個小球，然后不放回的再從盒子里取出一個小球，若已知第1個是紅球的前提下，則第2個是白球的概率是（）A． B． C． D．4．已知復數，則在復平面內對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．為了落實中央提出的精準扶貧政策，永濟市人力資源和社會保障局派人到開張鎮石橋村包扶戶貧困戶，要求每戶都有且只有人包扶，每人至少包扶戶，則不同的包扶方案種數為（）A． B． C． D．6．命題，則（）A．是真命題，，B．是假命題，，C．是真命題，，D．是假命題，，7．利用數學歸納法證明不等式的過程中，由變成時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項8．有本相同的數學書和本相同的語文書，要將它們排在同一層書架上,并且語文書不能放在一起，則不同的放法數為（）A． B． C． D．9．已知隨機變量，且，則A． B． C． D．10．方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知為自然對數的底數，則函數的單調遞增區間是（）A． B． C． D．12．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則判斷框內應填入的條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高），則由此可推得圓周率的取值為________.14．雙曲線上一點到點的距離為9，則點到點的距離______.15．二項式的展開式中含項的系數為____16．將函數的圖象向左平移個單位，若所得到圖象關于原點對稱，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數的最大值為.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.18．（12分）在數列an中，a（1）求a2（2）猜想an19．（12分）設函數.（1）當時，求的極值；（2）當時，證明：.20．（12分）已知函數.（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，三棱錐中，，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）已知數列滿足，（1）求，并猜想的通項公式；（2）用數學歸納法證明(1)中所得的猜想．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用排列數、組合數公式以及組合數的性質可對各選項中的等式的正誤進行判斷.【詳解】由組合數的定義可知，A選項錯誤；由排列數的定義可知，B選項正確；由組合數的性質可知，則C、D選項均錯誤.故選B.本題考查排列數、組合數的定義以及組合數的性質的應用，意在考查對這些公式與性質的理解應用，屬于基礎題.2、C【解析】從其他5個字母中任取4個,然后與“”進行全排列,共有,故選B.3、B【解析】分析：設已知第一次取出的是紅球為事件，第二次是白球為事件，先求出的概率，然后利用條件概率公式進行計算即可．詳解：設已知第一次取出的是紅球為事件，第二次是白球為事件．

則由題意知，所以已知第一次取出的是白球，則第二次也取到白球的概率為．

故選：B．點睛：本題主要考查條件概率的求法，熟練掌握條件概率的概率公式是關鍵．4、C【解析】分析：詳解：復數，-1-i,對應的點為（-1，-1）是第四象限點.故答案為：C.點睛：本題考查了復數的運算法則、復數相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題,復數問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數的對應關系，點的象限和復數的對應關系，復數的加減乘除運算，復數的模長的計算.5、C【解析】

先分組再排序，可得知這人所包扶的戶數分別為、、或、、，然后利用分步計數原理可得出所求方案的數目.【詳解】由題意可知，這人所包扶的戶數分別為、、或、、，利用分步計數原理知，不同的包扶方案種數為，故選C.本題考查排列組合的綜合問題，考查分配問題，求解這類問題遵循先分組再排序的原則，再分組時，要注意平均分組的問題，同時注意分步計數原理的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、C【解析】分析：根據命題真假的判斷和含有量詞的命題的否定，即可得到結論.詳解：，恒成立是真命題，，故選C.點睛：本題考查命題真假的判斷，含有量詞的命題的否定關系的應用.7、D【解析】

分別寫出、時，不等式左邊的式子，從而可得結果.【詳解】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，則增加了項，故選D.項數的變化規律，是利用數學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規律；二是相鄰兩項之間的變化規律.8、A【解析】由題意，故選A．點睛：本題是不相鄰問題，解決方法是“插空法”，先把數學書排好（由于是相同的數學書，因此只有一種放法），再在數學書的6個間隔（含兩頭）中選3個放語文書（語文書也相同，只要選出位置即可），這樣可得放法數為，如果是5本不同的數學書和3本不同的語文書，則放法為．9、B【解析】

根據正態分布的對稱性即可得到答案.【詳解】由于，故選B.本題主要考查正態分布中概率的計算，難度不大.10、A【解析】

將橢圓方程化為標準方程，根據題中條件列出關于的不等式，解出該不等式可得出實數的取值范圍.【詳解】橢圓的標準方程為，由于該方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，因此，實數的取值范圍是，故選A.本題考查橢圓的標準方程，考查根據方程判斷出焦點的位置，解題時要將橢圓方程化為標準形式，結合條件列出不等式進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.11、A【解析】因，故當時，函數單調遞增，應選答案A。12、A【解析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以條件為k＞5，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

根據圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高）,可得,進而可求出的值【詳解】解:設圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結合方程的思想即可求出結果.14、或【解析】

先根據雙曲線方程求出焦點坐標，再結合雙曲線的定義可得到，進而可求出的值，得到答案.【詳解】雙曲線，，，，和為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，，解或，，或，故答案為：或.本題主要考查的是雙曲線的定義，屬于基礎題.求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根據兩點間距離公式可求結果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據求解，注意對所求結果進行必要的驗證，負數應該舍去，且所求距離應該不小于.15、【解析】分析：根據二項式定理的通項公式，寫出的系數．詳解：所以，當時，所以系數為．點睛：項式定理中的具體某一項時，寫出通項的表達式，使其滿足題目設置的條件．16、【解析】分析：先根據圖像平移得解析式，再根據圖像性質求關系式，解得最小值.詳解：因為函數的圖象向左平移個單位得，所以因為，所以點睛：三角函數的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2（2）2【解析】

試題分析：（1）根據絕對值定義，將函數化為分段函數形式，分別求各段最大值，最后取各段最大值的最大者為的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.試題解析：（1）由于當時，，當時，，當時，所以.（2）由已知,有，因為(當時取等號)，(當時取等號)，所以，即，故的最大值為2.18、（1）4，9，16；（2）an【解析】

（1）根據數列遞推關系，把n=1,2,3分別代入，求出a2（2）先假設n=k時，ak=k【詳解】（1）∵a1=1，∴a2故a2,a（2）由（1）猜想an①當n=1時，a1②設n=k時，猜想成立，即ak則當n=k+1時，ak+1即當n=k+1時猜想也成立，由①②可知，猜想成立，即an運用數學歸納法證明命題時，要求嚴格按照從特殊到一般的思想證明，特別是歸納假設一定要用到，否則算是沒有完成證明.19、（1）當，取得極小值；當時，取得極大值；（2）見解析.【解析】【試題分析】(1)當時,利用導數寫出函數的單調區間,進而求得函數的極值.(2)當時,化簡原不等式得,分別利用導數求得左邊對應函數的最小值,和右邊對應函數的最大值,最小值大于最大值,即可證明原不等式成立.【試題解析】（1）當時，，，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減．所以，當，取得極小值；當時，取得極大值．（2）證明：當時，，，所以不等式可變為．要證明上述不等式成立，即證明．設，則，令，得，在上，，是減函數；在上，，是增函數．所以．令，則，在上，，是增函數；在上，，是減函數，所以，所以，即，即，由此可知．【點睛】本小題主要考查函數導數與極值的求法.考查利用導數證明不等式成立的問題.求函數極值的基本步驟是:首先求函數的定義域,其次對函數求導,求導后一般需要對導函數進行通分和因式分解,然后求得導函數的零點,即原函數的極值點,結合圖象判斷函數的單調區間,并得出是最大值還是最小值.20、（I）；（II）.【解析】分析：(1)先求切線的斜率和切點的坐標，再求切線的方程.(2)分類討論求，再解≥0，求出實數a的取值范圍.詳解：（Ⅰ）當時，，，，即曲線在處的切線的斜率為，又，所以所求切線方程為.（Ⅱ）當時，若不等式恒成立，易知，①若，則恒成立，在上單調遞增；又，所以當時，，符合題意.②若，由，解得，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以時，函數取得最小值.則當，即時，則當時，，符合題意.當，即時，則當時，單調遞增，，不符合題意.綜上，實數的取值范圍是.點睛：（1）本題主要考查導數的幾何題意和切線方程的求法，考查利用導數求函數的最小值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.(2)解答第2問由兩次分類討論，第一次是分類的起因是解不等式時，右邊要化成，由于對數函數定義域的限制所以要分類討論，第二次分類的起因是是否在函數的定義域內,大家要理解掌握.21、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取AB的中點D，連結PD，CD．推導出AB⊥PD，AB⊥CD，從而AB⊥平面PCD，由此能證明AB⊥PC．（2）作PO⊥CD交CD于O，作PE⊥BC，連結OE．推導出PO⊥AB，從而PO⊥平面ABC，由三垂線定理得OE⊥BC，從而∠PEO是所求二面角P﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【詳解】（1）取的中點，連結，.因為，，所以，，所以平面，因為平面，所以.（2）作交于，又由PO⊥AB，所以PO⊥平面ABC，作，連結，根據三垂線定理，可得，所以是所求二面角的平面角，求得，，在直角中，則，所以．本題主要考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考