北京市西城區(qū)2024-2025學年數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合,,,則集合中元素的個數(shù)為()A． B． C． D．2．若，則復數(shù)在復平面上對應的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設隨機變量，若，則（）A． B． C． D．4．《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的體積為（）A．2 B．4 C． D．5．設P，Q分別是圓和橢圓上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A． B．C． D．6．若函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B． C． D．7．設集合，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對稱中心坐標為（）A． B．C． D．9．①線性回歸方程對應的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于；③在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若位于區(qū)域內(nèi)的概率為，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為；④對分類變量與的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，判斷“與有關系”的把握越大．其中真命題的序號為()A．①④ B．②④ C．①③ D．②③10．設集合，．若，則()A． B． C． D．11．為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，則函數(shù)有唯一零點的充要條件是（）A．或或 B．或C．或 D．或12．點A、B在以PC為直徑的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面積是24π，則異面直線PB和AC所成角余弦值為（）A．33 B．32 C．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：_____________________.(寫出一條即可)14．若向量，，且，則實數(shù)__________．15．____．16．二項式的展開式中含項的系數(shù)為____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）對于函數(shù)y=fx，若關系式t=fx+t中變量t是變量x的函數(shù)，則稱函數(shù)y=fx為可變換函數(shù).例如：對于函數(shù)fx=2x，若t=2x+t，則t=-2x，所以變量t（1）求證：反比例函數(shù)gx=（2）試判斷函數(shù)y=-x3（3）若函數(shù)hx=logbx為可變換函數(shù)19．（12分）如圖，圓錐的軸截面為等腰為底面圓周上一點．（1）若的中點為，求證：平面；（2）如果，求此圓錐的體積；（3）若二面角大小為，求.20．（12分）已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝1．（Ⅰ）若∠BAC的平分線與邊BC交于點D，求；（Ⅱ）若點E為BC的中點，當取最小值時，求△ABC的面積．21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓：的離心率是，以的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積是.（1）求的方程；（2）直線與交于，兩點，是上一點，，若四邊形是平行四邊形，求的坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意可得出：從,,任選一個；或者從,任選一個；結(jié)合題中條件,確定對應的選法，即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)條件得：從,,任選一個,從而,,任選一個,有種選法；或時,,有兩種選法；共種選法；C中元素有個．故選A．本題主要考查列舉法求集合中元素個數(shù)，熟記概念即可，屬于基礎題型.2、D【解析】分析：利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判定復數(shù)的實部大于零，虛部小于零，從而可得結(jié)果.詳解：因為，，所以復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，故選D.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.3、A【解析】

根據(jù)對立事件的概率公式，先求出，再依二項分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】，即，所以，，故選A．本題主要考查二項分布的期望公式，記準公式是解題的關鍵．4、A【解析】

根據(jù)三視圖的特點可以分析該物體是一個直三棱柱，即可求得體積.【詳解】由三視圖可得該物體是一個以側(cè)視圖為底面的直三棱柱，所以其體積為.故選：A此題考查三視圖的認識，根據(jù)三視圖求幾何體的體積，關鍵在于準確識別三視圖的特征.5、C【解析】

求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離.【詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設，則，即，∴當時，，故的最大值為.故選C.本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外任意一點到圓的最大距離是這個點到圓心的距離與圓的半徑之和，根據(jù)圓外點在橢圓上，即可列出橢圓上一點到圓心的距離的解析式，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點到圓上一點的最大值.6、A【解析】分析：運用奇函數(shù)的定義，可得，再計算即可詳解：函數(shù)為奇函數(shù)，故選點睛：本題主要考查的是奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)的應用，屬于基礎題。根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解題的關鍵7、B【解析】分析：先根據(jù)解分式不等式得集合N，再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關系，以及根據(jù)交集定義求交集.詳解：因為，所以,因此，，選B.點睛：集合的基本運算的關注點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖．8、D【解析】

試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對稱中心坐標為.考點：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.三角函數(shù)圖像的性質(zhì).【方法點睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1．首先確定振幅和周期，從而得到與；2．求的值時最好選用最值點求，峰點：，；谷點：，，也可用零點求，但要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點，升零點(圖象上升時與軸的交點)：，；降零點(圖象下降時與軸的交點)：，．9、D【解析】對于①，因為線性回歸方程是由最小二乘法計算出來的，所以它不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點，一定經(jīng)過，故錯誤；對于②，根據(jù)隨機變量的相關系數(shù)知，兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1，故正確；對于③，變量服從正態(tài)分布，則，故正確；對于④，隨機變量的觀測值越大，判斷“與有關系”的把握越大，故錯誤.故選D.點睛：在回歸分析中易誤認為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實質(zhì)上回歸直線方程必過點，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點都不在直線上.10、C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故選C11、A【解析】

作出函數(shù)的圖像如圖所示，其中，則，設直線與曲線相切，則，即，設，則，當時，，分析可知，當時，函數(shù)有極大值也是最大值，，所以當時，有唯一解，此時直線與曲線相切．分析圖形可知，當或或時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像只有一個交點，即函數(shù)有唯一零點．故選.本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的處理方法，考查利用導數(shù)求相切時斜率的方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.首先畫出函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的圖象注意分界點的位置是實心的函數(shù)空心的.然后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點來解決.12、C【解析】

首先作出圖形，計算出球的半徑，通過幾何圖形，找出異面直線PB和AC所成角，通過余弦定理即可得到答案.【詳解】設球O的半徑為R,則4πR2=24π，故R=6，如圖所示：分別取PA,PB,BC的中點M,N,E，連接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因為E為BC的中點，則AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M本題主要考查外接球的相關計算，異面直線所成角的計算.意在考查學生的空間想象能力，計算能力和轉(zhuǎn)化能力，難度較大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、尋找異常點，考查相應的樣本數(shù)據(jù)是否有錯【解析】

分析殘差是回歸診斷的一部分，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中的錯誤，分析模型選擇是否合適．【詳解】分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：尋找異常點，考查相應的樣本數(shù)據(jù)是否有錯；故答案為：尋找異常點，考查相應的樣本數(shù)據(jù)是否有錯．本題考查線性回歸方程中殘差的作用，是基礎題．14、.【解析】依題設，，由∥得，，解得.15、【解析】

分別求得和的值，相加求得表達式的結(jié)果.【詳解】由于表示圓心在原點，半徑為的圓的上半部分，故..故原式.本小題主要考查利用幾何意義計算定積分的值，考查定積分的計算，屬于基礎題.16、【解析】分析：根據(jù)二項式定理的通項公式，寫出的系數(shù)．詳解：所以，當時，所以系數(shù)為．點睛：項式定理中的具體某一項時，寫出通項的表達式，使其滿足題目設置的條件．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由函數(shù)求出導數(shù)，由區(qū)間上為減函數(shù)得到恒成立，通過分離參數(shù)，求函數(shù)最值得到的范圍（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，首先通過函數(shù)導數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，進而求出最值，在求單調(diào)區(qū)間時注意對參數(shù)分情況討論試題解析：（1）因為函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以對恒成立即對恒成立（2）因為當時，不等式恒成立，即恒成立，設，只需即可由①當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立②當時，令，因為，所以解得1）當，即時，在區(qū)間上，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上無最大值，不合題設．2）當時，即時，在區(qū)間上；在區(qū)間上．函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，同樣在無最大值，不滿足條件．③當時，由，故，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立綜上所述，實數(shù)的取值范圍是考點：1．不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化；2．利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性最值18、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【解析】分析：（1）利用反證法，假設gx是可變換函數(shù)，t=gx+t=kx+t?t2+tx-k=0，利用關變量t的一元二次方程無解但導出矛盾，從而可得結(jié)論；（2）利用φt=-tht=t+x3必須有交點，而φt連續(xù)且單調(diào)遞減，值域為R，ht連續(xù)且單調(diào)遞增，值域為R詳解：（1）假設gx是可變換函數(shù)，則t=g因為變量x是任意的，故當Δ=x2+4k<0則與假設矛盾，故原結(jié)論正確，得證；（2）若y=-x3是可變換函數(shù)，則則有關t的兩個函數(shù)：φt=-tht=ht連續(xù)且單調(diào)遞增，值域為R，所以這兩個函數(shù)φt與即：變量t是變量x的函數(shù)，所以y=-x（3）函數(shù)hx=log若b>1，則t恒大于logb若0<b<1，則y=ty=logbt+x點睛：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.本題定義“可變換函數(shù)”達到考查函數(shù)性質(zhì)的目的.19、（1）證明見解析（2）（3）60°【解析】

（1）連接、，由三角形中位線定理可得，由圓周角定理我們可得，由圓錐的幾何特征，可得，進而由線面垂直的判定定理，得到平面，則，結(jié)合及線面垂直的判定定理得到平面；（2）若，易得，又由，我們求出圓錐的底面半徑長及圓錐的高，代入圓錐體積公式，即可得到圓錐的體積；（3）作于點，由面面垂直的判定定理可得平面，作于點，連，則為二面角的平面角，根據(jù)二面角的大小為，設，，進而可求出的大小【詳解】（1）如圖：連接、，因為為的中點，所以．因為為圓的直徑，所以，．因為平面，所以，所以平面，．又，，所以平面．（2），，，又，，．（3）作于點，平面平面且平面平面平面．再作于點，連，為二面角的平面角如圖：，．設，，，，，，，．，解得，本題考查線面垂直的判定定理，圓錐體積的求法，二面角的作法與求法，解題關鍵（1）在于能利用線面垂直與線線垂直相互轉(zhuǎn)化，（2）在于結(jié)合幾何關系求出底面半徑，（3）在于能正確作出二面角，能用三角函數(shù)基本定義表示基本線段關系，屬于中檔題20、（Ⅰ）0（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）先利用基向量表示出，然后利用數(shù)量積進行運算；（Ⅱ）先利用基向量表示出，求出取最小值時，角的正弦值，然后可得面積.【詳解】（Ⅰ）∵AD是∠BAD的角平分線，∴，即∴．∴0.（Ⅱ）∵點E為BC