北京市西城區第四中學2024-2025學年數學高二第二學期期末統考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量X~Bn,p，且EX=2.4,DA．6，0.4. B．8，0.3 C．12，0.2 D．5，0.62．已知函數，則的大致圖像是（）A． B． C． D．3．已知甲在上班途中要經過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為，兩個路口連續遇到紅燈的概率為，則甲在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率為（）A． B． C． D．4．設集合，則（）A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]5．在《九章算術）方田章圓田術（劉徽注）中指出：“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無所失矣．”注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值，這可以通過方程確定出來，類似地，可得的值為（）A． B． C． D．6．如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為形（每次旋轉90°仍為形的圖案），那么在個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的形需案的個數是（）A．36 B．64 C．80 D．967．定義運算，，例如，則函數的值域為（）A． B． C． D．8．數學歸納法證明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．19．函數的定義域為，導函數在內的圖象如圖所示．則函數在內有幾個極小值點（）A．1 B．2 C．3 D．410．為了弘揚我國優秀傳統文化，某中學廣播站在春節、元宵節、清明節、端午節、中秋節五個中國傳統節日中，隨機選取兩個節日來講解其文化內涵，那么春節和端午節恰有一個被選中的概率是（）A． B． C． D．11．設等差數列{}的前項和為，若，則=A．20 B．35 C．45 D．9012．甲、乙兩支女子曲棍球隊在去年的國際聯賽中，甲隊平均每場進球數為3.2，全年比賽進球個數的標準差為3；乙隊平均每場進球數為1.8，全年比賽進球數的標準差為0.3，下列說法中，正確的個數為（）①甲隊的進球技術比乙隊好；②乙隊發揮比甲隊穩定；③乙隊幾乎每場都進球；④甲隊的表現時好時壞.A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的部分數值如下表：x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

5

f（x）

－80

－24

0

4

0

0

16

60

144

則函數y＝lgf（x）的定義域為__________．14．已知函數.為的導函數，若，則實數的值為__________.15．的平方根是________.16．下列命題中①已知點，動點滿足，則點的軌跡是一個圓；②已知，則動點的軌跡是雙曲線右邊一支；③兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值就越接近于；④在平面直角坐標系內，到點和直線的距離相等的點的軌跡是拋物線；⑤設定點，動點滿足條件，則點的軌跡是橢圓.正確的命題是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數f(x)=-ln(x+m).(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；（2）當m≤2時，證明f(x)>0.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求和的直角坐標方程；（2）已知直線與軸交于點，且與曲線交于兩點，求的值.19．（12分）已知函數f(x)=|2x-1|-|x+2|.（1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若關于x的不等式f(x)≥t2-3t在[20．（12分）已知矩陣，矩陣B的逆矩陣.（1）求矩陣A的特征值及矩陣B.（2）若先對曲線實施矩陣A對應的變換，再作矩陣B對應的變換，試用一個矩陣來表示這兩次變換，并求變換后的結果.21．（12分）已知．（I）求；（II）當，求在上的最值．22．（10分）為了研究家用轎車在高速公路上的速情況，交通部門對名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在名男性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人．在名女性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人.（1）完成下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為平均車速超過與性別有關，（結果保留小數點后三位）平均車速超過人數平均車速不超過人數合計男性駕駛員人數女性駕駛員人數合計（2）以上述數據樣本來估計總體，現從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取輛，若每次抽取的結果是相互獨立的，問這輛車中平均有多少輛車中駕駛員為男性且車速超過？附：（其中為樣本容量）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意知隨機變量符合二項分布，根據二項分布的期望和方差的公式，得到關于n和p的方程組，求解即可．【詳解】解：∵X服從二項分布B~(n,p)由E可得1-p=1.44∴p=0.4，n=2.4故選：A．本題主要考查二項分布的分布列和期望的簡單應用，通過解方程組得到要求的變量，屬于基礎題．2、C【解析】

利用函數值的正負及在單調遞減，選出正確答案.【詳解】因為，排除A，D；，在同一個坐標系考查函數與的圖象，可得，在恒成立，所以在恒成立，所以在單調遞減排除B，故選C.根據解析式選函數的圖象是高考的?？碱}型，求解此類問題沒有固定的套路，就是要利用數形結合思想，從數到形、從形到數，充分提取有用的信息.3、C【解析】分析：由題意可知，利用條件概率公式可求得的值.詳解：設第一個路口遇到紅燈的事件為，第二個路口遇到紅燈的事件為，則，則，故選C.點睛：本題考查條件概率公式，屬于基礎題.計算條件概率時一定要注意區分條件概率與獨立事件同時發生的概率的區別與聯系.4、B【解析】分析：先解不等式得出集合B，再由集合的運算法則計算．詳解：由題意，，∴．故選B．點睛：本題考查集合的運算，解題關鍵是確定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元確定如何求集合中的元素．5、B【解析】

設，可得，求解即可.【詳解】設，則，即，解得，取.故選B.本題考查了類比推理，考查了計算能力，屬于基礎題.6、C【解析】

把問題分割成每一個“田”字里，求解.【詳解】每一個“田”字里有個“”形，如圖因為的方格紙內共有個“田”字，所以共有個“”形..本題考查排列組合問題，關鍵在于把“要做什么”轉化成“能做什么”，屬于中檔題.7、D【解析】分析：欲求函數y=1*2x的值域，先將其化成分段函數的形式，再畫出其圖象，最后結合圖象即得函數值的取值范圍即可．詳解：當1≤2x時，即x≥0時，函數y=1*2x=1當1＞2x時，即x＜0時，函數y=1*2x=2x∴f（x）=由圖知，函數y=1*2x的值域為：（0，1]．故選D．點睛：遇到函數創新應用題型時，處理的步驟一般為：①根據“讓解析式有意義”的原則，先確定函數的定義域；②再化簡解析式，求函數解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數比較相似；③根據定義域和解析式畫出函數的圖象④根據圖象分析函數的性質．8、D【解析】

求出當n=k時，左邊的代數式，當n=k+1時，左邊的代數式，相減可得結果．【詳解】當n=k時，左邊的代數式為1k+1當n=k+1時，左邊的代數式為1k+2故用n=k+1時左邊的代數式減去n=k時左邊的代數式的結果為：12k+1本題考查用數學歸納法證明不等式，注意式子的結構特征，以及從n=k到n=k+1項的變化，屬于中檔題.9、A【解析】

直接利用極小值點兩側函數的單調性是先減后增，對應導函數值是先負后正，再結合圖像即可得出結論.【詳解】因為極小值點兩側函數的單調性是先減后增，對應導函數值是先負后正，由圖得：導函數值先負后正的點只有一個，故函數在內極小值點的個數是1.故選：A本題考查了極小值點的概念，需熟記極小值點的定義，屬于基礎題.10、C【解析】分析：先根據組合數確定隨機選取兩個節日總事件數，再求春節和端午節恰有一個被選中的事件數，最后根據古典概型概率公式求結果.詳解：因為五個中國傳統節日中，隨機選取兩個節日共有種，春節和端午節恰有一個被選中的選法有,所以所求概率為選C.點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.11、C【解析】

利用等差數列的前n項和的性質得到S9=，直接求解．【詳解】∵等差數列{an}的前n項和為Sn，a4+a6=10，∴S9=故選：C．這個題目考查的是數列求和的常用方法；數列通項的求法中有:直接根據等差等比數列公式求和；已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。12、D【解析】分析：根據甲隊比乙隊平均每場進球個數多，得到甲對的技術比乙隊好判斷①；根據兩個隊的標準差比較，可判斷甲隊不如乙隊穩定；由平均數與標準差進一步可知乙隊幾乎每場都進球，甲隊的表現時好時壞.詳解：因為甲隊每場進球數為，乙隊平均每場進球數為，甲隊平均數大于乙隊較多，所以甲隊技術比乙隊好，所以①正確；因為甲隊全年比賽進球個數的標準差為，乙隊全年進球數的標準差為，乙隊的標準差小于甲隊，所以乙隊比甲隊穩定，所以②正確；因為乙隊的標準差為，說明每次進球數接近平均值，乙隊幾乎每場都進球，甲隊標準差為，說明甲隊表現時好時壞，所以③④正確，故選D.點睛：本題考查了數據的平均數、方差與標準差，其中數據的平均數反映了數據的平均水平，方差與標準差反映了數據的穩定程度，一般從這兩個方面對數據作出相應的估計，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由表格可知函數的圖象的變化趨勢如圖所示，則的解為．考點：函數的圖象，函數的定義域．14、【解析】

通過對原函數求導，代入1即得答案.【詳解】根據題意，，所以，故.本題主要考查導函數的運算法則，難度不大.15、【解析】

根據得解.【詳解】由得解.本題考查虛數的概念，屬于基礎題.16、①②③【解析】①中，根據，化簡得：，所以點P的軌跡是個圓；②因為,所以根據雙曲線的的定義，P點的軌跡是雙曲線右支，正確；③根據相關性定義，正確；④因為點在直線上，不符合拋物線定義，錯誤；⑤因為，且當時取等號，不符合橢圓的定義，錯誤.綜上正確的是①②③.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)在上是減函數；在上是增函數（2）見解析【解析】

(1)．由x=2是f(x)的極值點得f'(2)=2，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定義域為(－1，+∞)，．函數在(－1，+∞)上單調遞增，且f'(2)=2，因此當x∈(－1，2)時，f'(x)<2;當x∈(2，+∞)時，f'(x)>2．所以f(x)在(－1，2)上單調遞減，在(2，+∞)上單調遞增．(2)當m≤2，x∈(－m，+∞)時，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需證明當m=2時，f(x)>2．當m=2時，函數在(－2，+∞)上單調遞增．又f'(－1)<2，f'(2)>2，故f'(x)=2在(－2，+∞)上有唯一實根，且．當時，f'(x)<2;當時，f'(x)>2，從而當時，f(x)取得最小值．由f'(x2)=2得=，，故．綜上，當m≤2時，f(x)>2．18、（1）直線的直角坐標方程為，曲線的普通方程為（2）【解析】

（1）利用極坐標化直角坐標的公式求直線l的直線坐標方程，消參求出曲線的普通方程；（2）直線的參數方程為（為參數），代入，得，再利用直線參數方程t的幾何意義求的值.【詳解】解：（1）因為直線的極坐標方程為，所以直線的直角坐標方程為.因為曲線的參數方程為（為參數），所以曲線的普通方程為.（2）由題可知所以直線的參數方程為（為參數），代入，得，設兩點所對應的參數分別為，即，，本題主要考查極坐標參數方程和直角坐標的互化，考查直線參數方程t的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.19、（1）(-∞,-43]∪[6,+∞)【解析】試題分析：（1）將f(x)的表達式以分段函數的形式寫出，將原題轉化為求不等式組的問題，最后對各個解集求并集得出原不等式的解集；（2）f(x)≥t2-3t在[0,1]上無解相當于f(x)試題解析：（1）由題意得f(x)={x-3,x≥則原不等式轉化為{x≥12x-3≥3或∴原不等式的解集為(-∞,-4（2）由題得f(x)由（1）知，f(x)在[0,1]上的最大值為-1，即解得t>3+52或t<3-520、（1）矩陣A的特征值為1,2；；（2），【解析】

（1）通過特征多項式即可得到特征值，利用，可計算出矩陣B；（2）首先可計算出的結果，然后設出，變換后的點設成，利用線性變換得到相關關系，從而得到新曲線.【詳解】(1)矩陣A的特征多項式，令，則或，故矩陣A的特征值為1,2；設，根據，可得：即，解得，所以矩陣.(2)兩次變換后的矩陣，在曲線上任取一點，在變換C的作用下得到，則，即，整理得，可得，即，代入得.本題主要考查線性變換，特征值的計算，意在考查學生的分析能力，計算能力，難度中等.21、(1).（2），.【解析】分析：（1）對函數求導，指接代入