2025年江蘇南京玄武區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把67化為二進(jìn)制數(shù)為A．1100001(2) B．1000011(2)C．110000(2) D．1000111(2)2．將A，B，C，D，E，F(xiàn)這6個字母隨機(jī)排成一排組成一個信息碼，則所得信息碼恰好滿足A，B，C三個字母連在一起，且B在A與C之間的概率為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則使得成立的的解集為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在時取得極大值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．以下說法錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．若命題存在，使得，則:對任意，都有D．若且為假命題，則均為假命題7．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．9．已知隨機(jī)變量，若，則實數(shù)的值分別為()A．4，0.6 B．12，0.4 C．8，0.3 D．24，0.210．如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，由圖得到結(jié)論不正確的為（）A．性別與是否喜歡理科有關(guān)B．女生中喜歡理科的比為C．男生不喜歡理科的比為D．男生比女生喜歡理科的可能性大些11．設(shè)復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C．1 D．212．將4名實習(xí)教師分配到高一年級三個班實習(xí)，每班至少安排一名教師，則不同的分配方案有（）種A．12 B．36 C．72 D．108二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則__________．14．某市有A、B、C三所學(xué)校，各校有高三文科學(xué)生分別為650人，500人，350人，在三月進(jìn)行全市聯(lián)考后，準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從所有高三文科學(xué)生中抽取容量為120的樣本，進(jìn)行成績分析，則應(yīng)從B校學(xué)生中抽取______人15．函數(shù)，對任意，恒有，則的最小值為________.16．某次考試結(jié)束后，甲、乙、丙三位同學(xué)討論考試情況.甲說：“我的成績一定比丙高”.乙說：“你們的成績都沒有我高”.丙說：“你們的成績都比我高”成績公布后，三人成績互不相同且三人中恰有一人說得不對，則這三人中成績最高的是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），曲線（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：，記曲線與的交點為.（Ⅰ）求點的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)曲線與有且只有一個公共點時，與相較于兩點，求的值.18．（12分）如圖，等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過點A，又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設(shè)圓錐SO的底面半徑為1，圓錐體積為．(1)求圓錐的側(cè)面積；(2)求異面直線AB與SD所成角的大小；(3)若平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為，求三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大小．19．（12分）如圖，正方體的所有棱長都為1，求點A到平面的距離.20．（12分）已知拋物線上一點到焦點的距離，傾斜角為的直線經(jīng)過焦點，且與拋物線交于兩點、.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；（2）若為銳角，作線段的中垂線交軸于點.證明：為定值，并求出該定值.21．（12分）某校高二年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中男生的人數(shù)．(1)請列出X的分布列；(2)根據(jù)你所列的分布列求選出的4人中至少有3名男生的概率．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，以軸正半軸為極軸，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）過點作斜率為1直線與圓交于兩點，試求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】如圖：所以把67化為二進(jìn)制數(shù)為1000011(2)．故選B.考點：二進(jìn)制法.2、C【解析】

將A，B，C三個字捆在一起，利用捆綁法得到答案.【詳解】由捆綁法可得所求概率為.故答案為C本題考查了概率的計算，利用捆綁法可以簡化運(yùn)算.3、A【解析】

由已知可得：是偶函數(shù)，當(dāng)時，在為增函數(shù)，利用的單調(diào)性及奇偶性將轉(zhuǎn)化成：，解得：，問題得解.【詳解】因為所以是偶函數(shù).當(dāng)時，又在為增函數(shù)，在為減函數(shù)所以在為增函數(shù)所以等價于，解得：故選：A本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題。4、B【解析】

由已知方程即可得出雙曲線的左頂點、一條漸近線方程與拋物線的焦點、準(zhǔn)線的方程，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可列出方程，解出即可．【詳解】解：∵雙曲線的左頂點（﹣a，0）與拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F（，0）的距離為1，∴a＝1；又雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），∴漸近線的方程應(yīng)是yx，而拋物線的準(zhǔn)線方程為x，因此﹣1（﹣2），﹣2，聯(lián)立得，解得a＝2，b＝1，p＝1．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故選：B．本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握圓錐曲線的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5、A【解析】

先對進(jìn)行求導(dǎo)，然后分別討論和時的極值點情況，隨后得到答案.【詳解】由得，當(dāng)時，，由，得，由，得.所以在取得極小值，不符合；當(dāng)時，令，得或，為使在時取得極大值，則有，所以，所以選A.本題主要考查函數(shù)極值點中含參問題，意在考查學(xué)生的分析能力和計算能力，對學(xué)生的分類討論思想要求較高，難度較大.6、D【解析】

根據(jù)逆否命題定義、命題否定的定義分別判斷出正確；解方程得到解集和的包含關(guān)系，結(jié)合充要條件的判定可知正確；根據(jù)復(fù)合命題的真假性可知錯誤，由此可得結(jié)果.【詳解】選項：根據(jù)逆否命題的定義可知：原命題的逆否命題為“若，則”，可知正確；選項：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正確；選項：根據(jù)命題的否定可知對任意，都有，可知正確；選項：由且為假命題，則至少有一個為假命題，因此不正確.本題正確選項：本題考查了簡易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】分析：先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.詳解：令，因為，所以因此解集為，選A.點睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等8、A【解析】

判斷函數(shù)的奇偶性，排除B，確定時函數(shù)值的正負(fù)，排除C，再由時函數(shù)值的變化趨勢排除D．從而得正確結(jié)論．【詳解】因為是偶函數(shù)，排除B，當(dāng)時，，，排除C，當(dāng)時，排除D.故選：A.本題考查由解析式選圖象，可能通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等排除一些選項，通過特殊的函數(shù)值、特殊點如與坐標(biāo)軸的交點，函數(shù)值的正負(fù)等排除一些，再可通過函數(shù)值的變化趨勢又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一個選項就是正確選項．9、B【解析】

由，可得，由此列出關(guān)于的方程組，從而得出結(jié)果。【詳解】解：據(jù)題意，得,解得，故選B。本題考查了二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差，熟記離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)是關(guān)鍵。10、C【解析】

本題為對等高條形圖，題目較簡單，逐一排除選項，注意陰影部分位于上半部分即可．【詳解】解：由圖可知，女生喜歡理科的占，故B正確；男生喜歡理科的占，所以男生不軎歡理科的比為，故C不正確；同時男生比女生喜歡理科的可能性大些，故D正確；由此得到性別與喜歡理科有關(guān)，故A正確．故選：．本題考查等高條形圖等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．11、A【解析】

先對進(jìn)行化簡，然后得出，即可算出【詳解】所以，所以故選：A本題考查的是復(fù)數(shù)的運(yùn)算，較簡單.12、B【解析】試題分析：第一步從名實習(xí)教師中選出名組成一個復(fù)合元素，共有種，第二步把個元素（包含一個復(fù)合元素）安排到三個班實習(xí)有,根據(jù)分步計數(shù)原理不同的分配方案有種，故選B．考點：計數(shù)原理的應(yīng)用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)集合的交集補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因為，所以因此.故答案為：本題主要考查了集合的補(bǔ)集，交集運(yùn)算，屬于中檔題.14、1【解析】

設(shè)應(yīng)從B校抽取n人，利用分層抽樣的性質(zhì)列出方程組，能求出結(jié)果．【詳解】設(shè)應(yīng)從B校抽取n人，某市有A、B、C三所學(xué)校，各校有高三文科學(xué)生分別為650人，500人，350人，在三月進(jìn)行全市聯(lián)考后，準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從所有高三文科學(xué)生中抽取容量為120的樣本，，解得．故答案為：1．本題考查應(yīng)從B校學(xué)生中抽取人數(shù)的求法，考查分層抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15、【解析】∵，∴，∴當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增。∴當(dāng)時，有最大值，且。又，∴。由題意得等價于。∴的最小值為。答案：16、甲【解析】

分別假設(shè)說對的是甲，乙，丙，由此分析三個人的話，能求出結(jié)果.【詳解】若甲對，則乙丙可能都對，可能都錯，可能丙對，乙錯，符合；若乙對，則甲丙可能都對，可能都錯，不符；若丙對，則甲乙可能都對，可能甲對，乙錯，符合，綜上，甲丙對，乙錯，則這三人中成績最高的是甲.故答案為：甲.本題考查合情推理的問題，考查分類與討論思想，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】

試題分析：（1）將轉(zhuǎn)化為普通方程，解方程組可得的坐標(biāo)；（2）為圓，當(dāng)有一個公共點時，可求得參數(shù)的值，聯(lián)立的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得的值．解：（Ⅰ）由曲線可得普通方程.由曲線可得直角坐標(biāo)方程：.由得，（Ⅱ）曲線（為參數(shù)，）消去參數(shù)可得普通方程：，圓的圓心半徑為，曲線與有且只有一個公共點，，即，設(shè)聯(lián)立得4x1x2﹣4（x1+x2）+4＝2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣44＝1．.18、(1)；(2)；(3)【解析】

（1）利用圓錐體積可求得圓錐的高，進(jìn)而得到母線長，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可求得結(jié)果；（2）作交圓錐底面圓于點，則即為異面直線與所成角，在中，求解出三邊長，利用余弦定理可求得，從而得到結(jié)果；（3）根據(jù)截面面積之比可得底面積之比，求得，進(jìn)而求得等邊三角形的邊長，利用正棱錐的特點可知若為的中心，則即為側(cè)棱與底面所成角，在中利用正切值求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓錐高為，母線長為由圓錐體積得：圓錐的側(cè)面積：（2）作交圓錐底面圓于點，連接，則即為異面直線與所成角由題意知：，，又即異面直線與所成角為：（3）平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為又，即為邊長為的等邊三角形設(shè)為的中心，連接，則三棱錐為正三棱錐平面即為側(cè)棱與底面所成角即側(cè)棱與底面所成角為：本題考查圓錐側(cè)面積的求解、異面直線所成角的求解、直線與平面所成角的求解.解決立體幾何中的角度問題的關(guān)鍵是能夠通過平移找到異面直線所成角、通過找到直線在平面內(nèi)的投影，得到線面角.19、【解析】

由題意首先求得三棱錐的體積，然后利用等體積法即可求得點A到平面的距離.【詳解】由題意可得，三棱錐的體積，且是邊長為的等邊三角形，其面積，設(shè)點A到平面的距離為，利用等體積法可得：，則.即點A到平面的距離為.本題主要考查點面距離的計算，等體積法的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）為定值，證明見解析.【解析】

（1）利用拋物線的定義結(jié)合條件，可得出，于是可得出點的坐標(biāo)，然后將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程求出的值，于此可得出拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去，列出韋達(dá)定理，計算出線段的中點的坐標(biāo)，由此得出直線的方程，并得出點的坐標(biāo)，計算出和的表達(dá)式，可得出，然后利用二倍角公式可計算出為定值，進(jìn)而證明題中結(jié)論成立.【詳解】（1）由拋物線的定義知，，.將點代入，得，得.拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，由，消去得：，則，，.設(shè)直線中垂線的方程為：，令，得：，則點，，.，故為定值.本題考查利用拋物線的定義求拋物線的方程，以及直線與拋物線的綜合問題，常將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行計算，解題時要合理假設(shè)直線方程，可簡化計算.