第16章分式

16.1分式及其基本性質

1.分式

學習目標：

1.能用分式表示現實情境中的數量關系，體會分式是一種刻畫現實世界中數量關系的數

學模型.

2.了解分式的概念，能判斷一個代數式是否為分式（■點

3.理解分式有意義的條件；在使分式有意義的條件下，會求分式的分母中所含的字母的

取值范圍；會確定分式的值為零的條件.（難點）

自主學習

一、知識鏈接

1.被除數：除數寫成分數的形式是，3:4寫成分數是.

2.什么是整式?整式包括哪些式子？

3.觀察下列一組數的規律，在橫線上填上相應的結果：

（第n個數），所填的兩個數（式子）有什么不同的地方？

二、新知預習

請同學們認真閱讀教材1-3頁，完成第2頁做一做中的問題.

1.分式的概念

（1）分式的概念：一般地，形如的式子，其中A、B都表示整式，且B中含有,

BW,叫做分式；

（2）你認為概念中哪些內容是關鍵點，需要注意什么？

（3）和統稱為有理式

2.分式有無意義的條件

(1)分數在什么條件下有意義？

(2)請根據分數有意義的條件，思考要使分式有意義需要什么條件.

合作探究

-、探究過程

探究點1:分式的概念

【要點歸納】分式：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，BWO,那么

式子叫做分式.分式中，A叫做分式的，B叫做分式的.

【典例精析】

例1下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

(1

X)；：：：

【方法總結】判斷是否是分式時，分母中只要含有字母即可(n不是字母而是常數)，至于

字母的個數與次數不受限制，而分子中字母則可有可無.

【針對訓練】1.在代數式中屬于分式的是.

探究點2:分式有意義及值為0的條件

例2當取什么值時，下列分式有意義？

(1)；(2).

探究：思考下面的問題并和組內同學交流:

當取什么值時，例2中兩個分式的值分別為零？

【方法總結】1?分式有意義的條件是B#0(如果分母是幾個因式乘積的形式，則每個因

式都不為零).

2.分式二。的條件是A=0且BWO.

【針對訓練】2.(1)當x時，分式無意義；

⑵當a時，分式

有意義；

(3)當x時，分式

的值為零；當x時，分式

的值為零.

探究點3:利用分式表示實際問題中的數量

例3一種圖書原售價為每冊a元，現降價5元銷售.已知降價后某日這種圖書

的銷售金額為b元，用含字母a卜的代數式表示該日銷售的冊數.當

a=20,b=6000時，求該日這種圖書的銷售冊數.

【針對訓練】3.列式表示下列各量：

(1)某村有n個人，耕地40公頃，人均耕地面積為公頃；

(2)的面積為S,BC的長為a,則BC邊上的高AD的長為；

(3)一輛汽車行駛a千米用b小時它的平均車速為千米/時；一列火車行駛a

千米比這輛汽車少用1小時，它的平均車速為千米/時.

二、課堂小結

分式內容

概念一般地，我們把形如的代數式叫做分式，其中A.B都是,且B中含

有,B#0.A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.

有意義的條件分式有意義的條件是

值為0的條件分式值為0的條件是

當堂檢測

1.下列代數式中，屬于分式的是。

AB.C.D.

2.下列分式中一定有意義的是。

A.B.C,D.

3.使分式有意義的x的取值范圍是

4.如圖，正方形的長是出圖中弧線為圓周的，用代數式表示陰影部分的面積與正方形面

積的比為，

5.分式的值能等于0嗎?說明理由

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1.

2.解：單項式和多項式統稱整式.

3.解：第一個是分數，也是整式；第二個分母的位置有字母，不是整式.

二、新知預習

1.(1)字母0

(2)關鍵點是A、B都表示整式，且B中含有字母，BWO

(3)整式分式

2.解：(1)分母不為0時，分數有意義.

(2)分母不為0時，分式有意義

合作探究

一、探究過程

探究點1：分式的概念

【要點歸納】分子分母

【典例精析】

例1解：(1

X),,

y2是整式；…

是分式.

【針對訓練】1,

探究點2:分式有意義及值為0的條件

例2分析：要使分式有意義，必須且只須分母不等于零.

解：⑴由分母X+3H0,得X，

3,?,.當xW

3時，分式有意義

⑵「.+121H0..?.當取任意實數時，分式都有意義.

探究：解：⑴當分子9r2巾,分母x+3W0時,分式的值為0,則x=3.

(2)當分子2-x=0,分母X2+1W0時,分式的值為0,則x=2.

【針對訓練】2.(1)=-1(2)*(3)=0=

3

探究點3:利用分式表示實際問題中的數量

例3解：由題意得該日銷售此種圖書的冊數為.當a=20.b=6000時，該日此種圖書的銷

售冊數為二400.

【針對訓練】3.(1)(2)(3)

二、課堂小結

整式字母BWOA=0且BW0

當堂檢測

1.C2.A3.xW

34.

5.解：不能.理由如下：若分式的值為0,則分子x+3=0,得乂=

3.此時分母x2-x-12=9+3-12=0,原分式無意義，原分式的值不能為0.

2.分式的基本性質

學習目標：

1.理解并掌握分式的基本性質，了解最簡分式的概念.

2.根據分式的基本性質，對分式進行約分化簡及分式的通分運算.(重點)

3.能把分式化為最簡分式并正確地找出最簡公分母.(難點)

自主學習

一、知識鐲妾

1.(1)把下列分數化為最簡分數或整數：

(2)分數約分的方法：先將分數的分子和分母，再約去分子、分母的最大公

約數，把分數化為最簡分數或整數.

2.因式分解：

(1)x2+xy=(2)4m2-n2=

(3)a2+8a+16=.

二、親欣a預習

類比分數的約分，完成下列流程圖：

【要點歸納】

1.類比分數的性質，猜想：分式的分子和分母同乘(或除以)一個不等于。的整式，分

式的值.

2.分子和分母沒有的分式叫做最簡分式

合作探究

一、探究過程

探究點1：分式的基本性質

問題1:如何用字母表示分數的基本性質？

一般地，對于任意一個分數，有(c，0),其中a,b,c表示數.

問題2:仿照分數的基本性質，說一說分式的基本性質.

【要點歸納】

分式的基本性質：分式的分子和分母同乘(或除以)一個不等于。的整式，分式的值

即：，，其中A,B表示整式，且C是不等于0的整式，

【典例精析】

例1填空:

(1)=；(2)=;(3)=;(4)=

【針對訓練】1.下列式子從左到右的變形一定正確的是()

A.=B.=C.=D.=

例2不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“

”號.

【要點歸納】1.根據分式的意義，分數線代表除號，又起括號的作用.

2.當括號前添“+”號，括號內各項的符號不變；當括號前添“

”號，括號內各項都變號

【針對訓練】2.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“

H號

(1)

(2)=;(2)

(3)=;(3)

(4)

(5).=

探究點2:分式的約分

例3約分：

(1)；(2);(3);(4).

【要點歸納】1.分式約分的依據是

2.約分的步驟：(1)找公因式.當分了、分母是多項式時應先分解因式；(2)約去分了、分

母的；

(3)約分的最后結果要是最簡分式或整式.

［針對訓練】3.約分：

探究點3:分式的通分

1.想一想：如何將分數進行通分？

2.探究：分式和進行通分你覺得通分的關鍵是什么?怎樣通分?

例4通分：

(1)與；(2)與.

分析：分式的通分，即要求把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的

同分母的分式，通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母.

解：(1)最簡公分母是

(2)最簡公分母是

【要點歸納】1.最簡公分母的系數取各分母系數的

2.最簡公分母的字母因式取各分母的積

3.當分母是多項式時，一般應先，再找最簡公分母.

二、課堂小結

分式的基本性質

分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于的整式，分式的值.即二，

=(CHO),其中A、B.C是整式.注意：BWO是隱含條件.

符號法則

分式的分子、分母和分式本身的符號，改變其中的任何兩個，分式的值.即二-

最簡分式

分子與分母沒有的分式叫做最簡分式.

分式約分的步驟

⑴確定分子與分母的公因式，當分子、分母中有多項式時，應先__________，再確定公

因式；

⑵將分子、分母表示成某個因式與公因式乘積的形式；

⑶約去公因式；

(4)化為最簡分式或整式.

分式的通分

把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母分式，通分的關鍵是確定幾個分

式的公分母(通常取最簡公分母)

當堂檢測

1.下列各式是最簡分式的是()

A.B.C.D.

2.將中的、都變為原來的3倍，則分式的值()

A.不變B.變為原來的3

C.變為原來的9

D.變為原來的6

3.下列分式的變形：

①二;②二;③二;④二1；

@=a

1;@=

正確的有。

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.約分：

(1)；(2)

5.通分：

(1)；(2);

(3);⑷.

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1.(1)2(2)分解因數

2.(1)x(x+y)⑵(2m+n)(2m-n)(3)(a+4)2

二、新知預習

【要點歸納】1.不變2.公因式

合作探究

一、探究過程

探究點1：分式的基本性質

問題2一般地，對于任意一個分式，有(C#)),其中A,B,C表示整式

【要點歸納】不變BxCB+C

【典例精析】

例1(1)2x(2)4b(3)bn+n(4)x+y

【針對訓練】1.c

例2

【針對訓練】2.(1)(2)(3)

探究點2:分式的約分

例3解：(1)原式=.(2)原式二.(3)原式一(4)原式:

【要點歸納】1?分式的基本性質2.公因式

【針對訓練】3.解：(1)原式二.(2)原式二.

(3)原式二.(4)原式二.

探究點3:分式的通分

1.解：確定分母的最小公倍數為24.則，

2.解：通分的關鍵是確定公分母(通常取最簡公分母).運用分式的基本性質，將異分

母的分式的分子'分母同乘適當的整式，轉化為與原來的分式值相等的同分母分式

最簡公分母為2Mb。，

例4(1)1Oa2^

(2)2(x+y)2(x-y)

【要點歸納】1.最小公倍數2.字母因式的最高次幕3.分解因式

二、課堂小結

0不變不變公因式分解因式

當堂檢測

1.C2.A3.C

4.解：(1)原式=.12)原式:

5.解：(1)最簡公分母是10a2b2c.,

(2)最簡公分母是12ab2.,,

(3)最簡公分母是x2-y2.保持不變，

(4)最簡公分母是x(x+l)2.,

16.2分式的運算

1.分式的乘除

學習目標:

1.理解并掌握分式的乘除法法則，能進行簡單的分式乘除法運算.(重、難點)

2.類比分數乘除法的運算法則，探索分式乘除法的運箕法則，在分式乘除法運算過程中,

體會因式分解在分式乘除法中的作用

自主學習

-、知識鏈接

計算下列算式并觀察：

X=;X=;

-r=X=；^-=X=

猜一猜：X=?4-=?與同伴交流一下.

分析：觀察上面運算，可知：

兩個分數相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；

兩個分數相除，把除數的分子和分母顛倒位置后，再與被除數相乘.

這里字母a,b,c,d都是整數，且b,c,d均不為零.

二,新知預習

通過類比分數的乘除法運算法則可得到分式的乘除法的法則：

?=

分式的乘法法則：分式乘分式，用作為積的分子，用

一作為積的分母.

分式的除法法則：分式除以分式，把除式的顛倒位置后，與一

____________相乘

合作探究

一、探究過程

探究點1:分式的乘除運算

【典例精析】

例1計算：(1)；(2);(3)

【方法總結】(1)計算結果一定要化為；

(2)整式可以看作是分母為的代數式；

⑶計算中帶有負號時，應先確定再計算.

【針對訓練】1.計算：(1)；(2)

例2計算：(1);(2).

【存濤說練】2,計算：母合多項式時，5先，再計算.

探究點2:分式的乘方運算

1.分式乘方的法則

(1)根據乘方的意義和分式的乘法法則完成下式運算:

二二二(其中W0)；

二二二(其中WOj；

=.-.二二(其中t0,n為正整數).

(2)比較分式的乘方和乘方的結果，歸納分式的乘方法則：

分式的乘方等于把_________________________________________

2.分式乘方的注意事項

(1)分式乘方時一定要加括號；(2)分式本身的符號也要同時乘方

【典例精析】

例3下列運算結果不正確的是()

A.()2=(2=B.[

()2P=-(6=-

c.[

]3=(

)3=

D.(

)

【易錯總結】分式乘方時，要首先確定乘方結果的符號，負數的偶次方為正，負數的奇次

方為負.

【針對訓練】3.計算：（

八（

八（

）4.

二、課堂小結

內容

分式的乘法法則分式乘分式，用分子的作為積的分子，分母的

作為積的分母.

解題如果分式的分子、分母是多項式，一般要先將其因式分解，再運

策略算?

分式的除法法則分式除以分式，把除式中的分子、分母后，與被除

式_________

解題（1）當除式（或被除式）是整式時，可以看做分母是1的式子，然后

策略按分式乘除法法則計算；

（2）如果分式的分子、分母是多項式，一般要先將其因式分解，再

運算.

分式的乘方法則一般地，當n是正整數時，=.即分式乘方要把分子、

分母分別__________

解題分式乘方時，確定乘方結果的符號與有理數乘方相同，即正分式

策略的任何次辱都為正；負分式的偶次毫為，奇次鬲為—

當堂檢測

1.計算的結果等于（）

A.B.C.D.

2.下列計算結果正確的有0

?;?8a2b2-=-6a3;?;?a-b-=a;

⑤.

A1個R2個C3個D.4個

3.計算：⑴=；(2)=

4.計算：

(1);

⑵；

(3)

參考答案

自主學習

一、期只雌

二、新知預習分子的積分母的積分子分母被除式

合作探究

一、探究過程

探究點1：分式的乘除運算

【典例精析】

例1解：（1）原式=.（2）原式:

（3）原式二

【方法總結】（1）最簡分式或整式（2）1（3）結果的符號

【針對訓練】1.解：（1）原式二.（2）原式二.

例2解：（1）原式二.

（2）原式:

【方法總結】分解因式

【針對訓練】2.解：（1）原式二.

(2)原式:

探究點2:分式的乘方運算

1.(Dbbnnb(2)分子的乘方作為分子，分母的乘方作為分母

【典例精析】

例3D

【針對訓練】3.解:原式二.

二、課堂小結

積積顛倒位置相乘乘方正負

當堂檢測

1.A2.D3.(1)-x-1(2)-a

4.解：(1)原式二.(2)原式=8x2+]0x-3.(3)原式二一.

2.分式的加減

學習目標：

1.掌握同分母、異分母分式的加減法法則.(重點)

2.能熟練地進行簡單的異分母的分式加減法.(難點)

3.會進行簡單的分式四則混合運算，能靈活運用運算律進行簡便運算.(難點)

自主學習

一、知識鏈接

1.填空：

2.將下列分式通分：(1)；(2).

合作探究

一、探究過程

探究點1：同分母分式的加減

問題：請類比同分母分數的加減法，說一說同分母的分式應該如何加減？

【典例精析】

例1計算:

【方法總結】（1）當分子是多項式，把分子相減時，千萬不要忘記加括號；（2）分式加減運

算的結果，必須要化成最簡分式或整式

探究點2:異分母分式的加減

問題：請類比異分母分數的加減法，說一說異分母的分式應該如何加減？

【典例精析】

例2計算：（1）;（2）.

【方法總結】異分母分式相加減：（1）當兩個分式的分母互為相反數時，可直接變形為同

分母的分式，再相加減；（2）分母是多項式時，先因式分解找出最簡公分母，再通分，轉化

為同分母的分式相加減.

【針對訓練】1.計算的結果是（）

A.B.C.D.

【典例精析】

例3計算：

【方法總結】分式與整式相加減，把整式看成分母為“1”的分式，然后通分，轉化為同分母

的分式相加減.

【針對訓練】2.計算a-b+的結果為（）

A.B.a+bC.D.以上都不對

探究點3:分式的混合運算

問題：如何計算？請先思考這道題包含的運算，確定運算順序，再獨立完成.

【要點歸納】分式混合運算的順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括

號里面的.計算結果要化為最簡分式或整式

【典例精析】

例4計算：(1);(2).

【針對訓練】3.先化簡代數式

*(1

)，再從-4<X<4的范圍內選取一個合適的整數x代入求值.

【方法總結】把分式化成最簡分式是解題的關鍵，通分、因式分解和約分是基本環節，注

意選數時，分母不能為0.

二、課堂小結

內容

同分母分分母,把相加減，即士=.

式的加減

異分母分先，變為同分母的分式，再.即士二土二

式的加減

分式的混先，再,然后，有括號的先算括號里面的.最后結果中分子、

合運算分母要進行約分，注意運算的結果要化成或整式.

⑴一個分式與一個整式相加減時，可以把整式看做是分母為“1”的式子，整式前面

是負號時，要加括號，進行通分.

解題策略⑵分母是多項式時，先因式分解找出最簡公分母，再通分，轉化為同分母的分式相

加減.

(3)結果一定要化成最簡分式或整式

當堂檢測

1.計算的結果為0

A.B.C.-1D.2

2.填空：；

3.計算：

(1);(2);

(3);(4).

4.計算：

⑴；(2).

5.先化簡：.當b=3時，從-2<a<2的范圍內選取一個

合適的整數a代入求值.

參考答案

自主學習

一、知識鏈接1.(1)(2)(3)(4)

2.解:⑴最簡公分母:;⑵最簡公分母：(x+2)(x-2)2,,.

合作探究

一、探究過程

探究點1：同分母分式的加減

解：；；

同分母的分式的加減，分母不變，分子相加減

【典例精析】

例1解：原式二

探究點2:異分母分式的加減

解：；

異分母的分式的加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減.

【典例精析】

例2解：(1)原式二

(2)原式二

【針對訓練】1.B

例3解：原式=

【針對訓練】2.C

探究點3:分式的混合運算

解：原式包括乘方、乘法、除法、減法運算，應先算乘方，再算乘除法，然后算減法

原式二二.

【典例精析】

例4解：(1)原式二

(2)原式二.

【針對訓練】3.解：原式二.?..-4<x<4,xW±l,xW2,???x可取的整數值為±3,-2,0.

若取x=3,原式=2.

二、課堂小結

不變分子通分加減乘方乘除加減最簡分式

當堂檢測

1.C2.(1)(2)4

3.解：(1)原式二.(2)原式二.

(3)原式二

(4)原式二.

4.解：(1)原式二二X.

(2)原式二.

5.解：原式二，

當b=3時，???-2<a<2,aWO且aW±3,的整數值為±1.若取a=l,則原式三

16.3可化為一元一次方程的分式方程

第1課時分式方程及其解法

學習目標:

1.理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方程.(重點)

2.理解增根的概念，了解增根產生的原因，知道解分式方程須驗根并掌握驗根的方法,

了解解分式方程驗根的必要性.(難點)

自主學習

一、知識鏈接

1.找出下列各組分式的最簡公分母：

(1)與的最簡公分母是；

(2)與的最簡公分母是.

2.一元一次方程的特征是什么？

答:_________________________________________________________________________

3.解一元一次方程一般需經過哪些步驟呢?結合例題回顧

解一元一次方程解方程:

的步驟

①去分母解：方程兩邊同乘10,得.

②去括號去括號，得.

③移項移項，得.

④合并同類項合并同類項，得.

⑤系數化為1系數化為1,得.

二、新知預習

小紅家到學校的路程為18kin小紅從家去學校總是先乘坐公共汽車，下車后再步行1

km,才能到學校，路途所用時間是1h.已知公共汽車的速度是小紅步行速度的9倍，求小

紅步行的速度.

(1)上述問題中有哪些等量關系？

答：①±=小紅上學路上的時間;

②公共汽車的速度=：

(2)如果設小紅步行的速度為xkm/h,那么公共汽車的速度為

km/h.根據等量關系①，可以得到方程：；

(3)如果設小紅步行的時間為xh.那么她乘坐公共汽車的時間為h,

根據等量關系②，可以得到方程：；

(4)在(2)(3)中得到的方程與我們學過的一元一次方程有什么不卮？這

兩個方程有哪些共同特點？

答：_______________________________________________________________________________

【要點歸納】像這樣，方程中含有，并且分母中含有的方程叫做

分式方程，

合作探究

一、探究過程

探究點1：分式方程的概念

問題：方程x+(x+l)二是不是分式方程？

【典例精析】

例1在方程①二8+;②二x;③二;④x-二0中，是分式方程的有()

A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

【要點歸納】確定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程中含有分式,

并且分母中含有未知數，像這樣的方程才屬于分式方程

彖爨副&薪闔解霆

討論：怎樣解方程？

例2試著解下列分式方程：

(1):

解：方程兩邊同乘，得去分母(乘最簡公分母)

解這個整式方程，得.解整式方程

經檢驗.驗根(原分式方程是否有意義)

(2)

解：方程兩邊同乘，得去分母(乘最簡公分母)

解這個整式方程，得.解整式方程

經檢驗.驗根(原分式方程是否有意義)

【知識要點】1.解分式方程的過程，實質上是將方程的兩邊乘同一個整式，約去分母，

把分式方程轉化為整式方程來解，所乘的整式通常取方程中出現的各分母的最簡公分母

2.當解得的根使得分母的值為0時，我們把這樣的根叫做分式方程的增根.此時，分式

方程________

【針對訓練】1.解方程：(1)；(2).

【方法總結】解分式方程的步驟：①去分母；②解整式方程；③檢驗；④寫出方程的解

注意檢驗有兩種方法，一是代入原方程，二是代入去分母時乘的最簡公分母，一般是代入

最簡公分母檢驗.

探究點3:分式方程的增根

例3若關于x的方程

有增根，則增根可能為()

A.OB.2C.0或2D.1

【歸納總結】增根是使分式方程的分母為0的根，所以判斷增根就應想到分式方程的最簡

公分母為0；注意應舍去K合題意的解.

【針對訓練】2.若關于x的分式方程

=1

有增根，則m的值為0

A.-3B.-2C.-lD.3

例4若關于x的分式方程

十

二無解，求m的值.

【歸納總結】分式方程無解與分式方程有增根所表達的意義是不一樣的.分式方程有增根

僅包括分式方程化為整式方程后，整式方程有解但使最簡公分母為0的情況；分式方程無

解不但包括分式方程有增根，而且包括整式方程無解的情況.

二、課堂小結

內容易錯提醒

分式方程方程中含有，并且分母中含有的方程叫做(1)用分式方程中的最簡公

的概念分式方程.分母同乘方程兩邊，注意

不要漏交沒有分母的項，

得出解后，要注意檢驗；

⑵分式方程無解的兩種情

況：0粉式方程靶“去

分母”化成整式方程后，整

式方程是類似“0x=l”的形

式，即整式方程無解；②

整式方程求得的根使得原

分式方程的最簡公分母等

于0.

⑴去分母：在方程的兩邊同乘，化成整式方程;

⑵解這個整式方程；

分式方程

的解法⑶檢驗：把解得的根代入----------------，如果最簡公分母

的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則這個解

不是原分式方程的解(使最簡公分母為零的解是原方程的增根).

分式方程解得的根使得分母的值為0,我們把這樣的根叫做分式方程的

的增根增根，則原分式方程_______.

當堂檢測

1.關于X的方程中，是分式方程的是0

A=B.

C.+1-

D=I

2.解分式方程二1時，去分母后可得到()

A.x(2+x)

2(3+x)=1B.x(2+x)

2=2+x

C.x(2+x)

2(3+x)=(2+x)(3+x)D.X

2(3+x)=3+x

3.分式方程二0的根是0

A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2

4.解方程：

(D;(2).

參考答案

自主學習

一、期只畸

1.(1)(x+l)(x-l)(2)a2-4

2.只含一個未知數；未知數的最高次數是1；等號的兩邊都是整式.

3.2x-5(3-2x)=1Ox2x-15+10x=1Ox2x+1Ox-10x=152x=15x=7.5

二、新知T頁習

⑴乘坐公共汽車的時間步行的時間小紅步行速度的9

(2)9x

⑶(1-x)

(4)與一元一次方程不同的是，這兩個方程中都含有分式；

這兩個方程的共同特點：都含有分式，并且分母中含有未知數.

【要點歸納】分式未知數

合作探究

一、探究過程

探究點1：分式方程的概念

解：不是，因為方程中沒有分式.

【典例精析】

例1C

例2(1)x(1-x)36x=18(I-x)x=x=是分式方程的解

(2)x-lx+l=-(x-3)+(x-l)x=lx=l不是分式方程的解，故分式方程無解

【知識要點】2.無解

【針對訓練】1.解：(1)方程兩邊同乘(xT)(x-2),得2(x-2)=x-l.

解得x=3.經檢驗，x=3是分式方程的解.

(2)方程兩邊同乘同-2,得4-(6x-2)=3.

解得x=.經檢驗，x二是分立方程的解.

探究點3:分式方程的增根

例3A

【針對訓練】2.B

例4解：將原分式方程化為整式方程，整理得(m-l)x=TO.???原分式方程無解，.,.當m-

1=0,即m=l時，整式方程無解；或最簡公分母x2-4=0,BPx=±2,代入整式方程得m=-4

或6..:m=1或-4或6.

二、課堂磔

分式未知數最簡公分母最簡公分母無解

當堂檢測

1.D2.C3.D

4.解：(1)化為整式方程,得x+l+2x(xT)=2(x-l)(x+l),

解這個整式方程，得x=3,

經檢驗，x=3是分式方程的解，

故x=3.

⑵化為整式方程，得(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2,

解這個整式方程，得x二,

經檢驗，X=-是分式方程的解，

故X=-.

第2課時分式方程的應用

學習目標：

1.進一步熟練地解可化為一元一次方程的分式方程.

2.在不同的實際問題中能審明題意設未知數，列分式方程解決實際問題.(重、難點)

自主學習

一、知識鏈接

1.解方程：

2?列方程解應用題的一般步驟是什么？

(1)；(2);(3)解所列方程；

(4)檢驗所列方程的解是否符合題意；(5)寫出完整的答案.

3.列方程解應用題的關鍵是什么？

二、新知預習

完成下面解題過程：

小紅和小麗分別將9000字和7500字的兩篇文稿錄入計算機，所用時間相同.已知兩人每

分鐘錄入計算機字數的和是220字.兩人每分鐘各錄入多少字？

(1)請找出上述問題中的等量關系；

答：_______________________________________________________________________________

(2)試列出方程，并求方程的解.

解：設小紅每分鐘錄入x字，則小麗每分鐘錄入字.

根據題意，得___________________________

解這個方程得_______________________

經檢驗，_______________________________

答:________________________________________________________________________

【要點歸納】根據題中的解答步驟，歸納用分式方程解決實際問題的一般步驟為：

第一步，審清題意；

第二步，根據題意設未知數；

第三步，根據題目中的數量關系列出式子，并找準等量關系，列出方程；

第四步，解方程，并驗根，還要看方程的解;

第五步，作答.

合作探究

-、探究過程

探究點：分式方程的應用

【典例精析】

例1朋友們約著一起開著2輛車自駕去黃山玩，其中面包車為領隊他們同時出發，當面包

車行駛了200km時，發現小轎車只行駛了180km,若面包車的行駛速度比小轎車快10

km/h,請問面包車、小轎車的速度分別為多少？

分析：設小轎車的速度為xkm/h.填寫下列表格，并完成解答

路程（km）速度(km/h)時間（h）

面包車

小轎車

相等關系

【方法總結】將兩個“主人公”行程問題中的三個量用代數式表示出來；行程問題中的等量

關系通常抓住“時,司線”來建立方程

對訓練老師家利少拗嫁家尚等煮師家學校順次乍回期條路每外出明賽到爵毒酒家的路程

櫻的莓契比率時步行上班多角乎m卡筒主老師的爹行速度及騎目存軍的速度客是

例2兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這

時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成.哪個隊的施工速度快？（每

個月按30天計算）

分析：設乙單獨完成這項工程需要x天.填寫下列表格，并完成解答

工作時間（天）工作效率工作總量⑴

甲隊

乙隊

【方法總結】可概括為“321”：3指該類問題中三量關系，如工程問題有工作效率，工作

時間，工作量；2指該類問題中的“兩個主人公”如甲隊和乙隊；1指該問題中的一個等量關

系.如工程問題中等量關系是：兩個主人公工作總量之和二全部工作總量.

【針對訓練】2.抗洪搶險時，需要在一定時間內筑起攔洪大壩，甲隊單獨做正好按期完

成，而乙隊由于人少，若單獨做則超期3個小時才能完成.現甲、乙兩隊合作2個小時后,

甲隊又有新任務，余下的由乙隊單獨做，剛好按期完成.求甲、乙兩隊單獨完成全部工程

各需多少小時？

二、課堂小結

解題步驟解題策略

分式方程（1）審清題意；常見實際問題中的等量關系，如行程問

的應用（2）設出；題：速度二路程/時間；工作量問題：工

（3）找出，列出分式方程；作效率=工作量/工作時間等.

（4）解這個分式方程,看方程的

解是否滿足方程和符合題意；

（5）寫出實際問題的答案.

當堂檢測

1.甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時間相同，已知乙車每小時比甲車多行駛15

千米，設甲車的速度為x千米/時，依題意列方程正確的是0

A.B.C,D.

2.某工廠生產一批零件，計劃在20天內完成,若每天多生產4個，則15天完成且還多生

產10個.設原計劃每天生產x個，根據題意可列分式方程為（）

A.B.C.D.

3.小明計劃用360元從大型科普系列叢書《什么是什么》（每本價格相同）中選購部分

圖書.“六?一”期間，書店推出優惠政策，該系列叢書8折銷售.這樣，小明比原計劃多買了

6本，求每本書的原價，設每本書的原價為x元，可列分式方程為

4.某學校為鼓勵學生積極參加體育鍛煉，派王老師和李老師去購買一些籃球和排球.回

校后，王老師和李老師編寫了一道題，信息如下：

同學們，請求出籃球和排球的單價各是多少元?

5.某工程準備招標，指揮部現接到甲、乙兩個工程隊的投標書，從投標書中得知：乙隊

單獨完成這項工程所需天數是甲隊單獨完成這項工程所需天數的2倍；該工程若由甲隊先

做6天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作16天可以完成求甲、乙兩隊單獨完成這項工程

各需要多少天？

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1.解：方程兩邊同乘2x-2,得4x=2x+l.解得x二.經檢驗，x二是原方程的解.

2.(1)找等量關系(2)根據等量關系列方程

3.解：列方程解應用題的關鍵是找出等量關系.

二、新知預習

(1)小紅將9000字的文稿錄入計算機所用的時間二小麗將7500字的文稿錄入計算機所用

的時間

(2)(220-x)x=120x=120是原方程的解

小紅每分鐘錄入120字，小麗每分鐘錄入100字

【要點歸納】是否符合題意

合作探究

一、探究過程

探究點：

【典例精析】

例1解：填表如下：

路程(km)速度（km/h時間(h)

面包車200x+10

小轎車180X

相等關系面包車行駛200km的時間;小轎車行駛

80km的時間

設小轎車的速度為Xkm/h,則面包車的速度為(x+10)km/h.依題意，得二.解得

x=90.經檢驗，x=90是分式方程的解，且符合題意.則x+10=100.

答：小轎車的速度為90km/h,面包車的速度為100km/h.

【針對訓練】

1.解：分析：題目中的等量關系：

王老師騎車速度WE老師步行速度X3;

王老師從家出發騎車接小明上學所用的時間二平時步行上班所用時間+20分鐘

設王老師步行速度為xkm/h,則騎自行車的速度為3xkm/h.

依題意，得二+.解得x=5.

經檢驗，x=5是原方程的根，且符合題意則3x=15.

答：王老師步行速度為54m/h,騎自行車的速度為15km/h.

【針對訓練】

2.解：設甲隊單獨完成全部工程需x小時，則乙隊單獨完成全部工程需(x+3)小時.

依題意，得.解得x=6.

經檢驗，x=6是原方程的根，且符合題意.則x+3=9.

答：甲、乙兩隊單獨完成全部工程分別需6小時、9小時.

二、課堂小結

未知數等量關系檢驗

當堂檢測

l.C2.A3.

4解:設排球的單價為x元,則籃球的單價為(x+60)元.根據題意，得二.解得x=100.

經檢驗，x=100是原方程的根，且符合題意.當x=100時，x+60=160.

答：排球的單價為100元，籃球的單價為160元.

5.解：設甲隊單獨完成這項工程需要x天，則乙隊單獨完成這項工程需要2x天

根據題意，得+16(+):1.解得x=30.

經檢驗，x=30是原方程的根，且符合題意.則2X=2X30=60.

答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需要30天、60天.

16.4零指數鬲與負整數指數累

1,零指數幕與負整數指數鬲

學習目標：

1.理解a0的意義，并掌握a0=l(a#)).

2.理解(n是正整數)的意義，并掌握=(a#),n是正整數).(難點)

3.理解并掌握黑的運算律對于整數指數都成立，并會正確運用.(重點)

自主學習

-、知識鏈接

1.計算:(1)23X24=;(2)(a2)3=;(3)(-2a)2=;

(4)(-2)8+(-2尸=；(5)ICP+io三；(6)=

2.IF整數指數幕的運算性質有哪些？

(l)a”a'=(m、n都是正整數)；⑵(am)”=(m、n都是正整數)；

(3)(ab),=(n是正整數);即a"+a7=(aW0,m,n是正整數，m>n);

⑸=(b/),n是正整數).

二、新知預習

1,零次鬲的意義：a°=l(a，即任何不等于零的數的零次鬲都等于

2.負整數指數鬲的意義：當n是正整數時，=(a#0)

3.整數指數幕的運算性質：

⑴a"?a'=(a#0,m、n都是整數);(2)(1)af=(aW0,m、n都是整數)

(3)(aM)"=(a#0,m.n都是整數);(4)(ab)'=(a#0,b#0,n是整數).

合作探究

一、探究過程

探究點1：零次幕

例1計算：(-2)3+(。-3)0.

【針對訓練】1.計算：(-2020)0=()

A.lB.OC.2020D.-2020

2.若(a

2)0=1,則a的取值范圍是()

A.a>2B.a=2C.a<2D.a#2

【方法總結】任意非0數的零次鬲為1,底數不能為0.

探究點2:負整數指數累

例2計算：()-2X3-'+(Jt-2019)°4-()-l.

【針對訓練】3.若a=(

)加(

D-1,c=(

)0,則a、b、c的大小關系是()

A.a>b=cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【方法總結】關鍵是理解負整數指數幕及零次幕的意義，依次計算出結果.當底數是分數

時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數.

探究點3:整數指數幕的運算性質

例3計算：⑴欠丫

2)2;⑵x2y

2.(x

2y汽

(3)(3x2y

2y)3;(4)(3xl0

。土(3乂10

6)2.

分析：正整數指數幕的運算性質推廣到整數范圍后，計算的最后結果常化為正整數指數幕

計算結果有負指數幕時，要寫成分式形式.

二、課堂小結

要點歸納

零次黑的意義a°=l(a，即任何不等于零的數的零次幕都等于

負整數指數幕當n是正整數時，=(aHO),即(ar0)是的倒數

的意義

(1)am-a'=;(2)(am)A=;(3)(ab)2=;(4)a"-ra7=；(5)=;(6)

當整數指數器的

運算性質aM時，a°=

(以上n,n均為整數，且a,bWO)

當堂檢測

1.計算22的結果是()

A.2B.-2C.-4D.

2.下列說法正確的是0

A.(TT

3.14)°沒有意義B.任何數的。次幕都等于1

C(8x106)*2x109)=4x103D若(x+4)0=l,貝IJxN

4

3.隘：(-3)2-(一3)2二;1(y二好?a3二置小a也.

4.計算：(1)0.14-0.13;(2)(-5)2018-?(-5)2020;

(3)10°x10-1-r102；(4)X2-X3-rX2.

5.計算：(l)(2xl0

6)X(3.2X109);

(2)(

a2b-3)3-r(

ab2)3.

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1.(1)27(2)a6(3)4a2(4)-8(5)1(6)

2.(1)am+"(2)am(3)a”b"(4)ain-”(5)

二、新知預習

1.W012.

3.(l)am+,(2)am-n(3)ain(4)a'*b*'

合作探究

一、探究過程

探究點1：零次塞

例1解：原式二-7.

【針對訓練】1.A