《高等代數》試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）元素對應成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為零D.\(A\)的秩等于\(n\)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關的充要條件是（）A.向量組中至少有一個零向量B.向量組中至少有兩個向量成比例C.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示D.向量組的秩等于向量組中向量的個數3.設\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)是非齊次線性方程組\(Ax=b\)對應的齊次線性方程組，則下列結論正確的是（）A.若\(Ax=0\)只有零解，則\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，則\(Ax=b\)有無窮多解C.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)有非零解D.若\(Ax=b\)有唯一解，則\(Ax=0\)有非零解4.設\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^{-1}\)的一個特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\vertA\vert\lambda\)D.\(\frac{\vertA\vert}{\lambda}\)5.實對稱矩陣\(A\)與\(B\)合同的充要條件是（）A.\(A\)與\(B\)相似B.\(r(A)=r(B)\)C.\(A\)與\(B\)的正、負慣性指數相同D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)6.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則必有（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)7.設\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是三維向量空間\(V\)的一組基，則下列向量組中，不是\(V\)的基的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)8.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的伴隨矩陣為\(A^\)，若\(\vertA\vert=a\neq0\)，則\(\vertA^\vert\)等于（）A.\(a\)B.\(a^{n-1}\)C.\(a^n\)D.\(a^{-1}\)9.設\(A\)是\(n\)階正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）A.\(\vertA\vert^2=1\)B.\(A^{-1}=A^T\)C.\(A\)的列向量組是單位正交向量組D.\(A\)的特征值都是\(1\)10.設\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，則\(f\)的秩為（）A.1B.2C.3D.0二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關于矩陣運算正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.若\(AB=AC\)，則\(B=C\)2.設向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關，則下列向量組線性無關的有（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)C.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)D.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2,\alpha_3\)3.對于\(n\)元齊次線性方程組\(Ax=0\)，下列說法正確的是（）A.若\(r(A)=n\)，則方程組只有零解B.若\(r(A)\ltn\)，則方程組有非零解C.若方程組有非零解，則\(r(A)\ltn\)D.若方程組只有零解，則\(r(A)=n\)4.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.對于任意非零常數\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)對應于\(\lambda\)的特征向量5.下列矩陣中，是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)6.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(r(A)=r(B)\)D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實對稱矩陣）正定的充要條件有（）A.\(A\)的特征值全大于零B.\(A\)的順序主子式全大于零C.存在可逆矩陣\(C\)，使得\(A=C^TC\)D.對于任意非零向量\(X\)，都有\(f(X)\gt0\)8.設\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，以下說法正確的是（）A.\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)B.若\(m\ltn\)，則\(Ax=b\)有無窮多解C.若\(r(A)=m\)，則\(Ax=b\)有解D.若\(r(A)=n\)，則\(Ax=0\)只有零解9.設向量\(\alpha,\beta,\gamma\)滿足\(\alpha+\beta+\gamma=0\)，則（）A.\(\alpha,\beta,\gamma\)線性相關B.\(\alpha,\beta\)可能線性無關C.\(\beta,\gamma\)一定線性相關D.\(\alpha\)可由\(\beta,\gamma\)線性表示10.以下關于矩陣的秩正確的有（）A.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)B.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)C.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)D.若\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timess\)矩陣，且\(AB=0\)，則\(r(A)+r(B)\leqn\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\(\vertA+B\vert=\vertA\vert+\vertB\vert\)。（）2.向量組中某一個向量可以由其余向量線性表示，則該向量組線性相關。（）3.齊次線性方程組一定有解。（）4.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個不同特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是對應的特征向量，則\(\xi_1+\xi_2\)也是\(A\)的特征向量。（）5.實對稱矩陣一定可以相似對角化。（）6.若\(A\)與\(B\)等價，則\(A\)與\(B\)合同。（）7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)是正定二次型。（）8.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中存在\(r\)階子式不為零。（）9.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩為\(r\)，則其中任意\(r\)個向量都線性無關。（）10.設\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)；或\(A\)滿秩，即\(r(A)=n\)；或存在\(n\)階方陣\(B\)使得\(AB=BA=E\)。2.如何判斷向量組的線性相關性？答案：可通過定義，看是否存在不全為零的數\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)成立；也可求向量組的秩，若秩小于向量個數則線性相關，等于則線性無關。3.簡述實對稱矩陣的性質。答案：實對稱矩陣的特征值都是實數；不同特征值對應的特征向量正交；一定可以相似對角化，即存在正交矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對角陣。4.說明二次型正定的判定方法。答案：一是看二次型矩陣的特征值全大于零；二是二次型矩陣的順序主子式全大于零；三是對任意非零向量\(X\)，二次型函數值\(f(X)\gt0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似與合同的關系及區別。答案：相似與合同都是等價關系。相似矩陣有相同特征值，合同矩陣有相同的正、負慣性指數。若\(A\)與\(B\)相似且\(A\)，\(B\)為實對稱矩陣，則\(A\)與\(B\)合同，但反之不一定成立，合同不一定相似，條件不同。2.向量組的極大線性無關組有什么作用？答案：極大線性無關組可用來表示向量組中其余向量，確定向量組的秩。通過它能簡化向量組研究，將復雜向量組轉化為等價的極大線性無關組來分析，在求解線性方程組、研究向量空間結構等方面都有重要應用。3.闡述線性方程組解的結構定理。答案：對于非齊次線性方程組\(Ax=