大一下學期高數期末試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(3\)D.\(\frac{1}{3}\)3.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導，則\(f^\prime(x_0)=\)（）A.\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)B.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)C.A和B都對D.A和B都不對4.函數\(y=x^3\)的一個原函數是（）A.\(3x^2\)B.\(\frac{1}{3}x^3\)C.\(\frac{1}{4}x^4\)D.\(x^4\)5.\(\int\cosxdx=\)（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)6.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.已知\(f(x)\)的一個原函數是\(e^x\)，則\(f^\prime(x)=\)（）A.\(e^x\)B.\(-e^x\)C.\(e^x+C\)D.\(0\)8.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{2x}=\)（）A.\(e\)B.\(e^2\)C.\(1\)D.\(0\)9.函數\(y=\lnx\)的導數\(y^\prime=\)（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(-\frac{1}{x}\)C.\(\frac{1}{x^2}\)D.\(-\frac{1}{x^2}\)10.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{5}\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)2.函數\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續的充要條件是（）A.\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在B.\(f(x_0)\)有定義C.\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(f^\prime(x_0)\)存在3.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x+e^{-x}\)4.下列導數公式正確的是（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)5.下列積分計算正確的是（）A.\(\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)6.曲線\(y=f(x)\)在點\((x_0,y_0)\)處的切線方程為（）A.\(y-y_0=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)（當\(f^\prime(x_0)\)存在時）B.\(x=x_0\)（當\(f^\prime(x_0)\)不存在時且\(f(x)\)在\(x_0\)處連續）C.\(y=y_0\)（當\(f^\prime(x_0)\)不存在時且\(f(x)\)在\(x_0\)處連續）D.\(y-y_0=-\frac{1}{f^\prime(x_0)}(x-x_0)\)（當\(f^\prime(x_0)\neq0\)時）7.下列函數在其定義域內可導的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=|x|\)C.\(y=\sqrt{x}\)（\(x>0\)）D.\(y=\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)）8.若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數，則（）A.\(F^\prime(x)=f(x)\)B.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)C.\(f^\prime(x)=F(x)\)D.\(\intF(x)dx=f(x)+C\)9.定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的幾何意義可能是（）A.由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成圖形面積的代數和B.由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成圖形的面積C.當\(f(x)\geq0\)時，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成圖形的面積D.當\(f(x)\leq0\)時，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成圖形面積的相反數10.下列關于函數極值的說法正確的是（）A.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)是\(f(x)\)的極值點B.函數\(f(x)\)在極值點處導數一定為\(0\)C.函數\(f(x)\)的極大值可能小于其極小值D.函數\(f(x)\)在某區間內的最值點可能是極值點或區間端點三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內是連續的。（）2.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)。（）3.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續。（）4.函數\(y=x^3\)的導數\(y^\prime=3x^2\)，所以\(y=x^3\)在\(R\)上單調遞增。（）5.\(\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(x)dx\)。（）6.函數\(y=\sinx\)的一個原函數是\(-\cosx+1\)。（）7.曲線\(y=x^2\)與\(y=2x\)所圍成圖形面積為\(\frac{4}{3}\)。（）8.若\(f(x)\)在區間\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續。（）9.函數\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導。（）10.定積分的值與積分變量用什么字母表示無關。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(y=x^3-3x^2+1\)的單調區間。-答案：求導\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，得\(x<0\)或\(x>2\)，單調遞增區間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；令\(y^\prime<0\)，得\(0<x<2\)，單調遞減區間為\((0,2)\)。2.計算\(\intxe^xdx\)。-答案：用分部積分法，設\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。3.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)。-答案：分子分母同時乘以\(\sqrt{1+x}+1\)進行有理化，得到\(\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{2}\)。4.已知曲線\(y=x^2\)，求過點\((1,1)\)的切線方程。-答案：對\(y=x^2\)求導得\(y^\prime=2x\)，當\(x=1\)時，切線斜率\(k=2\)。由點斜式得切線方程為\(y-1=2(x-1)\)，即\(y=2x-1\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的漸近線情況。-答案：垂直漸近線：令\(x-1=0\)，得\(x=1\)，即\(x=1\)是垂直漸近線；水平漸近線：\(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x-1}=0\)，所以\(y=0\)是水平漸近線。2.比較定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)與\(\int_{0}^{1}x^3dx\)的大小，并說明理由。-答案：計算\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}x^3dx=[\frac{1}{4}x^4]_0^1=\frac{1}{4}\)。因為\(\frac{1}{3}>\frac{1}{4}\)，所以\(\int_{0}^{1}x^2dx>\int_{0}^{1}x^3dx\)。3.討論函數\(f(x)=x^4-2x^2+1\)的極值情況。-答案：求導\(f^\prime(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=-1,0,1\)。當\(x<-1\)時，\(f^\prime(x)<0\)；\(-1<x<0\)時，\(f^\prime(x)>0\)；\(0<x<1\)時，\(f^\prime(x)<0\)；\(x>1\)時，\(f^\prime(x)>0\)。所以極大值\(f(0)=1\)，極小值\(f(\pm1)=0\)。4.說明原函數與不定積分的關系。-答案：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數，則\(f(x)\)的不定積分\(\intf(x)dx=F(x)