IB課程HL數(shù)學AI2024-2025年模擬試卷數(shù)據(jù)分析與建模實戰(zhàn)案例分析一、數(shù)據(jù)分析1.已知某城市某年空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的日數(shù)據(jù)如下表所示：|日期|AQI||------|----||1月1日|100||1月2日|105||1月3日|110||1月4日|120||1月5日|130||1月6日|140||1月7日|150||1月8日|160||1月9日|170||1月10日|180|（1）求這10天AQI的平均值。（2）求這10天AQI的中位數(shù)。（3）求這10天AQI的方差。（4）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，繪制AQI的直方圖。二、概率與統(tǒng)計1.某班學生參加數(shù)學考試的成績?nèi)缦卤硭荆簗成績|人數(shù)||----|----||90分|3||80分|5||70分|8||60分|10||50分|4|（1）求該班數(shù)學考試的平均分。（2）求該班數(shù)學考試的最高分和最低分。（3）求該班數(shù)學考試的成績標準差。（4）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，繪制成績的頻率分布圖。三、線性回歸1.已知某城市某年居民消費水平（x）與人均可支配收入（y）的數(shù)據(jù)如下表所示：|居民消費水平（x）|人均可支配收入（y）||------------------|------------------||5000|15000||6000|18000||7000|21000||8000|24000||9000|27000|（1）求居民消費水平與人均可支配收入之間的線性回歸方程。（2）根據(jù)線性回歸方程，預(yù)測當居民消費水平為7500時，人均可支配收入是多少。（3）求線性回歸方程的R2值。（4）根據(jù)線性回歸方程，繪制居民消費水平與人均可支配收入的散點圖。四、時間序列分析要求：根據(jù)以下時間序列數(shù)據(jù)，完成以下任務(wù)。1.使用移動平均法（MA）對數(shù)據(jù)進行平滑處理，窗口大小為3。2.計算平滑后的時間序列的均值。3.使用自回歸模型（AR）對時間序列進行建模，假設(shè)自回歸階數(shù)為1。4.根據(jù)自回歸模型，預(yù)測下一個時間點的值。五、假設(shè)檢驗要求：給定以下數(shù)據(jù)集，進行假設(shè)檢驗。1.假設(shè)檢驗問題：H0:μ=50，H1:μ≠50，其中μ為總體均值。2.使用t檢驗對上述假設(shè)進行檢驗，給定顯著性水平α=0.05。3.計算t統(tǒng)計量。4.判斷是否拒絕原假設(shè)。六、多元回歸分析要求：根據(jù)以下數(shù)據(jù)集，進行多元回歸分析。1.假設(shè)因變量y與自變量x1、x2和x3之間存在線性關(guān)系。2.使用最小二乘法估計多元回歸模型參數(shù)。3.計算回歸系數(shù)的估計值及其標準誤差。4.進行模型擬合優(yōu)度檢驗，包括計算R2值和調(diào)整后的R2值。本次試卷答案如下：一、數(shù)據(jù)分析1.求這10天AQI的平均值：解析：將所有AQI值相加，然后除以天數(shù)（10）。計算：（100+105+110+120+130+140+150+160+170+180）÷10=130答案：1302.求這10天AQI的中位數(shù)：解析：將AQI值從小到大排序，然后找到中間的值。排序：100,105,110,120,130,140,150,160,170,180中位數(shù)：第5個和第6個數(shù)的平均值，即（130+140）÷2=135答案：1353.求這10天AQI的方差：解析：計算每個AQI值與平均值之差的平方，然后求平均值。計算：（（100-130）2+（105-130）2+...+（180-130）2）÷10=622.5答案：622.54.繪制AQI的直方圖：解析：根據(jù)AQI的分布，確定直方圖的橫軸（AQI范圍）和縱軸（頻率）。答案：直方圖需根據(jù)實際數(shù)據(jù)繪制，此處不提供具體圖形。二、概率與統(tǒng)計1.求該班數(shù)學考試的平均分：解析：將所有成績相加，然后除以人數(shù)。計算：（90×3+80×5+70×8+60×10+50×4）÷30=74答案：742.求該班數(shù)學考試的最高分和最低分：解析：直接觀察數(shù)據(jù)表，找出最大值和最小值。答案：最高分90分，最低分50分。3.求該班數(shù)學考試的成績標準差：解析：計算每個成績與平均值之差的平方，然后求平均值，最后開平方。計算：√（（（90-74）2+（80-74）2+...+（50-74）2）÷30）≈11.66答案：約11.664.繪制成績的頻率分布圖：解析：根據(jù)成績的分布，確定頻率分布圖的橫軸（成績區(qū)間）和縱軸（頻率）。答案：頻率分布圖需根據(jù)實際數(shù)據(jù)繪制，此處不提供具體圖形。三、線性回歸1.求居民消費水平與人均可支配收入之間的線性回歸方程：解析：使用最小二乘法估計線性回歸方程的參數(shù)。答案：y=ax+b，其中a和b為回歸系數(shù)，需根據(jù)數(shù)據(jù)計算得出。2.根據(jù)線性回歸方程，預(yù)測當居民消費水平為7500時，人均可支配收入是多少：解析：將x=7500代入線性回歸方程中計算y的值。答案：y=ax+b，其中x=7500，需根據(jù)數(shù)據(jù)計算得出y的值。3.求線性回歸方程的R2值：解析：計算實際值與預(yù)測值之間的相關(guān)系數(shù)的平方。答案：R2=相關(guān)系數(shù)的平方，需根據(jù)數(shù)據(jù)計算得出。4.根據(jù)線性回歸方程，繪制居民消費水平與人均可支配收入的散點圖：解析：根據(jù)數(shù)據(jù)點的坐標，繪制散點圖，并在圖上繪制線性回歸線。答案：散點圖需根據(jù)實際數(shù)據(jù)繪制，此處不提供具體圖形。四、時間序列分析1.使用移動平均法（MA）對數(shù)據(jù)進行平滑處理，窗口大小為3：解析：計算每個數(shù)據(jù)點及其前后兩個數(shù)據(jù)點的平均值。答案：根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到平滑后的時間序列。2.計算平滑后的時間序列的均值：解析：將平滑后的時間序列的所有值相加，然后除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量。答案：根據(jù)平滑后的時間序列計算得到均值。3.使用自回歸模型（AR）對時間序列進行建模，假設(shè)自回歸階數(shù)為1：解析：使用自回歸模型參數(shù)估計模型，其中階數(shù)為1表示當前值與前一值的線性關(guān)系。答案：根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到自回歸模型參數(shù)。4.根據(jù)自回歸模型，預(yù)測下一個時間點的值：解析：將自回歸模型參數(shù)代入模型中，計算預(yù)測值。答案：根據(jù)自回歸模型計算得到下一個時間點的預(yù)測值。五、假設(shè)檢驗1.假設(shè)檢驗問題：H0:μ=50，H1:μ≠50，其中μ為總體均值：解析：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，使用t檢驗判斷總體均值是否等于50。答案：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算t統(tǒng)計量，判斷是否拒絕原假設(shè)。2.使用t檢驗對上述假設(shè)進行檢驗，給定顯著性水平α=0.05：解析：根據(jù)t統(tǒng)計量和自由度，查找t分布表確定臨界值，判斷是否拒絕原假設(shè)。答案：根據(jù)t統(tǒng)計量和自由度，查找t分布表確定臨界值，判斷是否拒絕原假設(shè)。3.計算t統(tǒng)計量：解析：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算t統(tǒng)計量，公式為t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/根號樣本量)。答案：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算t統(tǒng)計量。4.判斷是否拒絕原假設(shè)：解析：根據(jù)t統(tǒng)計量和臨界值比較，判斷是否拒絕原假設(shè)。答案：根據(jù)t統(tǒng)計量和臨界值比較，判斷是否拒絕原假設(shè)。六、多元回歸分析1.假設(shè)因變量y與自變量x1、x2和x3之間存在線性關(guān)系：解析：根據(jù)多元回歸模型，建立因變量與自變量之間的線性關(guān)系。答案：建立多元回歸模型，包括因變量y和自變量x1、x2、x3。2.使用最小二乘法估計多元回歸模型參數(shù)：解析：使用最小二乘法計算回歸系數(shù)的估計值