第十章第五講二項式定理（課件+講義+練習）-【知識梳理】2025年高考數學一輪復習知識梳理-課件下載一、單項選擇題要求：在下列各題中，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知二項式$(a+b)^n$的展開式中，第6項的系數是35，則n的值為：A.5B.6C.7D.82.在二項式$(a-b)^{10}$的展開式中，若第3項和第5項的二項式系數相等，則a和b的關系是：A.$a^2=b^2$B.$a^2=2b^2$C.$a^2=\frac{1}{2}b^2$D.無確定關系二、填空題要求：在下列各題中，每小題填入的答案，必須是正確且完整的。3.二項式$(x+y)^{10}$的展開式中，第7項的二項式系數為_______。4.若$(x+y)^n$的展開式中，第3項和第5項的二項式系數之差為16，則n的值為_______。三、解答題要求：解答下列各題，寫出解答過程。5.求二項式$(2x-3y)^5$的展開式中，x的系數。6.求二項式$(1+x)^n$的展開式中，x^2的系數。四、證明題要求：證明下列各題中的結論。7.證明：二項式$(x+y)^n$的展開式中，各項系數之和等于$(1+1)^n$。五、應用題要求：應用二項式定理解決實際問題。8.已知二項式$(2x-3)^{10}$的展開式中，常數項、x的系數、x^2的系數分別為多少？六、綜合題要求：綜合運用二項式定理解決綜合問題。9.設二項式$(a+b)^n$的展開式中，第6項的二項式系數為C，第8項的二項式系數為D，求證：$C^2=D$。本次試卷答案如下：一、單項選擇題1.答案：C解析：二項式$(a+b)^n$的展開式中，第6項的二項式系數為$C_{n}^{5}$，根據題意$C_{n}^{5}=35$，解得$n=8$。2.答案：D解析：二項式$(a-b)^{10}$的展開式中，第3項和第5項的二項式系數分別為$C_{10}^{2}$和$C_{10}^{4}$，根據題意$C_{10}^{2}=C_{10}^{4}$，由組合數的性質可知，當$n$固定時，$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$，因此$C_{10}^{2}=C_{10}^{8}$，解得$a^2=b^2$。二、填空題3.答案：$C_{10}^{6}$解析：二項式$(x+y)^{10}$的展開式中，第7項的二項式系數為$C_{10}^{6}$。4.答案：7解析：$(x+y)^n$的展開式中，第3項和第5項的二項式系數分別為$C_{n}^{2}$和$C_{n}^{4}$，根據題意$C_{n}^{2}-C_{n}^{4}=16$，利用組合數的性質，$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}$，可以轉化為$C_{n-1}^{1}-C_{n-1}^{3}=16$，解得$n=7$。三、解答題5.答案：$2^5\cdotC_{5}^{2}\cdot(-3)^{5-2}=-720$解析：根據二項式定理，$(2x-3y)^5$的展開式中，x的系數為$2^5\cdotC_{5}^{2}\cdot(-3)^{5-2}$。6.答案：$C_{n}^{2}$解析：根據二項式定理，$(1+x)^n$的展開式中，x^2的系數為$C_{n}^{2}$。四、證明題7.答案：證明過程如下：解析：二項式$(x+y)^n$的展開式為$x^n+C_{n}^{1}x^{n-1}y+C_{n}^{2}x^{n-2}y^2+\ldots+C_{n}^{n-1}xy^{n-1}+y^n$，將$x=1$和$y=1$代入，得到各項系數之和為$(1+1)^n$。五、應用題8.答案：常數項為$C_{10}^{0}\cdot2^{10}\cdot(-3)^0=1024$，x的系數為$C_{10}^{1}\cdot2^9\cdot(-3)^1=-1536$，x^2的系數為$C_{10}^{2}\cdot2^8\cdot(-3)^2=9216$。解析：根據二項式定理，$(2x-3)^{10}$的展開式中，常數項、x的系數、x^2的系數分別為$C_{10}^{0}\cdot2^{10}\cdot(-3)^0$、$C_{10}^{1}\cdot2^9\cdot(-3)^1$、$C_{10}^{2}\cdot2^8\cdot(-3)^2$。六、綜合題9.答案：證明過程如下：解析：二項式$(a+b)^n$的展開式中，第6項的二項式系數為$C_{n}^{5}$，第8項的二項式系數為$C_{n}^{7}$，由組合數的性質，$C_{n}^{5}=C_{n-1}^{4}$，$C_{n}^{7}=C_{n-1}^{6}$，因此$C_{n}^{5}\cdotC_{n-1}^{4}=C_{n-1}^{4}\cdotC_{n-1}^{6}$，即$C_{n}^{5}\cdotC_{n-1}^{4}=C_{n-1}^{10}$，由組合數的性質，$C_{n-1}^{10}=C_{n-1}^{5}\cdotC_{n-1}^{5}$，所以$C_{n}^{5}\cdotC_{n-1}^{4}=C_{n-