數(shù)學(xué)與文學(xué)

數(shù)學(xué)與藝術(shù)之?dāng)?shù)學(xué)與文學(xué)

很多文學(xué)作品中，都會(huì)有關(guān)于數(shù)學(xué)知識的描述，如《春江花月夜》中的“海上明月共潮

生”描寫的周期性現(xiàn)象-潮汐.而在一些對聯(lián)中，有回文的形式，這也會(huì)與高中數(shù)學(xué)知識

中排列組合相關(guān)，那么還有哪些數(shù)學(xué)知識與文學(xué)有聯(lián)系呢？

一、好題賞析

例1.

1.荀子《勸學(xué)》中說：“不積度步，無以至千里；不積小流，無以成江海所以說學(xué)習(xí)

是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止點(diǎn).我們可以把(1+1%)泗看作是每天

的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是1.01=37.7834;而把(1-1%產(chǎn)看作是每天“退步”率都是

1%,一年后是0.99郎=0.0255.若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過(參考數(shù)

據(jù)：110142.0043,1g99nl.9956)()天.

A.200天B.210天C.220天D.230天

例2.

2.“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思！”這首《相思》是唐代山水

田田園詩人王維的作品，王維字摩詰，號摩詰居士，蘇軾有云：“味摩詰之詩，詩中有

畫？觀摩詰之畫，畫中有詩，”這首詩中，在當(dāng)時(shí)的條件下，可以作為命題的是

A.紅豆生南國B.春來發(fā)幾枝C.愿君多采擷？D.此物最相思

二、小試牛刀

3.王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中“攻破樓蘭”

是“返回家鄉(xiāng)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜若游春走，遇

店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)四處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？“用程

序框圖表達(dá)如圖所示，即最終輸出的x=0,則一開始輸入的工的值為()

/輸Ax/

I

7=1

x=2x-l

z=z+l

/輸出x/

（5D

A.3B.1C."D.衛(wèi)

481632

5.中國清代著名小說家蒲松齡創(chuàng)作的文言短篇小說集《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑

水砍柴不堪苦，情歸求穿墻術(shù)，得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟”，形如以下形式的

等式具有“穿墻術(shù)柘=2島居=3島底=4品尾=5底,若

用=晶具有“穿墻術(shù)”,則”

A.6B.7C.8D.9

6.古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說過：“美的線型和其他一切美的形體都必須有對稱形

式”.在中華傳統(tǒng)文化生，建筑、器物、書法、詩歌、對聯(lián)、繪畫幾乎無不講究對稱之

美.如清代詩人黃柏權(quán)的《茶壺回文詩》（如圖）以連環(huán)詩的形式展現(xiàn)，20個(gè)字繞著茶

壺成一圓環(huán)，不論順若讀還是逆著讀，皆成佳作.數(shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，如

2020年02月02日（20200202）被稱為世界完全對稱日（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完

全對稱的日期）.數(shù)學(xué)上把20200202這樣的對稱數(shù)叫回文數(shù)，如兩位數(shù)的問文數(shù)共有9

個(gè)（11,22,…，99）,則在所有四位數(shù)的回文數(shù)中，出現(xiàn)奇數(shù)的概率為（）

茶壺回文詩

【清】黃伯權(quán)【倒讀】

落雪飛芳樹,花艷舞風(fēng)流,

幽紅雨淡霞。霧杳迷月薄。

薄月迷杳霧,班淡雨紅幽,

流風(fēng)舞艷花。樹芳飛雪落。

a菩

?

么

立

文

A棉

￥、

3由

茶

%次A

衣

M￥會(huì)

超

次

奪㈤

-

7.下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還

準(zhǔn)確地描述出了清明時(shí)節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨.某地區(qū)氣象監(jiān)

測資料表明，清明節(jié)當(dāng)天下雨的概率是0.9,連續(xù)兩天下雨的概率是0.63,若該地某年

清明節(jié)當(dāng)天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（）

A.0.63B.0.7C,0.9D.0.567

8.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海

長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中

最后一句“攻破樓蘭”是"返回家鄉(xiāng)”的（）

A.必要條件B.充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

9.在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿'’的名題：”九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，

次第每人分十七，要作第八數(shù)做來言”.題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏，按照年

齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多分17斤綿，則年齡最大的兒子分

到的綿是（）

A.65斤B.82斤C.167斤D.184斤

10.《莊子?天下》篇中記述了一個(gè)著名命題：“一尺之趣，日取其半，萬世不竭.”反映

這個(gè)命題本質(zhì)的式子是（）

111cl

A.1+萬+齊+…+三=2萬

B.-+-7+???+—<1

2222"

11.《墨經(jīng)》上說：“小故，有之不必然，無之必不然體也，若有端.大故，有之必然，若

見之成見也.”則“有之必然”表述的數(shù)學(xué)關(guān)系一定是（）

A.充分條件B.必要條件

C.既不充分也不必要條件D.不能確定

12.必修一課本有一段話：當(dāng)命題”若〃，則V，為真命題，則“由〃可以推出4”，即一

旦〃成立，q就成立，〃是q成立的充分條件.也可以這樣說，若q不成立,那么〃一定

不成立，q對，成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇

偉、瑰怪，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏

輯角度分析，“有志''是“能至”的（）

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

13.原始的蚊香出現(xiàn)在宋代.根據(jù)宋代《格物粗談》記載：“端午時(shí)，貯浮萍，陰干，

加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲.”如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺

旋蚊香”，畫法如下：在水平直線/上取長度為1的線段做一個(gè)等邊三角形ABC,

然后以點(diǎn)B為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段C3的延長線于點(diǎn)。，再以點(diǎn)C為

圓心，C。為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段AC的延長線于點(diǎn)E,以此類推，則如圖所示

14.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白三登山望烽火，黃昏飲馬傍交河

詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下

某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系

中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?+若將軍從點(diǎn)42,0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為

工十y=3,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，貝廣將軍飲馬”的最短總路程

為（）

A.應(yīng)B.Vio->/2C.25/2D.M

15.在中國古代詩詞中,有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)命題：“九百九十六斤綿，分給八子

做盤纏，次第每人多十七，要將第七數(shù)來言.”題意是：把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏，

按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第7個(gè)兒子

分到的綿是（）

A.167斤B.184斤C.191斤D.201斤

16.”數(shù)摺聚清風(fēng)，?捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，

扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號.如圖是折扇的示意圖，其

中OA=20cm,乙4。8=120。，加為04的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（）

B

M

O

A.50-Tcm2B.l（X）,TcnrC.150^cm2D.200乃cm?

17.宋代學(xué)者聶崇義編撰的《三禮圖集注》中描述的周王城，“匠人營國，方九里，旁

三門，國中九經(jīng)九緯……”；意思是周王城為正方形，邊長為九里，每邊都有左中右三

個(gè)門；城內(nèi)縱橫各有九條路……；則依據(jù)此種描述，畫出周王城的平面圖，則圖中共有

（）個(gè)矩形

18.在古印度的數(shù)學(xué)著作《麗拉沃蒂》中，有這樣一個(gè)問題：某人給一個(gè)人布施，初日

施3德拉瑪（占印度貨幣單位），其后口增2德拉瑪，共仙施360德拉瑪，請快告訴我，

他布施了幾日？這個(gè)問題的答案是（）

A.9B.18C.20D.24

19.學(xué)數(shù)學(xué)的人重推理愛質(zhì)疑，比如唐代詩人盧死《寒下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁

逃.欲將輕騎逐，大雪滿弓刀這是一首邊塞詩的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，

既刻畫出邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情.這首詩歷代傳請，而無人提出

疑問，當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚以數(shù)學(xué)家特有的敏感和嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)現(xiàn)了此詩的?

些疑點(diǎn)，并寫詩質(zhì)疑，詩云：北方大雪時(shí)，群雁早南歸.月黑天高處，怎得見雁飛？”

但是，數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國數(shù)學(xué)家貴馬于1640年提出了以下猜想

工=2F（〃=0,l,2,-）是質(zhì)數(shù)，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出

"=641*6700417不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)%=10氏［104（工一1）］（〃=1,2,）,2=丁六可則

表示數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S.=.

20.《紅樓夢》，中國古代章回體長篇小說，中國古典四大名著之?般認(rèn)為是清代作

家曹雪芹所著.《紅樓夢》是一部具有世界影響力的人情小說，舉世公認(rèn)的中國古典小

說巔峰之作，中國封建社會(huì)的百科全書，傳統(tǒng)文化的集大成者.《紅樓夢》三十七回賈

探春提議邀集大觀園中有文采的人組成海棠詩社.詩社成立目的旨在“宴集詩人於風(fēng)庭

月榭：醉飛吟盞於簾杏溪桃，作詩吟辭以顯大觀園眾姊妹之文采不讓桃李須眉.”詩社成

員有8人林黛玉、薛寶釵、史湘云、賈迎春、賈探春、賈惜春、賈寶玉及李紈.若林黛

玉、薛寶釵、賈寶玉3人不相鄰，共有種排列方法.（用數(shù)字作答）

21.中國獨(dú)有的文書工具，即筆、墨、紙、硯，有文房四寶之名，起源于南北朝時(shí)期.其

中宣紙是文房四寶的一種，宣紙“始于唐代，產(chǎn)于涇縣“，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故

因地得名宣紙.宣紙按質(zhì)量等級分為：正牌（優(yōu)等品）、副牌（合格品）、廢品三等.某

公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作，年產(chǎn)宣紙10000刀（1"=100張），該公司按照某種質(zhì)量

指標(biāo)X給宣紙確定等級如表所示：

X的范圍(44.48](52,56](48,52][0,44]u(56,60]

質(zhì)量等級副牌正牌廢品

在該公司所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)生產(chǎn)了一刀進(jìn)行檢驗(yàn)，得到頻率分布直方圖如圖所示，已

知每張正牌宣紙的利潤為15元，副牌宣紙利潤為8元，廢品的利潤為-20元.

頻率

（1）試估計(jì)該公司的年利潤；

（2）市場上有一種售價(jià)為100萬元的機(jī)器可以改進(jìn)宣紙的生產(chǎn)工藝，但這種機(jī)器的使用

壽命為一年，只能提高宣紙的質(zhì)量，不能增加宣紙的年產(chǎn)量；據(jù)調(diào)杳這種機(jī)器生產(chǎn)的宣

紙的質(zhì)晟指標(biāo)x如表所示：

x的范圍卜-2,x+2)(x-6,x+6)

頻率0.68270.9545

其中為質(zhì)量指標(biāo)X的平均值，但是由于人們對傳統(tǒng)手工工藝的認(rèn)可，改進(jìn)后的正牌和副

牌宣紙的利潤都將卜.降3元/張，請?jiān)摴臼欠褓徺I這種機(jī)器，請你為公司提出合理建議,

并說明理由.（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

22.古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)……”,

對稱美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要組成部分，比如圓，正多邊形……，請解決以下問題：

（1）魏晉時(shí)期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì),

所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣“，割圓術(shù)可以視為將

一個(gè)圓內(nèi)接正〃邊形等分成〃個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)〃變得很大時(shí)，等腰三角形

的面積之和近似等丁?圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，求sin3。的近似值（結(jié)果保留不）.

R+r=----------

（2）正〃邊形的邊長為m內(nèi)切圓的半徑為,,外接圓的半徑為R,求證:

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)題意可列出方程100x0.99、=1.0。求解即可.

【詳解】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍,見100x0.99、=1.01'，即（四f=100，

[0.99J

_IglOO_lgl00_2

???T-log?nt1in00n-1—I-[八i-

瑞IgL211g121IglOI—lg99

&0.99&99

2_*223430

2.0043-1.99560.0087'"

故選：D.

2.A

【解析】根據(jù)命題的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】對TA選項(xiàng)，“纖.豆牛南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實(shí)，所以,本句是命

題；

對于B選項(xiàng)，“春來發(fā)幾支”是疑問句，不是命題；

對于c選項(xiàng)，“愿君多采擷”是祈使句，不是命題；

對于D選項(xiàng)，“此物最相思”是感嘆句，不是命題.

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)詩句的含義及充分條件、必要條件的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】“不破樓蘭終不還''指"不攻破樓蘭”不問家，但“攻破樓蘭''不一定''返I可家鄉(xiāng)”，

但“返回家鄉(xiāng)”一定“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)''的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】設(shè)輸入的“值為“，將循環(huán)列舉出來，可得出輸出的x關(guān)丁。的表達(dá)式，由輸出的“

值為零，可求得。的值，即可得解.

【詳解】設(shè)出入的工值為“，第一次循環(huán)，i=l,x=2a-l,i=l+l=2,i=2>4不成立；

第二次循環(huán)，x=23-1）-1=4。-3,j=2+l=3,i=3>4不成立；

第三次循環(huán)，x=2（4a—3）-1=8。-7,/=3+1=4,i=4>4不成立；

第四次循環(huán)，x=2（8?-7）-l=16^-I5,/=4i1=5,i=5>4成立，跳出循環(huán)體.

輸出的x=16a—15=0,解得。=77.

16

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸入結(jié)果，一般要求將程序的每一步列舉出來，考查計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【詳解】分析：通過歸納法，找到系數(shù)、分母、分子間的關(guān)系，即可得到n的值.

詳解：具有“穿墻術(shù)”的數(shù)字特征為J〃號,因?yàn)閮?〃您具有“穿墻術(shù)”

所以〃=9

所以選D

點(diǎn)睛：本題考查了歸納推理的應(yīng)用，通過所給示例找到變化的規(guī)律特征，從而求出項(xiàng)的值，

是簡單題.

6.C

【分析】由4位回文數(shù)只用排列前兩位數(shù)字，后面數(shù)字隨之確定，根據(jù)第一位不能為0,第

二位任取，得到4位回文數(shù)的個(gè)數(shù)，由第一位是奇數(shù)，第二位數(shù)任取，得到奇數(shù)的個(gè)數(shù)，

代入占典概型的概率個(gè)數(shù)求解.

【詳解】4位回文數(shù)只用排列前兩位數(shù)字，后面數(shù)字可以確定，

但是第一位不能為0,有9種情況，第二位有10種情況，

，4位回文數(shù)有：9x10=90.

4位回文數(shù)的第一位是奇數(shù)，有5種情況，第二位有10種情況，

，四位數(shù)的回文數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：5x10=50,

，在所有四位數(shù)的【可文數(shù)中，出現(xiàn)奇數(shù)的概率為2=郎=焉.

故選：C.

7.B

【分析】直接利用條件概率公式計(jì)算得到答案.

【詳解】記事件A表示“清明節(jié)當(dāng)天下雨”，8表示“第二天下雨”，

由題意可知,30.9,20.63,所"⑷瞽L鬻=0.7.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率，意在考直學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力

8.A

【分析】先閱讀理解題意，再利用充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由題意知，“返回家鄉(xiāng)”則可推得“攻破樓蘭”，即必要條件成立，

反之“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，即充分條件不成立，

故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.

故選:A.

9.A

【分析】首先根據(jù)題意設(shè)8個(gè)兒子按年齡從大到小依次分綿《斤，的斤，%斤，…，&斤，

Q7

從而得到數(shù)列｛凡｝為公差為17的等差數(shù)列，再根據(jù)8q+《x-xl7=996求解即可.

【詳解】設(shè)8個(gè)兒子按年齡從大到小依次分綿％斤，七斤，的斤，…，4斤，

則數(shù)列｛%｝為公差為17的等差數(shù)列.

因?yàn)榫d的總數(shù)為996斤，

O*7

所以8q+卷x-x]7=996,解得q=65.

故選：A

10.B

【分析】根據(jù)題意得到每天截取的線段長度構(gòu)成了以《為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，然后

用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求和，根據(jù)其和小于1即可說明命題.

【詳解】該命題說明每天截取的線段長度構(gòu)成了以3為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，

因?yàn)?+1+…+!=1<1，所以能反映命題本質(zhì)的式子是:+5+…+!<1.

22*222才2

故選：B.

II.A

【分析】讀懂古文的含義，根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判定，即可求解

【詳解】由“小故，有之不必然，無之必不然體也，若有瑞.大故，有之必然，若見之成見也“

知“大故”必然有其原因，有其原因必然會(huì)發(fā)生，

所以“有之必然”所表述的數(shù)學(xué)關(guān)系一定是充分條件.

故選：A.

12.B

【分析】本題可根據(jù)充分條件與必要條件的定義得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤烈病凹础坝兄尽辈怀闪r(shí)“能至”一定不成立，

所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件,

故選:B.

13.B

【分析】根據(jù)三角形人“C為等邊三角形，易知每?段弧是圓周長的《求解.

【詳解】由題意知：“螺旋蚊香”的總長度為/=；x2%(1+2+3+4+5+6)=14萬，

故選：B

14.B

【分析】求出A關(guān)于直線x+y=3的對稱點(diǎn)4坐標(biāo)，由T到圓心距離減去圓半徑可得.

【詳解】設(shè)點(diǎn)人關(guān)于直線工+丁=3的對稱點(diǎn)4'(。力)，AT的中點(diǎn)為(竽,六

(-1)=-1—3

故"一：A解得，要使從點(diǎn)A到軍營總路程最短，即為點(diǎn)4到軍營最短距離，

a+2b,b=\

----+-=3

22

“將軍飲馬”的最短總路程為行丁=

故選：B.

15.A

【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列模型求解.先確定通項(xiàng)公式，再根據(jù)前8項(xiàng)和為996,求出

首項(xiàng)，再利用通項(xiàng)公式求某一項(xiàng)的值.

【詳解】記8個(gè)兒子按年齡從大到小依次分棉q斤，缺斤，4斤，…，如斤，

因?yàn)榘凑漳挲g從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，

所以數(shù)列｛〃”｝為等差數(shù)列，且公差為17,所以凡=4+工(〃-1).

Q7

因?yàn)榫d的總數(shù)為996斤，所以8%+3x一＞17=996,解得q=65.

所以第7個(gè)兒子分到的綿是%=65+17x6=167斤.

故選：A.

16.B

【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算可得;

【詳解】解：扇環(huán)的面積為S=■!■Q/—J,。。：［=3a，=?x至x400=1004.

22\2)883

故選：B

17.A

【分析】本題可借助組合數(shù)以及分步乘法計(jì)數(shù)原理得出結(jié)果.

【詳解】要想組成一個(gè)矩形，需要找出兩條橫邊、兩條縱邊，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，依題意，所有矩形的個(gè)數(shù)為C=C［=3025,

故選：A.

18.B

【分析】根據(jù)題意得到這個(gè)人每日布施的金錢數(shù)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，結(jié)

合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由題意，這個(gè)人每日布施的金錢數(shù)構(gòu)成以4=3為首項(xiàng)，公差為4=2的等差數(shù)列,

"("1)x2

設(shè)他布施了〃口，則S“=3〃+=360,解得〃=18或〃=-20(舍去).

2

故選：B.

【分析】依題意可得可=〃，從而得到仇=L—-二，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可；

【詳解】解：把居=2J1代入%=。2口%優(yōu)T)］，

r

得an=log,log,(2+l-1^=Iog22"=n,

則小品于麗島f

"I2)U3j{n7Z+1Jn+\〃+l

故答案為：

n+\

20.14400

【分析】原問題等價(jià)于：含。，4c在內(nèi)的8個(gè)不同元素排成一排，其中。，力，。互不相鄰的排列

方法有多少種？先將除。力，。之外的5個(gè)元素排成一排，共有6個(gè)空檔，將dAc安排到6

個(gè)空檔之中，原來5個(gè)元素全排列即可.

【詳解】原問題等價(jià)于：含在內(nèi)的8個(gè)不同元素排成一排，其中《〃工?互不相鄰的排列

方法有多少種？

先將除之外的5個(gè)元素（小圓圈）排成一排，共有6個(gè)空檔（小三角），如圖所示.

將a,b,c安排到6個(gè)空檔之中，原來5個(gè)元素全排列即可.

所以，不同的排列方法共有《6=120x120=14400種.

故答案為：14400.

△OAOAOAOAOA

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決元素“相鄰”的排列問題時(shí)經(jīng)常用“捆綁”，在解決元素“不相鄰”的

排列問題時(shí)經(jīng)常用“插空

21.（1）520萬元；（2）建議該公司購買這種機(jī)器，理由見解析.

【分析】（1）計(jì)算出一刀宣紙中正牌紙、副牌紙以及廢品紙的張數(shù)，結(jié)合已知條件計(jì)算出一

刀宣紙的利潤的估計(jì)值，再乘以10000“J得結(jié)果；

（2）計(jì)算出該公司改進(jìn)前后一刀宣紙的利潤，比較大小后可得出結(jié)論.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：一刀宣紙有正牌100x0.1x4=40張，有副牌

1（X）x0.05x4x2=40張，有廢品1（X）x0.025x4x2=20張，

該公司一刀宣紙的利潤的估計(jì)值為40x15+40x8-20x20=520元，

.??估計(jì)該公司的年利潤為520萬元；

（2）由頻率分布直方圖得：

x=42x0.025x4+46x0.025x4+50x0.1x4+50x0.1x4+58x0.025x4=50.

這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)晟指標(biāo)x如卜表所示：

X的范圍(x-2,4+2)(x-6,x+6)