3.3幕函數

【學習目標】

課程標準學科素養

1.了解罌函數的概念，會求事函數的解析式.1、數學模型

11

2.結合基函數y=x,y=x2,y=x\y=~,y=V的圖象，掌握它們的2、數學運算

性質（重點）.3、直觀想象

3.能利用基函數的單調性比較指數暴的大小（重點）.

【自主學習】

募函數的概念

1.一般地，函數叫做基函數，其中X是自變量，a是常數.

2.塞函數解析式的結構特征

①指數為常數；②底數是自變量，自變量的系數為1;③幕K的系數為1;④只有1項.

二.幕函數的圖象尸/1尸3,尸

幕函數在第一象限內指數變化規律：'\\\\//J

在第一象限內直線x=l的右側，圖象從上到下，相應的指數由\

大變小；在直線尤=1的左側，圖象從下到上，相應的指數由大…二、高;

變小.一;

三.嘉函數的性質7\I:

一i

幕函數y=xV=A-y=/尸X

定義域

值域

奇偶性

x￡[0,+oo),_x《(0,+oo),___

單調性

xE(—oo,0],_%E(—00,0),_

公共點都經過點_____

性質：

⑴所有暴函數在（0,+8）上都有定義，并且當自變量為1時，函數值為1,即火1）=1.

⑵如果a>0,則基函數在［0,+oo）上有意義，且是增函數.

（3）如果aVO,則基函數在x=0處無意義，在（0,十8）上是減函數.

【小試牛刀】

i.思辨解析（正確的打y“，錯誤的打“X”）

（1）函數y=x°C#O）是基函數.（）

⑵幕函數的圖象必過點（0,0）和（1』）.（）

⑶基函數的圖象都不過第二、四象限.（）

（4）當a>0時，y=y是增函數.（）

2.下列函數為幕函數的是（）

a,13

A.y=2x3B.y=2x2—1C.y=~D.y=?

【經典例題】

題型一幕函數的概念

點撥：判斷一個函數是否為源函數的依據是該函數是否為y=F（a為常數）的形式，即函數的解

析式為一個幕的形式，且需滿足：（1）指數為常數；（2）底數為自變量；（3）系數為1.

1_1

例1（1）在函數①y=?②y=f,③y=21④y=l,@y=2r,⑥y=x?中，是幕函數的是

（）

A.①②④⑤B.③④⑥C.①②⑥D.①②④⑤⑥

⑵函數〃%）=（加2—加-1）/+1是基函數，且當xG（o,+8）時，外）是增函數，求/（X）的解析

式.

【跟蹤訓練】1若鼎函數7U）滿足火9）=3,則<100）=.

題型二募函數的圖象及性質

點撥：解決幕函數圖象問題應把握的兩個原則

（1）依據圖象高低判斷寐指數大小，相關結論為：

①在xW（0,1）上，指數越大，凝函數圖象越靠近無軸（簡記為指大圖低）；②在xW（l,+oo）上，

指數越大，賽函數圖象越遠離x軸（簡記為指大圖高）.

（2）依據圖象確定賽指數a與0,1的大小關系，即根據賽函數在第一象限內的圖象的凹凸來判

斷.

例2求下列函數的定義域，并指出其奇偶性和單調性.

23

①y=爐；②尸%4；@y=x~2；④產x4.

【跟蹤訓練】2（1）函數產好的圖象是（）

ABCD

(2)如圖所示，圖中的曲線是基函數y=x"在第一象限的圖象，已知〃取±2,±3四個值，則相應

于G,Ci,。，C4的〃依次為()G

A--2,~rr2B.2,I，-2

c.-1,-2,2,1D.2,I，-2,一；----------*

2222o1x

題型三利用塞函數的性質比較大小I

點撥：比較幕值大小的方法

(1)若指數相同，底數不同，則考慮賽函數.

(2)若指數不同，底數相同，則考慮借助圖象求解.

(3)若指數與底數都不同，則考慮插入中間數，使這個數的底數與所比較數的一個底數相同，

指數與另一個數的指數相同，那么這個數就介于所比較的兩數之間，進而比較大小.

例3比較下列各組數的大小.

!!_223

(1)13,1.711；(2)3.8與，3.9?,(-1.8)5；(3)314515.

【跟蹤訓練】3設。=0.6叫/>=0.615,c=1.506,則a、b、c的大小關系是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

2\_

例4若(3-2〃?)3>(加+1)3,求實數m的范圍.

注意：構造疑函數，利用基函數的單調性比較大小.

【跟蹤訓練】4已知幕函數段)=/,若加+1)勺(10—2a),則a的取值范圍是

【當堂達標】

1.（多選）下列函數是幕函數的是（）

A.y=5xB.y=j^C.D.y=（x+l）3

r\3r\2鼻2

2.設&=（—），力=（一）晨=（—/,則a,仇c的大小關系是（）

A..a>b>cB.c>a>bC.a<b<cD.b>c>a

3.如圖是基函數丁=/與丫=爐在第一象限內的圖象，則（）

A.—l<n<O<m<lB.n<—1,0</77<1

C.—1<〃<0，m>\D./:<—1,m>l

4.已知基函數y=/（x）的圖象經過點（4,則式2）=o

5.比較下列各組數的大小：

722

-5_5二小節（2丫3/（萬丫3

⑴32和3.12；（2）一88和一一.（3）一一和一土。

⑼I3/<6J

6.已知累函數^二爐獷北加七產）的圖象關于y軸對稱，且在區間（0,+功上是減函數，求/U）的

解析式.

【課堂小結】

1.幕函數），=爐的底數是自變量，指數是常數.

2.累函數在第一象限內指數變化規律

在第一象限內直線x=l的右側，圖象從上到下，相應的指數由大變小；在直線尤=1的左

側，圖象從下到上，相應的指數由大變小.

3.簡單累函數的性質

⑴所有幕函數在（0,+8）上都有定義，并且當自變量為1時，函數值為1,即yu）=L

⑵如果a〉O,基函數在［0,+oo）上有意義，且是增函數.

（3）如果a<0,幕函數在x=0處無意義，在（0,+oo）上是減函數.

【參考答案】

【自主學習】

y=K

1

2尸％3l

幕函數y=xy=xy=^y=x~

(—co,0)U(0,+

定義域RRR[0,+oo)

00)

值域R[0,+oo)R[0,+oo){jljGR,且)￥0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

%e[0,+oo),增xG(0,+QO),減

單調性增增增

x^(—oo,0],減%￡(—oo,0),減

公共點都經過點(1,1)

【小試牛刀】

1.(1W(2)x(3)x(4)X

2.C

【經典例題】

例1(1)C幕函數是形如y=P(a為常數)的函數，①是a=—1的情形，②是a=2的情形，⑥

是a=一￡的情形，所以①②⑥都是幕函數；③是指數函數，不是事函數；⑤中/的系數是2,

所以不是基函數；④是常函數，不是基函數.所以只有①②⑥是基函數.故選C.

(2)由那一加一1=1得，加2一加一2=0,解得加=2或加=—1.

當加=2時，源+加―3=3,兀口=%3符合要求，

當—1,〃尸+機―3=—3V0,在(0,+s)為減函數，不符合要求.

綜上，

【跟蹤訓練】110解析：設外)=必由.*9)=3,得9。=3,，a=；,

:D=/，100)=1002=10.

例2解:①函數y=爐，即丫=遇，其定義域為R；是偶函數；它在［0,+oo)上為增函數，在

(-00,0］上為減函數.

②函數y=x3即｝?=編，其定義域為［0,+oo)；既不是奇函數，也不是偶函數；它在［0,十

8)上為增函數.

③函數y=X"，即y=E，其定義域為(一8,0)U(0,+00);是偶函數；它在(0,+oo)上為減函

數，在(一8,0)上為增函數.

④函數y=x3即〉=一」，其定義域為(0,+?))；既不是奇函數，也不是偶函數；它在(0,

+8)上為減函數.

【跟蹤訓練】2(1)B解析：直接由基函數的圖象特征判定.

(2)B解析：根據基函數y=爐的性質，在第一象限內的圖象當〃〉0時，〃越大，y=爐遞增速度

越快，故Ci的〃=2,C2的〃當〃<0時，|〃|越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的"=一斗

曲線C4的"=一2,故選B.

\_

例3解：(1)因為函數y=/在(0,+8)上單調遞增，且

所以1.73>1于>1.

_223

(2)因為0V3.83VI,3.95>1,(-1.8)5<0,

2_23

所以395>3.83>(-1.8)5.

⑶根據募函數和指數函數的單調性，得3L4<3L5<5L5,所以314<5”

【跟蹤訓練】3(2；0.6￡(0,1),.口=06是減函數，，0.6()6>06-5,又>=心6在(0,+oo)是增

函數，/.1.50-6>0.60-6,：.c>a>b,故選C.

I3—2T21>0,

例4解：因為丁=9在定義域［0,+oo)上是增函數，所以<加+lNO，解得-

〔3-2心1,

故實數機的取值范圍為［—1,1).

_1

—2

【跟蹤訓練】4(3,5)解析??7W=x,易知人x)在(0,+8)上為減函數,

pz+l〉0,

又|a+lK/UO-2a),.?410—2。>0,解得<。<5,

...3VQ<5?

[a+1>10-2aL>3.

【當堂達標】

1.BC解析：函數y=5*是指數函數，不是基函數；函數y=(x+l)3的底數不是自變量x,不是

幕函數；函數y=/是幕函數.

2.C解析：因為a=(2f-力=(2A=(_￡，,C=(3)G=(_L)5，又函數於尸單調遞增，且_L<A

51萬55251