PAGEPAGE12第2課時圓與圓的位置關系、直線與圓的方程的應用[核心必知]1．預習教材，問題導入依據以下提綱，預習教材P129～P132，回答下列問題．(1)如何利用幾何性質推斷圓與圓的位置關系？推斷步驟如何？提示：設兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：①當l>r1＋r2時，圓C1與圓C2外離；②當l＝r1＋r2時，圓C1與圓C2外切；③當|r1－r2|<l<r1＋r2時，圓C1與圓C2相交；④當l＝|r1－r2|時，圓C1與圓C2內切；⑤當l<|r1－r2|時，圓C1與圓C2內含．推斷步驟為：①將兩圓的方程化為標準方程；②求兩圓的圓心坐標和半徑R、r；③求兩圓的圓心距d；④比較d與|R－r|，R＋r的大小關系得出結論．(2)已知兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通過代數的方法推斷兩圓的位置關系？提示：聯立兩圓的方程，消去y后得到一個關于x的一元二次方程，當判別式Δ>0時，兩圓相交，當Δ＝0時，兩圓外切或內切，當Δ<0時，兩圓外離或內含．2．歸納總結，核心必記(1)圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種，分別為外離、外切、相交、內切、內含．(2)圓與圓位置關系的判定①幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系的推斷方法如下：位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1、r2的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|②代數法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數進行推斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))消元，一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0?相交,Δ＝0?內切或外切,Δ<0?外離或內含))[問題思索]將兩個相交的非同心圓的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相減，可得始終線方程，這條直線方程具有什么樣的特別性呢？提示：兩圓相減得始終線方程，它經過兩圓的公共點．經過相交兩圓的公共交點的直線是兩圓的公共弦所在的直線．[課前反思]通過以上預習，必需駕馭的幾個學問點．(1)圓與圓有哪些位置關系？；(2)怎樣推斷圓與圓的位置關系？.下圖為在某地12月24日拍到的日環食全過程．可以用兩個圓來表示變更過程．[思索1]依據上圖，結合平面幾何，圓與圓的位置關系有幾種？提示：5種，即內含、內切、相交、外切、外離．[思索2]能否通過一些數量關系表示這些圓的位置關系？提示：可以，利用圓心距與半徑的關系可推斷．[思索3]直線與圓的位置關系可利用幾何法與代數法推斷，那么圓與圓的位置關系能否利用代數法推斷？提示：可以．講一講1．當實數k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相離？(鏈接教材P129－例3)[嘗試解答]將兩圓的一般方程化為標準方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑長r1＝1；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑長r2＝eq\r(50－k)(k＜50)，從而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.當1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34時，兩圓外切．當|eq\r(50－k)－1|＝5，即eq\r(50－k)＝6，即k＝14時，兩圓內切．當|eq\r(50－k)－1|＜5＜1＋eq\r(50－k)，即k∈(14,34)時，兩圓相交．當1＋eq\r(50－k)＜5或|eq\r(50－k)－1|＞5，即k∈(34,50)∪(－∞，14)時，兩圓相離．(1)推斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟：①化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；②計算兩圓圓心的距離d；③通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來推斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可借助于圖形，數形結合．(2)應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數的范圍是特別簡潔清楚的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系．練一練1．兩圓C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置關系是()A．相離B．相切C．相交D．內含解析：選C法一：(幾何法)把兩圓的方程分別配方，化為標準方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以兩圓圓心為C1(1,0)，C2(2，－1)，半徑為r1＝2，r2＝eq\r(2)，則連心線的長|C1C2|＝eq\r(1－22＋0＋12)＝eq\r(2)，r1＋r2＝2＋eq\r(2)，r1－r2＝2－eq\r(2)，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，兩圓相交．法二：(代數法)聯立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－3＝0，,x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝－2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝0，))即方程組有2組解，也就是說兩圓的交點個數為2，故可推斷兩圓相交．講一講2．已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．[嘗試解答]設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，①,x2＋y2－4x＋2y－11＝0②))的解，①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B兩點坐標都滿意此方程，∴3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程．易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑r1＝3.又C1到直線AB的距離為d＝eq\f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋－42))＝eq\f(9,5).∴|AB|＝2eq\r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))2)＝eq\f(24,5).即兩圓的公共弦長為eq\f(24,5).(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，依據勾股定理求解．練一練2．求兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程及公共弦長．解：聯立兩圓的方程得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減得x－2y＋4＝0，此即為兩圓公共弦所在直線的方程．法一：設兩圓相交于點A，B，則A，B兩點坐標滿意方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以|AB|＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5)，即公共弦長為2eq\r(5).法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心坐標為(1，－5)，半徑長r＝5eq\r(2)，圓心到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq\r(5).設公共弦長為2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3eq\r(5))2＋l2，解得l＝eq\r(5)，故公共弦長2l＝2eq\r(5).講一講3．有一種大型商品，A，B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品運回來，每公里的運費A地是B地的兩倍，若A，B兩地相距10公里，顧客選擇A地或B地購買這種商品的運費和價格的總費用較低，那么不同地點的居民應如何選擇購買此商品的地點？[思路點撥]建系后利用居民選擇在A地購買商品建立不等關系后化簡作出推斷．[嘗試解答]以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，如圖所示，設A(－5,0)，則B(5,0)．在坐標平面內任取一點P(x，y)，設從A運貨到P地的運費為2a元/km.則從B運貨到P地運費為a元/km.若P地居民選擇在A地購買此商品，則2aeq\r(x＋52＋y2)<aeq\r(x－52＋y2)，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3)))2＋y2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)))2，即點P在圓C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)))2的內部．也就是說，圓C內的居民應在A地購物．同理可推得圓C外的居民應在B地購物．圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購物．解決關于直線與圓方程實際應用問題的步驟練一練3．臺風中心從A地以20千米/時的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區為危急區，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危急區內的時間為()A．0.5小時B．1小時C．1.5小時D．2小時解析：選B以臺風中心A為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖，則臺風中心在直線y＝x上移動，又B(40,0)到y＝x的距離為d＝20eq\r(2)，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即臺風中心從E到F時，B城市處于危急區內，時間為t＝eq\f(20千米,20千米/時)＝1小時．故選B.———————————[課堂歸納·感悟提升]————————————1．本節課的重點是理解并駕馭圓與圓的位置關系，會利用方程推斷圓與圓的位置關系，以及解決有關問題，能利用直線與圓的方程解決平面幾何問題，能利用直線與圓的方程解決簡潔的實際生活問題．難點是利用方程推斷圓與圓的位置關系及利用直線與圓的方程解決簡潔的實際生活問題．2．本節課要重點駕馭的規律方法(1)推斷兩圓位置關系的方法及應用，見講1.(2)求兩圓公共弦長的方法，見講2.(3)解決直線與圓的方程的實際應用問題的步驟，見講3.3．本節課的易錯點是推斷兩圓位置關系時易忽視相切的兩種狀況而丟解，如講1.課下實力提升(二十五)[學業水平達標練]題組1圓與圓的位置關系1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系為()A．相離B．相交C．外切D．內切解析：選B圓O1的圓心坐標為(1,0)，半徑長r1＝1；圓O2的圓心坐標為(0,2)，半徑長r2＝2;1＝r2－r1<|O1O2|＝eq\r(5)<r1＋r2＝3，即兩圓相交．2．若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，1)B．(121，＋∞)C．[1,121]D．(1,121)解析：選Cx2＋y2＋6x－8y－11＝0化成標準方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圓心距為d＝eq\r(0＋32＋0－42)＝5，若兩圓有公共點，則|6－eq\r(m)|≤5≤6＋eq\r(m)，∴1≤m≤121.3．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的位置關系是________．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此兩圓外切．答案：外切4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點，則直線AB的方程是________．解析：圓的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化為x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，兩式相減得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．求與圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于點A(4，－1)且半徑為1的圓的方程．解：設所求圓的圓心為P(a，b)，則eq\r(a－42＋b＋12)＝1.①(1)若兩圓外切，則有eq\r(a－22＋b＋12)＝1＋2＝3,②聯立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若兩圓內切，則有eq\r(a－22＋b＋12)＝|2－1|＝1,③聯立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝1.綜上所述，所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.題組2直線與圓的方程的應用6．一輛卡車寬1.6米，要經過一個半徑為3.6米的半圓形隧道，則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距地面的高度不得超過()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：選B建立如圖所示的平面直角坐標系．如圖設蓬頂距地面高度為h，則A(0.8，h－3.6)所在圓的方程為：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝4eq\r(0.77)≈3.5(米)．7．某公園有A、B兩個景點，位于一條小路(直道)的同側，分別距小路eq\r(2)km和2eq\r(2)km，且A、B景點間相距2km，今欲在該小路上設一觀景點，使兩景點在同時進入視線時有最佳欣賞和拍攝效果，則觀景點應設在何處？解：所選觀景點應使對兩景點的視角最大．由平面幾何學問知，該點應是過A、B兩點的圓與小路所在的直線相切時的切點．以小路所在直線為x軸，B點在y軸正半軸上建立平面直角坐標系．由題意，得A(eq\r(2)，eq\r(2))，B(0,2eq\r(2))，設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A、B兩點在圓上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2)，,b＝5\r(2)，))由實際意義知a＝0，b＝eq\r(2)，∴圓的方程為x2＋(y－eq\r(2))2＝2，切點為(0,0)，∴觀景點應設在B景點在小路的投影處．8．(2024·日照高一檢測)為了適應市場須要，某地打算建一個圓形生豬儲備基地(如圖)，它的旁邊有一條馬路，從基地中心O處向東走1km是儲備基地的邊界上的點A，接著向東再走7km到達馬路上的點B；從基地中心O向正北走8km到達馬路的另一點C.現打算在儲備基地的邊界上選一點D，修建一條由D通往馬路BC的專用線DE，求DE的最短距離．解：以O為坐標原點，過OB，OC的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，則圓O的方程為x2＋y2＝1.因為點B(8,0)，C(0,8)，所以直線BC的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,8)＝1，即x＋y＝8.當點D選在與直線BC平行的直線(距BC較近的一條)與圓的切點處時，DE為最短距離．所以DE長的最小值為eq\f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq\r(2)－1)km.[實力提升綜合練]1．半徑長為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內切，則此圓的方程為()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：選D∵半徑長為6的圓與x軸相切，設圓心坐標為(a，b)，則b＝6(b＝－6舍去)．再由eq\r(a2＋32)＝5，可以解得a＝±4，故所求圓的方程為(x±4)2＋(y－6)2＝36.2．兩圓C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切線的條數為()A．1B．2C．3D．4解析：選C∵圓C1的圓心C1(－2,2)，半徑為r1＝1，圓C2的圓心C2(2,5)，半徑r2＝4，∴C1C2＝eq\r(2＋22＋5－22)＝5＝r1＋r2，∴兩圓相外切，∴兩圓共有3條公切線．3．(2024·衡水高一檢測)已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：選D設動圓圓心為(x，y)，若動圓與已知圓外切，則eq\r(x－52＋y＋72)＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若動圓與已知圓內切，則eq\r(x－52＋y＋72)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．設兩圓C1，C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|＝()A．4B．4eq\r(2)C．8D