/專題18.28矩形（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．下列關于矩形的說法中正確的是（

）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．矩形的對角線相等且互相平分C．矩形的對角線互相垂直且平分 D．對角線互相平分的四邊形是矩形2．如圖，在矩形中，對角線相交于點O，點E是邊的中點，點F在對角線上，且，連接．若，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．53．如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，若，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．64．如圖，在矩形中，，E是的中點，于點F，則的長是（）A．1 B． C． D．25．如圖，在四邊形中，對角線相交于點O，，添加下列條件，不能判定四邊形是矩形的是（

）A． B． C． D．6．如圖，已知矩形OABC的周長為18，點B的坐標為（4，7），則矩形OABC的面積為（

）A．28 B．16 C．8 D．47．如圖，在四邊形中，E，F，G，H分別是的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形．若要使四邊形是矩形，則原四邊形必須滿足條件（

）．A． B． C． D．8．如圖，四邊形ABCD為矩形，依據尺規作圖的痕跡，∠α與∠β的度數之間的關系為(

)A．β=180-α B．β=180°- C．β=90°-α D．β=90°-9．如圖，在平行四邊形中，，．連接AC，過點B作，交DC的延長線于點E，連接AE，交BC于點F．若，則四邊形ABEC的面積為（

）A． B． C．6 D．10．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的頂點A的坐標為，D是OB的中點，E是OC上的一點，當的周長最小時，點E的坐標是（

）A． B． C． D．二、填空題11．在矩形中，對角線、交于，且，，則的長為___________cm．12．在矩形中∠ABC=90°，和相交于點，．則的度數等于_____．13．如圖，矩形ABCD中，點在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，則的面積為______．14．如圖，一塊含45°的三角板的一個頂點A與矩形ABCD的頂點重合，直角頂點E落在邊BC上，另一頂點F恰好落在邊CD的中點處，若，則AB的長為______．15．在長方形中，，，點E是邊上的一個動點，把沿BE折疊，點A落在處，當是直角三角形時，的長為______．16．如圖，四邊形是矩形，點在線段的延長線上，連接交于點，，點是的中點，若，，則的長為______．17．如圖，在矩形中，，分別是，的中點，若，，則的長是______．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝7，AD＝4，過點A作AE⊥AB，垂足為A，且AE＝AB，連接DE，則△ADE的面積為___．三、解答題19．如圖，點是矩形邊上的中點．(1)在圖中以、為鄰邊作（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)求證：．20．如圖，把長方形沿對角線折疊，重合部分為．(1)求證：為等腰三角形．(2)圖中有哪些全等三角形？(3)若求的周長．21．如圖，在中，，垂足為點，，垂足為點，，垂足為點，且點是中點，若，，.(1)求的長；(2)求的度數.22．如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，，，且．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，水的度數．23．如圖，四邊形是平行四邊形，過點作于點，點在邊上，，連接，．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若是的平分線．若，，求的長．24．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E、F分別是BO、DO的中點，G、H分別是AD、BC的中點，順次連接G、E、H、F．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形；(2)若BD＝2AB．①探究四邊形GEHF的形狀，并說明理由；②當AB＝2，時，求四邊形GEHF的面積．參考答案1．B【分析】根據矩形的性質和判定定理逐個判斷即可．解：A、對角線相等的平行四邊形才是矩形，故本選項錯誤；B、矩形的對角線相等且互相平分，故本選項正確；C、矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項錯誤；D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，故本選項錯誤；故選：B．【點撥】本題考查了矩形的性質和判定的應用，能熟記矩形的性質和判定定理是解此題的關鍵．2．A【分析】由可得點F為中點，從而可得為的中位線，進而求解．解：在矩形中，，，∵，∴，∴點F為中點，又∵點E為邊的中點，∴為的中位線，∴．故選：A．【點撥】本題考查矩形的性質，解題關鍵是掌握三角形的中位線的性質．3．D【分析】因為矩形的對角線相等且互相平分，已知，則，又，故可求．解：∵是矩形，∴，，又∵，∴，∴，故選D．【點撥】本題考查矩形的對角線相等的性質，屬于矩形的基本性質，比較簡單．4．C【分析】延長交于點M，可證得，從而得到，進而得到，再由直角三角形的性質，即可求解．解：如圖，延長交于點M，∵E是的中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，即，∴，故選：C【點撥】本題主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上中線的性質等知識，倍長中線構造全等三角形是解題的關鍵．5．A【分析】根據題意可知四邊形是平行四邊形，然后再根據四個選項所給條件一一進行判斷即可得出答案．解：在四邊形中，對角線相交于點O，，四邊形是平行四邊形，A、添加條件，可得四邊形是菱形，但不一定是矩形，故符合題意；B、若，則，故四邊形是矩形，故不符合題意；C、若，則，故四邊形是矩形，故不符合題意；D、若，則，則，故四邊形是矩形，故不符合題意；故選：A．【點撥】此題考查了矩形的判定，熟練掌握矩形的定義及判定定理是解答此題的關鍵．6．C【分析】連接OB，根據點B坐標得到OB，設OC=x，BC=y，得到，，再利用完全平方公式得到，即可得解．解：如圖，連接OB，∵B（4，7），∴OB==，∵矩形OABC的周長為18，設OC=x，BC=y，∴，，∴=8，即矩形OABC的面積為8，故選C．【點撥】本題考查了坐標與圖形，勾股定理，完全平方公式，解題的關鍵是得出，，再靈活運用完全平方公式變形．7．D【分析】連接，由三角形中位線的性質可得出，，即證明四邊形為平行四邊形，即當有一個角為直角時，即證明四邊形是矩形．結合平行線的性質得出當時，，即此時四邊形是矩形．解：如圖，連接，∵E，F，G，H分別是的中點，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴當有一個角為直角時，即證明四邊形是矩形．∵當時，，∴當時，四邊形是矩形．故選D．【點撥】本題考查矩形的判定，三角形中位線的性質．正確連接輔助線是解題關鍵．8．D【分析】如圖，根據題意得∠DAC=∠α，∠EAO=∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根據三角形內角和定理可得β=90°-.解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠α由作圖痕跡可得AE平分∠DAC，EO⊥AC∴∠EAO=∠α，∠EOA=90°又∠AEO=∠β，∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°，∴∠α+∠β+90°=180°，∴β=90°-故選D.【點撥】本題考查了矩形的性質，角平分線以及線段垂直平分線的性質，熟練掌握和運用相關的知識是解題的關鍵.9．B【分析】先證明四邊形ABEC為矩形，再求出AC，即可求出四邊形ABEC的面積．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，∵，∴四邊形ABEC為平行四邊形，∵，∴，∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF，∴AF=BF，∴2AF=2BF，即BC=AE，∴平行四邊形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，∴,∴矩形ABEC的面積為．故選：B【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理等知識，熟知相關定理，證明四邊形ABEC為矩形是解題關鍵．10．B【分析】畫出A點關于y軸的對稱點，連接，與y軸交于點E，根據連接兩點的連線中，線段最短，可知此時的周長最小，再由待定系數法求得直線DA′函數式，進而求出點E的坐標即可．解：如圖，作A點關于y軸的對稱點，連接，與y軸交于點E，此時的周長最小，∵，∴，設直線表達式是，則，解得：，∴，所以點E的坐標是．故選B．【點撥】本題考查了根據軸對稱求最短距離問題，待定系數法求一次函數解析式，以及關于坐標軸對稱的點的坐標特點，解題的關鍵是根據對稱把AE轉化為，利用兩點之間線段最短的性質解決問題．11．16【分析】首先根據矩形的性質可得，，然后再計算出∠ACB的度數，再根據直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊是的一半，可得AC的長．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴，，又∵，∴，在Rt△ABC中，AB=8，∴(cm)；故答案為：16．【點撥】此題主要考查了矩形的性質和含30°角的直角三角形的性質；熟練掌握矩形的對角線互相平分且相等是解題的關鍵．12．120°##120度【分析】根據矩形的性質得出，，，即可得出，根據，得出，即可得出△AOB為等邊三角形，得出，即可得出．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴△AOB為等邊三角形，∴，∴．故答案為：120°．【點撥】本題主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握矩形的性質，是解題的關鍵．13．【分析】根據矩形的性質和角平分線定義可得CE=BC，然后根據勾股定理可得BC，進而可以解決問題．解：在矩形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC，CD=AB=3，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵EB平分∠AEC，∴∠AEB=∠CEB，∴∠CBE=∠CEB，∴CE=BC，∵CD=AB=3，AE=1，∴DE=AD-AE=BC-1，在Rt△CED中，根據勾股定理得：，即，解得BC=5，∴的面積為．故答案為：【點撥】此題考查矩形的性質，勾股定理，關鍵是根據矩形的性質和等腰三角形的判定和性質解答．14．8【分析】利用矩形和等腰直角三角形性質可證得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB=CE，BE=CF，由點F是CD的中點，進而根據矩形的性質即可求解．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，在△ABE和△ECF中，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AB=CE，BE=CF，∵點F是CD的中點，∴CF=CD，∴BE=CF=AB，∵BE+CE=BC=12，∴AB+AB=12，∴AB=8，故答案為：8．【點撥】本題考查了矩形性質，等腰直角三角形性質，全等三角形的判定和性質等，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．15．【分析】由勾股定理求得，當在上時，是直角三角形，設，由翻折的性質和勾股定理求得．解：∵四邊形是矩形，，，，當在上時，是直角三角形，如圖1所示：設，由翻折的性質得：，，，在中，，解得：，即【點撥】本題考查了翻折變換，解決本題的關鍵是綜合運用矩形的性質、勾股定理等知識．16．【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據等邊對等角的性質可得，再結合兩直線平行，內錯角相等可得，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得，從而得到，再利用等角對等邊的性質得到，然后利用勾股定理列式計算即可得解．解：四邊形是矩形，，，點是的中點，，，∵，，，，，，在中，，．．故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質，等邊對等角的性質，等角對等邊的性質，以及勾股定理的應用，求出是解題的關鍵．17．##厘米【分析】結合矩形的性質，勾股定理，利用SAS證明，即可求解．解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，，∴，∵E為的中點，∴，∴，∴，∵F為的中點，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：.【點撥】本題主要考查勾股定理，矩形的性質，全等三角形的性質與判定，證明是解題的關鍵．18．【分析】分別過點作的垂線，垂直分別為，可得，求得，即可求解．解：過點作的垂線，垂直分別為，如下圖：則，∴又∵∴四邊形為矩形，∴，∵∴∴∴又∵∴∴∴故答案為：【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質，涉及了矩形的判定與性質，解題的關鍵是根據題意，做輔助線，構造出全等三角形．19．(1)見分析 (2)見分析【分析】（1）以點B為圓心，DE長為半徑畫弧交BC于點K，連接DK，則即為所求；（2）利用矩形的性質可得AD=BC，即可求證．（1）解：如圖，以點B為圓心，DE長為半徑畫弧交BC于點K，連接DK，則即為所求；理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BK，根據作法得：DE=BK，∴四邊形BEDK是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∵四邊形BEDK是平行四邊形，∴ED=BK，∴AD-DE=BC-BK，即AE=CK．【點撥】本題考查作圖——復雜作圖，矩形的性質，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．20．(1)見分析；(2)；(3)14【分析】（1）由可證，可得，可得結論；（2）由可證，由折疊的性質，即可求解；（3）由全等的性質可得，即可求解．解：（1）∵四邊形為長方形，在和中，，∴為等腰三角形（2）全等三角形有：（3）的周長【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，折疊的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．21．(1) (2)【分析】（1）在在中，勾股定理得出，繼而得出，在中，勾股定理求得的長；（2）取的中點，連接，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出，進而得出是等邊三角形，根據直角三角形的兩個銳角互余得出，根據（1）的結論得出是等腰直角三角形，根據即可求解．（1）解：∵，∴，在中，，，∴又∵點是中點，∴，∵∴，在中，,（2）解：如圖，取的中點，連接，∵，∴，在中，，，∴∴∴是等邊三角形，∴∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴【點撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，綜合運用以上知識是解題的關鍵．22．（1）見分析；（2）36°【分析】（1）根據平行四邊形的判定定理得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據三角形的外角的性質得到∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，求得∠DAO＝∠ADO，推出AC＝BD，于是得到四邊形ABCD是矩形；（2）根據矩形的性質得到AB∥CD，根據平行線的性質得到∠ABO＝∠CDO，根據三角形的內角得到∠ABO＝54°，于是得到結論．解：（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，是矩形；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB：∠ODC＝4：3，∴∠AOB：∠ABO＝4：3，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，∴∠ABO＝54°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°?54°＝36°．【點撥】本題考查了矩形的判定和性質，三角形的內角和，熟練掌握矩形的判定和性質是解題的關鍵．23．(1)見分析 (2)【分析】（1）先證出四邊形是平行四邊形，再根據矩形的判定即可證得；（2）根據勾股定理求出長，可證得，即可得出答案．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，即，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是矩形，，，四邊形是平行四邊形，，是的平分線，，，，，，．【點撥】本題考查了