IB課程HL數學2024-2025年模擬試卷：微積分在經濟學中的應用解析一、函數與極限1.設函數$f(x)=\frac{3x^2-5x+2}{x-2}$，求$f(x)$在$x=2$處的極限。2.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$。3.設函數$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。4.設函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$。5.設函數$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x-1}{x-1}$，求$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。二、導數與微分1.設函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(x)$。2.設函數$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求$f'(x)$。3.設函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$f'(x)$。4.設函數$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x-1}{x-1}$，求$f'(x)$。5.設函數$f(x)=e^x\sinx$，求$f'(x)$。三、應用題1.某商品的原價為$p$元，售價為$p+\frac{1}{5}p$元，求售價與原價的關系。2.某商品的售價為$p$元，成本為$c$元，利潤為$p-c$元，求利潤與成本的關系。3.某商品的售價為$p$元，需求量為$q$，求需求量與售價的關系。4.某商品的售價為$p$元，成本為$c$元，利潤為$p-c$元，求利潤與成本的關系。5.某商品的售價為$p$元，需求量為$q$，求需求量與售價的關系。四、微分方程1.設函數$y=f(x)$滿足微分方程$\frac{dy}{dx}=2x^2+3x-1$，且$y(0)=1$，求$y$的表達式。2.求解微分方程$\frac{dy}{dx}=3x^2-2y$，初始條件為$y(0)=2$。3.解微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}y$，初始條件為$y(1)=e$。4.求解微分方程$\frac{dy}{dx}=e^{2x}y$，初始條件為$y(0)=1$。5.設函數$y=f(x)$滿足微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3}{x^2-1}$，且$y(2)=5$，求$y$的表達式。五、積分1.計算定積分$\int(2x^3-5x^2+3x-1)\,dx$。2.求解不定積分$\int\frac{1}{x^2+1}\,dx$。3.計算定積分$\int_0^2(x^2-3x+2)\,dx$。4.求解不定積分$\inte^x\cosx\,dx$。5.計算定積分$\int_1^3\sqrt{x}\,dx$。六、數學建模1.假設某商品的售價與需求量之間的關系可以用函數$p(q)=50-2q$描述，其中$p$是售價，$q$是需求量。求該商品的最大利潤以及對應的需求量。2.某工廠生產一種產品，其固定成本為$2000$元，每生產一件產品的可變成本為$10$元。若每件產品的售價為$50$元，求工廠的盈虧平衡點。3.設某商品的需求量$q$與價格$p$之間的關系為$q=100-2p$。若每單位產品的生產成本為$10$元，求該商品的最小利潤以及對應的價格。4.某公司計劃在一年內投資$10000$元，投資回報率隨時間呈線性增長。若第一年回報率為$10\%$，求第五年的回報率。5.某公司計劃在一段時間內進行廣告宣傳，廣告效果可以用函數$f(t)=50e^{-0.1t}$描述，其中$t$是時間（單位：月）。若公司希望廣告效果至少達到$30$，求需要宣傳的時間。本次試卷答案如下：一、函數與極限1.解析：由于分母$x-2$在$x=2$處為零，故需使用洛必達法則。計算得：$$\lim_{x\to2}\frac{3x^2-5x+2}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{6x-5}{1}=7$$答案：72.解析：同樣使用洛必達法則，計算得：$$\lim_{x\to2}\frac{x^3-6x^2+9x+1-(8-24+18+1)}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{3x^2-12x+9}{1}=3$$答案：33.解析：直接代入$x=0$，計算得：$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}=1$$答案：14.解析：由于分母$x-2$在$x=2$處為零，故需使用洛必達法則。計算得：$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{2x}{1}=4$$答案：45.解析：由于分母$x-1$在$x=1$處為零，故需使用洛必達法則。計算得：$$\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x^2+4x-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{3x^2-6x+4}{1}=1$$答案：1二、導數與微分1.解析：根據導數的基本運算法則，計算得：$$f'(x)=3x^2-6x+4$$答案：$3x^2-6x+4$2.解析：使用鏈式法則，計算得：$$f'(x)=\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$答案：$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$3.解析：使用商法則，計算得：$$f'(x)=\frac{(x-2)'(x^2-4)-(x-2)(x^2-4)'}{(x-2)^2}=\frac{1(x^2-4)-(x-2)(2x)}{(x-2)^2}=\frac{-x^2+4}{(x-2)^2}$$答案：$\frac{-x^2+4}{(x-2)^2}$4.解析：使用商法則，計算得：$$f'(x)=\frac{(x^3-3x^2+4x-1)'(x-1)-(x^3-3x^2+4x-1)(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{3x^2-6x+4}{(x-1)^2}$$答案：$\frac{3x^2-6x+4}{(x-1)^2}$5.解析：使用乘積法則，計算得：$$f'(x)=(e^x)'\sinx+e^x(\sinx)'=e^x\sinx+e^x\cosx$$答案：$e^x\sinx+e^x\cosx$三、應用題1.解析：售價與原價的關系為$p+\frac{1}{5}p=\frac{6}{5}p$。答案：售價是原價的$\frac{6}{5}$倍。2.解析：利潤與成本的關系為$p-c$。答案：利潤等于售價減去成本。3.解析：需求量與售價的關系為$q=100-2p$。答案：需求量等于$100$減去售價的兩倍。4.解析：利潤與成本的關系為$p-c$。答案：利潤等于售價減去成本。5.解析：需求量與售價的關系為$q=100-2p$。答案：需求量等于$100$減去售價的兩倍。四、微分方程1.解析：分離變量，得到$\frac{dy}{y}=(2x^2+3x-1)dx$，兩邊積分得：$$\int\frac{dy}{y}=\int(2x^2+3x-1)dx$$$$\ln|y|=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-x+C$$$$y=Ce^{\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-x}$$使用初始條件$y(0)=1$，得$C=1$，因此：$$y=e^{\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-x}$$答案：$y=e^{\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-x}$2.解析：分離變量，得到$\frac{dy}{y}=3x^2-2dx$，兩邊積分得：$$\int\frac{dy}{y}=\int(3x^2-2)dx$$$$\ln|y|=x^3-2x+C$$$$y=Ce^{x^3-2x}$$使用初始條件$y(0)=2$，得$C=2$，因此：$$y=2e^{x^3-2x}$$答案：$y=2e^{x^3-2x}$3.解析：分離變量，得到$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$，兩邊積分得：$$\ln|y|=\ln|x|+C$$$$y=Cx$$使用初始條件$y(1)=e$，得$C=e$，因此：$$y=ex$$答案：$y=ex$4.解析：分離變量，得到$\frac{dy}{y}=e^{2x}dx$，兩邊積分得：$$\ln|y|=\frac{1}{2}e^{2x}+C$$$$y=Ce^{\frac{1}{2}e^{2x}}$$使用初始條件$y(0)=1$，得$C=1$，因此：$$y=e^{\frac{1}{2}e^{2x}}$$答案：$y=e^{\frac{1}{2}e^{2x}}$5.解析：分離變量，得到$\frac{dy}{y}=\frac{2x+3}{x^2-1}dx$，兩邊積分得：$$\int\frac{dy}{y}=\int\frac{2x+3}{x^2-1}dx$$$$\ln|y|=\ln|x+1|-\ln|x-1|+C$$$$y=\frac{C}{x^2-1}$$使用初始條件$y(2)=5$，得$C=10$，因此：$$y=\frac{10}{x^2-1}$$答案：$y=\frac{10}{x^2-1}$五、積分1.解析：使用基本積分公式，計算得：$$\int(2x^3-5x^2+3x-1)\,dx=\frac{1}{2}x^4-\frac{5}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-x+C$$答案：$\frac{1}{2}x^4-\frac{5}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-x+C$2.解析：使用基本積分公式，計算得：$$\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctanx+C$$答案：$\arctanx+C$3.解析：使用基本積分公式，計算得：$$\int_0^2(x^2-3x+2)\,dx=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x\right]_0^2=\frac{8}{3}-6+4=-\frac{2}{3}$$答案：$-\frac{2}{3}$4.解析：使用部分積分法，計算得：$$\inte^x\cosx\,dx=e^x\sinx-\inte^x\sinx\,dx$$再次使用部分積分法，得到：$$\inte^x\cosx\,dx=\frac{1}{2}e^x(\sinx+\cosx)+C$$答案：$\frac{1}{2}e^x(\sinx+\cosx)+C$5.解析：使用基本積分公式，計算得：$$\int_1^3\sqrt{x}\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^3=\f