2025年滬教版高中數(shù)學(xué)高一第一學(xué)期-專題15-冪指對運(yùn)算-(學(xué)生版+教師版)一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若\(a>1\)，則下列不等式中正確的是：A.\(\log_a2<\log_a3\)B.\(\log_a3<\log_a2\)C.\(\log_a2>\log_a3\)D.\(\log_a3>\log_a2\)2.若\(2^x=3^y=6\)，則\(x\)和\(y\)的關(guān)系是：A.\(x=y\)B.\(x=2y\)C.\(x=\frac{1}{2}y\)D.\(x=3y\)二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.若\(2^3\times3^2=4^x\)，則\(x=\)_______。4.若\(\log_25+\log_23=\log_215\)，則\(\log_215=\)_______。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）若\(a>1\)，\(b>1\)，且\(a^b=b^a\)，求證：\(a=b\)。（2）若\(2^x+3^y=10\)，求\(x\)和\(y\)的值。6.（1）已知\(a>0\)，\(b>0\)，且\(a^2+b^2=1\)，求證：\(\log_ab+\log_ba\geq2\)。（2）若\(2^x+3^y=10\)，求\(x\)和\(y\)的值。四、計(jì)算題要求：計(jì)算下列各題。7.計(jì)算\((3^{2x}-4^{x+1})\div(2^{3x}-8)\)的值。8.若\(2^x+3^y=18\)，求\(x\timesy\)的值。五、證明題要求：證明下列各題。9.證明：對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，都有\(zhòng)((\frac{1}{2})^x+(\frac{1}{3})^x>1\)。10.證明：若\(a>1\)，\(b>1\)，且\(a^2+b^2=2\)，則\(ab\geq\sqrt{2}\)。六、應(yīng)用題要求：解答下列各題。11.一輛汽車以每小時(shí)60公里的速度行駛，經(jīng)過3小時(shí)后，另一輛以每小時(shí)80公里的速度出發(fā)追趕。求追趕者追上第一輛汽車所需的時(shí)間。12.某商品的定價(jià)為\(p\)元，根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)定價(jià)為\(x\)元時(shí)，銷售量為\(100-5x\)件。若要使銷售總額最大，求定價(jià)\(x\)的最優(yōu)值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.\(\log_a2<\log_a3\)解析：由于\(a>1\)，對數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)在\(x>0\)時(shí)是增函數(shù)，所以當(dāng)\(x\)增加時(shí)，\(\log_ax\)也增加，因此\(\log_a2<\log_a3\)。2.B.\(x=2y\)解析：由\(2^x=3^y=6\)，得到\(x=\log_26\)和\(y=\log_36\)。由換底公式，\(x=\frac{\log_36}{\log_32}=2\log_36=2y\)。二、填空題3.\(x=\frac{3}{2}\)解析：由\(2^3\times3^2=4^x\)，即\(2^3\times3^2=(2^2)^x\)，得到\(2^3\times3^2=2^{2x}\)。由此可得\(3=2x\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)。4.\(\log_215=1+\log_23\)解析：由\(\log_25+\log_23=\log_215\)，利用對數(shù)的乘法法則，\(\log_25+\log_23=\log_2(5\times3)=\log_215\)。因此，\(\log_215=1+\log_23\)。三、解答題5.（1）證明：由\(a^b=b^a\)，兩邊取對數(shù)得\(\log_aa^b=\log_ab^a\)，即\(b\log_aa=a\log_ab\)。由于\(\log_aa=1\)，所以\(b=a\log_ab\)。同理，\(a=b\log_aa\)。將\(a=b\log_ab\)代入\(b=a\log_ab\)得到\(b=(b\log_ab)\log_ab\)，即\(b=b(\log_ab)^2\)。由于\(b>1\)，所以\((\log_ab)^2=1\)，解得\(\log_ab=1\)或\(\log_ab=-1\)。因?yàn)閈(b>1\)，所以\(\log_ab=1\)，即\(b=a\)。（2）解：由\(2^x+3^y=10\)，設(shè)\(x=\log_210-\log_23\)，\(y=\log_310-\log_32\)。則\(2^x=2^{\log_210-\log_23}=\frac{10}{3}\)，\(3^y=3^{\log_310-\log_32}=\frac{10}{2}=5\)。因此，\(x=\log_210-\log_23\)，\(y=\log_310-\log_32\)。6.（1）證明：由\(a^2+b^2=1\)，得到\(\log_ab+\log_ba=\frac{\logb}{\loga}+\frac{\loga}{\logb}\)。利用均值不等式，\(\frac{\logb}{\loga}+\frac{\loga}{\logb}\geq2\sqrt{\frac{\logb}{\loga}\cdot\frac{\loga}{\logb}}=2\)。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)\(\logb=\loga\)，即\(a=b\)。（2）解：由\(2^x+3^y=10\)，設(shè)\(x=\log_210-\log_23\)，\(y=\log_310-\log_32\)。則\(2^x=2^{\log_210-\log_23}=\frac{10}{3}\)，\(3^y=3^{\log_310-\log_32}=\frac{10}{2}=5\)。因此，\(x=\log_210-\log_23\)，\(y=\log_310-\log_32\)。四、計(jì)算題7.解：\((3^{2x}-4^{x+1})\div(2^{3x}-8)=\frac{3^{2x}-2^{2x+2}}{2^{3x}-2^3}=\frac{3^{2x}(1-4)}{2^{3x}(1-8)}=\frac{3^{2x}(-3)}{2^{3x}(-7)}=\frac{3^{2x}}{2^{3x}}\cdot\frac{3}{7}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2^x}\cdot\frac{3}{7}=\frac{9}{14}\cdot\frac{1}{2^x}\)。8.解：由\(2^x+3^y=18\)，設(shè)\(x=\log_218-\log_23\)，\(y=\log_318-\log_32\)。則\(2^x=2^{\log_218-\log_23}=\frac{18}{3}=6\)，\(3^y=3^{\log_318-\log_32}=\frac{18}{2}=9\)。因此，\(x=\log_218-\log_23\)，\(y=\log_318-\log_32\)。五、證明題9.證明：對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，\((\frac{1}{2})^x+(\frac{1}{3})^x\)可以寫成\((\frac{1}{2})^x+(\frac{1}{3})^x=(\frac{1}{2})^x+(\frac{1}{2})^x\cdot(\frac{2}{3})^x\)。利用均值不等式，\((\frac{1}{2})^x+(\frac{1}{2})^x\cdot(\frac{2}{3})^x\geq2\sqrt{(\frac{1}{2})^x\cdot(\frac{1}{2})^x\cdot(\frac{2}{3})^x}=2\sqrt{(\frac{1}{2})^{2x}\cdot(\frac{2}{3})^x}=2\sqrt{(\frac{1}{2})^x\cdot\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}\)。因此，\((\frac{1}{2})^x+(\frac{1}{3})^x\geq2\sqrt{\frac{1}{3}}>1\)。10.證明：由\(a^2+b^2=2\)，得到\(ab\geq2\sqrt{a^2b^2}=2\sqrt{2}\)。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)\(a^2=b^2\)，即\(a=b\)或\(a=-b\)。由于\(a>1\)，\(b>1\)，所以\(a=b\)。因此，\(ab\geq\sqrt{2}\)。六、應(yīng)用題11.解：設(shè)追趕者追上第一輛汽車所需的時(shí)間為\(t\)小時(shí)。則第一輛汽車行駛了\(60(t+3)\)公里，第二輛汽車行駛了\(80t\)公里。由于兩輛汽車相