北京市東城區2024-2025學年高三下學期綜合練習（一）（一模）數學試題（原卷及解析版）一、選擇題1.已知函數\(f(x)=\ln(x)+x^2-2x\)，則\(f(x)\)的零點個數是（）A.0個B.1個C.2個D.3個2.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且\(a^2+b^2=c^2\)，則角C的大小是（）A.\(\frac{\pi}{3}\)B.\(\frac{\pi}{4}\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{6}\)3.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且\(S_5=50\)，\(S_8=80\)，則數列{an}的公差是（）A.2B.3C.4D.54.設\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}\)，則\(A+B\)的行列式是（）A.6B.10C.14D.185.已知復數\(z=a+bi\)（其中a，b為實數），且\(|z|=1\)，則\(z\)在復平面上的軌跡是（）A.圓B.線段C.點D.雙曲線二、填空題6.若\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)，則\(x^2+y^2\)的最小值是______。7.已知函數\(f(x)=x^3-3x+1\)，則\(f'(1)\)的值是______。8.在三角形ABC中，若\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\cosA\)的值是______。9.設\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}\)，則\(AB\)的值是______。10.已知復數\(z=a+bi\)（其中a，b為實數），且\(z\)在復平面上對應的點為\((1,2)\)，則\(z\)的值是______。三、解答題11.已知函數\(f(x)=2x^3-3x^2+4x-1\)，求：（1）\(f(x)\)的單調區間；（2）\(f(x)\)的極值。12.在三角形ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，求：（1）\(\sinA\)、\(\cosB\)、\(\tanC\)的值；（2）三角形ABC的面積。四、證明題要求：證明下列等式成立。13.證明：對于任意實數\(x\)，有\((x^2+1)^2\geq4x^2\)。五、應用題要求：根據下列條件，求解問題。14.已知數列{an}是一個等比數列，且\(a_1=2\)，\(a_4=32\)，求該數列的公比和前10項和。六、綜合題要求：綜合運用所學知識解決問題。15.已知函數\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求：（1）\(f(x)\)的導數\(f'(x)\)；（2）\(f(x)\)的單調區間；（3）\(f(x)\)的極值點；（4）根據\(f(x)\)的單調性和極值點，繪制\(f(x)\)的圖像。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.1個解析：函數\(f(x)=\ln(x)+x^2-2x\)在定義域內單調遞增，且\(f(1)=0\)，故只有一個零點。2.C.\(\frac{\pi}{2}\)解析：由\(a^2+b^2=c^2\)可知三角形ABC是直角三角形，直角在C點，所以角C為\(\frac{\pi}{2}\)。3.A.2解析：由等差數列的性質，\(S_5=5a_1+10d\)，\(S_8=8a_1+28d\)，聯立方程組求解得\(d=2\)。4.C.14解析：矩陣\(A+B\)的行列式等于各元素對角線乘積之和，即\(1*5+2*5=10+10=20\)。5.A.圓解析：復數\(z\)的模為1，表示\(z\)在復平面上到原點的距離為1，即\(z\)的軌跡是單位圓。二、填空題6.5解析：由\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)得\(x+y=xy\)，則\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5\)。7.3解析：函數\(f(x)=x^3-3x^2+4x-1\)的導數\(f'(x)=3x^2-6x+4\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=3\)。8.\(\frac{3}{5}\)解析：由余弦定理\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，代入\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)得\(\cosA=\frac{3}{5}\)。9.\(\begin{bmatrix}5&7\\15&19\end{bmatrix}\)解析：矩陣乘法\(AB=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&7\\15&19\end{bmatrix}\)。10.\(1+2i\)解析：由\(z\)在復平面上對應的點為\((1,2)\)，可得\(z=1+2i\)。三、解答題11.（1）\(f(x)\)的單調區間為：\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)；（2）\(f(x)\)的極值點為\(x=1\)，極大值為\(f(1)=2\)。12.（1）\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(\cosB=\frac{4}{5}\)，\(\tanC=\frac{1}{3}\)；（2）三角形ABC的面積\(S=\frac{1}{2}\times5\times7\times\frac{3}{5}=21\)。四、證明題13.證明：設\(x^2+1=t\)，則\(t\geq1\)，要證明\(t^2\geq4\)，即\(t^2-4\geq0\)。\(t^2-4=(t-2)(t+2)\)，因為\(t\geq1\)，所以\(t-2\geq-1\)，\(t+2\geq3\)，所以\((t-2)(t+2)\geq0\)。因此，\(t^2\geq4\)，即\((x^2+1)^2\geq4x^2\)。五、應用題14.公比\(q=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}=\sqrt[3]{16}=2\)；前10項和\(S_{10}=\frac{a_1(1-q^{10})}{1-q}=\frac{2(1-2^{10})}{1-2}=2046\)。六、綜合題15.（1）\(f'(x