PAGEPAGE81.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)課時(shí)過關(guān)·實(shí)力提升基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)f(x)=2x+sinx在區(qū)間[0,π]上的()A.最小值為0,最大值為π+1B.最小值為0,最大值為2πC.最小值為π+1,最大值為2πD.最小值為0,最大值為2解析:f'(x)=2+cosx>0,所以f(x)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增,因此f(x)的最小值為f(0)=0,最大值為f(π)=2π.答案:B2.若函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a在區(qū)間[-2,-1]上的最大值為2,則它在該區(qū)間上的最小值為()A.-5 B.7 C.10 D.-19解析:f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3)=-3(x+1)(x-3).令f'(x)=0,得x=-1或x=3.f(-1)=1+3-9+a=a-5,f(-2)=8+12-18+a=a+2.由題意知f(-2)=f(x)max=2+a=2,∴a=0,∴f(x)min=f(-1)=a-5=-5.答案:A3.函數(shù)f(x)=xe-x在區(qū)間[0,4]上的最大值為()A.0 B.CD解析:f'(x)=1-xex,令f'(當(dāng)x改變時(shí),f'(x),f(x)的改變狀況如下表:x0(0,1)1(1,4)4f'(x)+0-f(x)0↗1↘4e-4所以f(x)的最大值為f(1)答案:B4.函數(shù)f(x)=2x+1x,xA.2 B.3 C.解析:由f'(x)=1x當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,5)時(shí),f'(x)>0.所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(1)=3.答案:B5.函數(shù)f(x)=A.有最大值2,無最小值B.無最大值,有最小值-2C.最大值為2,最小值為-2D.無最值解析:f'(x)=4(1-x2)(x2+1)2,令f'(x)=0,得x=±1,簡單驗(yàn)證當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)f(x)取微小值f(-1)=-2,當(dāng)答案:C6.若函數(shù)f(x)=x3+2ax2+1在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1),則a的取值范圍為.

解析:f'(x)=3x2+4ax,f(x)在[0,1]上的最小值為f(1),說明f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f'(x)≤0恒成立,即3x+4a≤0恒成立.所以a≤-3故a≤-答案:-7.函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值和最小值分別是.

解析:f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)=0,則x=-1或x=1(舍去).f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17,所以f(x)max=f(-1)=3,f(x)min=f(-3)=-17.答案:3,-178.求函數(shù)y=f(x)=x3-32x2+解:先求導(dǎo)數(shù),得y'=3x2-3x.令y'=0,即3x2-3x=0,解得x1=1,x2=0.因?yàn)閒(-2)=-9,f(0)=5,f(1)=92,故ymax=7,ymin=-9.9.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R),(1)若函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,試求a,b的值;(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,6]時(shí),f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范圍.解:(1)f'(x)=3x2-2ax+b.∵函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的兩根.∴∴(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f'(x)=3x2-6x-9.當(dāng)x改變時(shí),f'(x),f(x)的改變狀況如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,3)3(3,6)6f'(x)+0-0+f(x)c-2↗極大值c+5↘微小值c-27↗c+54而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,∴當(dāng)x∈[-2,6]時(shí),f(x)的最大值為c+54,要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可,當(dāng)c≥0時(shí),c+54<2c,∴c>54;當(dāng)c<0時(shí),c+54<-2c,∴c<-18,∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞).故c的取值范圍為(-∞,-18)∪(54,+∞).實(shí)力提升1.函數(shù)f(x)=ex-x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[-1,1]上的最大值是()A.1C.e+1 D.e-1解析:因?yàn)閒(x)=ex-x,所以f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,得x=0.且當(dāng)x>0時(shí),f'(x)=ex-1>0,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)=ex-1<0,即函數(shù)f(x)在x=0處取得微小值,f(0)=1.又f(-1)=1e+1,f綜合比較得函數(shù)f(x)=ex-x在區(qū)間[-1,1]上的最大值是e-1.故選D.答案:D2.函數(shù)f(x)=12ex(sinx+cosA.C.[1,eπ2]解析:f'(x)=12ex(sinx+cosx)+12ex(cosx-sin當(dāng)0≤x≤π2時(shí),f'(x)≥0,且只有在x=π2時(shí),f'所以f(x)是0即f(x)的最大值為f(x)的最小值為f(0)故f(x)在0,答案:A3.對于R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),若滿意(x-1)f'(x)>0,則必有()A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)=2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)解析:當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù);當(dāng)x<1時(shí),f'(x)<0,f(x)在(-∞,1)內(nèi)是減函數(shù),故當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)+f(2)>2f(1).答案:D4.若f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立,則a的值為()A.2 B.4C.6 D.8解析:①當(dāng)-1≤x<0時(shí),a≤3x-1x3=3x2-1x3在[-1,0)內(nèi)恒成立,而當(dāng)-1≤x<②當(dāng)x=0時(shí),f(x)≥0總成立.③當(dāng)0<x≤1時(shí),a≥3x-1x3=3x2-1x3在(0,1]上恒成立,而y=3x答案:B5.★設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|取得最小值時(shí),t的值為()A.1 B.CD解析:當(dāng)x=t時(shí),|MN|=|f(t)-g(t)|=|t2-lnt|(t>0).令φ(t)=t2-lnt(t>0),所以φ'(t)=2t-所以當(dāng)t∈0,22時(shí),當(dāng)t∈22,+∞時(shí),所以當(dāng)t=22時(shí),φ(x)min即|MN|min=φ(x)min.故當(dāng)|MN|取得最小值時(shí)t=答案:D6.已知兩個(gè)和為48的正整數(shù),若第一個(gè)數(shù)的立方與其次個(gè)數(shù)的平方之和最小,則這兩個(gè)正整數(shù)分別為.

解析:設(shè)第一個(gè)數(shù)為x,則其次個(gè)數(shù)為(48-x),記y=x3+(48-x)2=x3+x2-96x+2304(0<x<48),所以y'=3x2+2x-96=(3x-16)(x+6).由y'=0,得x=163或x=-6(舍去),易知x=16但因?yàn)閤是正整數(shù),所以x=5.所以所求的兩個(gè)正整數(shù)分別為5與43.答案:5與437.設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)探討f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),求f(x)取得最大值和最小值時(shí)x的值.解:(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=1+a-2x-3x2.令f'(x)=0,得x1x2=-1+4+3a所以f'(x)=-3(x-x1)(x-x2).當(dāng)x<x1或x>x2時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x1<x<x2時(shí),f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間(-∞,x1)和(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增,即f(x)在區(qū)間-∞,-1-4+3a3和(2)因?yàn)閍>0,所以x1<0,x2>0.①當(dāng)a≥4時(shí),x2≥1.由(1)知,f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增.所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.②當(dāng)0<a<4時(shí),x2<1.由(1)知,f(x)在區(qū)間[0,x2]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[x2,1]上單調(diào)遞減.所以f(x)在x=x2=又f(0)=1,f(1)=a,所以當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在x=1處取得最小值;當(dāng)a=1時(shí),f(x)在x=0處和x=1處同時(shí)取得最小值;當(dāng)1<a<4時(shí),f(x)在x=0處取得最小值.8.★已知函數(shù)f(x)=lnx-a(1)當(dāng)a>0時(shí),推斷f(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為32(3)設(shè)g(x)=lnx-a,若g(x)<x2在區(qū)間(0,e]上恒成立,求a的取值范圍.分析:(1)判定函數(shù)的單調(diào)性要留意函數(shù)的定義域;(2)依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系求解,由于a的取值未定,因此要分類探討;(3)轉(zhuǎn)化為最值問題來處理.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=1x+ax2=x+ax2.因?yàn)閍>0,x>(2)由(1)知f'(x)①若a≥-1,則x+a≥0,從而f'(x)≥0(只有當(dāng)a=-1,x=1時(shí),f'(x)=0),即f'(x)≥0在區(qū)間[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在區(qū)間[1,e]上為增函數(shù).所以f(x)的最小值為f(1)=-a=32,即a=②若a≤-e,則x+a≤0,從而f'(x)≤0(只有當(dāng)a=-e,x=e時(shí),f'(x)=0),即f'(x)≤0在區(qū)間[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù).所以f(x)的最小值為f(e)=1-ae=③若-e<a<-1,由f'(x)=0,得x=-a,當(dāng)1<x<-a時(shí),f'(x)<0,即f(x)在區(qū)間(1,-a)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)-a<x<e時(shí),f'(x)>0,即f(x)在區(qū)間(-a,e)內(nèi)為增函數(shù),所以x=-a是函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e)內(nèi)的微小值點(diǎn),也就是它的最小值點(diǎn),因此f(x)的最