思考與練習一2.已知矢量A=e,5.8+e?1.5和B=-e,6.93+e?4,求兩矢量的夾角。3.如果AB?+A,B,+A?B?=0,證明矢量A▽[E×H]=H·▽×E-E·V×H9.應用高斯定理證明[dV×f=fds×f,11.導出在任意正交曲線坐標系中▽·F(q,9?,q?)、v[·F(q,q?,q?)、思考與練習二1.證明均勻線電荷密度圓環在圓環平面內任意點的電場強度為零。求圓環平面外任意點的電場的表達式。2.有一內外半徑分別為r和r?的空心介質球，介電常數為ε,使介質內均勻帶靜止自由電荷密度為p,求空間電場與極化體電荷和極化面電荷分布。3.已知一個電荷系統偶極矩定義為,利用電荷守恒定律4.內外半徑分別為r和r?的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流J,,導體的磁導率為μ,求磁感應強度和磁化電流。5.證明均勻介質內極化電荷密度p等于自由電荷密度倍。6.簡述Maxwell方程組各式所對應的實驗定律，式中各項的物理意義。為什么說Maxwell方程組預言了電磁場具有波動的運動形式。7.利用Maxwell方程組，導出電荷守恒定律的表達式。8.何謂位移電流，說明位移電流的物理實質與意義，比較傳導電流和位移電流之間的異同點。9.證明Maxwell方程組的四個方程中只有兩個是獨立的，利用兩個獨立方程組導出電磁場的波動方程。10.利用電磁場與介質相互作用的機理，分析介質在電磁場中的性質，并根據介所表現出的質宏觀特性進行分類。11.證明當兩種絕緣介質的分界面上不帶面自由電荷時，電場力線的曲折滿足,其中ε和ε2分別為兩種介質的介電常數，θ?和θ?分別為界面兩側電場線與法線的夾角。12.假設自然界存在磁荷，磁荷的運動形成磁流。又假設磁荷產生磁場同電荷產生電場滿足同樣的實驗定律；磁流產生電場同電流產生磁場滿足同樣的實驗定律。請導出在這一假設前提下的Maxwell方程組表達式。1.利用電場Gauss定律分別求電荷面密度為ps的無窮大導體板和半無窮大導體在上半空間導體平面附近產生的電場，比較所得到結果的差別。你能從這一差別中得到什么結論。2.求如圖所示的一同軸線如圖所示，內外導體的半徑分別為a和b,將其與電壓為V電源相連接，內導體上的電流強度為I。求同軸線內電場和磁場的分布，計算穿過兩導體間φ=常數平面單位長度上的磁通量。3.證明在無電荷分布的區域，電位既不能達到極大值，也不能達到極小值。4.平行板電容器內有兩層介質，厚度分別為l和l?,介電常數為ε?和ε2,今在兩板極接入電動勢8為的電池，求(1)電容器兩板上的自由電荷面密度@F;〔2〕介質分界面上的自由電荷面密度@f。若介質是漏電的，電導率分別為σ?和σ?,當電流達到恒定時，上述兩個結果如何?5.電位函數在理想導體邊界上有兩種表述形式：〔1〕φ=中(常數);〔2〕指出這兩個邊界條件所對應的物理模型和導體所處的狀態。6.一長為1的圓筒形電容器，內外半徑分別為a和b,兩導體之間充滿了介電常數為ε的介質。〔1〕當電容器帶電荷量Q時，忽略邊緣效應，求電容器內電場的分布；〔2〕求電容器的電容；〔3〕假設將電容器接到電壓為V電源上，并且電容器內介質被部分的拉出電容器，忽略邊緣效應，求介質受到的作用力的大小和方向。7.比較恒定電流的電場與靜電場的異同點，證明當兩種導電介質內流有恒定電流時，分界面上電場力線的曲折滿足,其中σ?和σ2分別為兩種介質的電導率。8.面偶極層為帶等量正負面電荷密度±σ而靠得很近的兩個面所形成面偶極層，定義為：證明下述結果：〔1〕在面電荷兩側，電位法向微商有躍變，而電位是連續的。〔2〕在面偶極層兩側，電位有躍而電位法向微商是連續的。9.證明在試用A表示一個沿z方向的均勻恒定磁場Bo,寫出A的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋矢量場。10.證明兩載有恒定電流的閉合線圈之間的相互作用力的大小相等，方向相反(但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)。11.已知某個磁場的磁矢勢,其中Bo是常數。證明該磁場是均勻的。12.在什么樣的情況下，可以用磁標位描述磁場，磁標位滿足什么樣的方程和邊界條件。13.電阻、電容和電感是電路理論中基本元件，它們反應的是什么特性參數，表達了導電介質和導體系統的什么性質。14.總結靜電場、恒定電流電場和恒定電流磁場的基本性質，分析它們性質的異同點。思考為什么靜態電磁場〔包括靜電場、恒定電流電場和恒定電流磁場〕滿足同樣類型的數學物理方程。思考與練習四均勻介質，Z>0的區域為真空，試用唯一性定理求磁感應強度B,然后求出磁化3.在均勻外電場中置入半徑為a的導體球，用分離變量法求導體球上電勢Φ?和導體球帶總電荷Q兩種情況下的電位函數〔設未置入導體球前坐標原點的今在液體中置入一個電導率為σ?的小球，求穩恒時電流分布和面電荷分布，討論σ?>>σ?與σ?>>σ?兩種情況的電流分布的特點。5.在接地的導體平面上有一半徑為a的體平面上，點電荷Q位于系統的對稱軸上，并與平面相距為b(b>a),試用鏡象法第6題圖第7題圖6.如圖所示，求解兩同軸圓錐面之間區域內電場分布。已知外位為零，內圓錐面的電位為Vo。在兩圓錐的頂點絕緣。質所產生的電位,另外，根據極化電荷公式pp=-▽'.P(r')證明以上兩式是等同的。8.簡述Green函數方法的基本思想，證明靜電場的電位可以表示為：上述公式中g(r,r')為Green函數。分析上式右邊三項來自何種物理量的貢獻。如何理解這三種物理量對靜電場的貢獻是一致的。9.簡述鏡象法的基本原理，歸納鏡象法的基本原則，思慮鏡象法的應用條件。用鏡象法求接地導體圓柱殼(半徑為R)內線電荷源在圓柱內部空間的電位。設線電荷密度為p,,位于圓柱空間內a(a<R)。10.接地的空心導體的內外半徑為R?和R?,在球內離球心為a(a<R?)處置一點電荷Q,用鏡象法求電勢，導體球上的感應電荷有多少?分布在內表面還是在外表?12.一無窮大接地導體平面外有一電偶極矩P,P到導體平面的距離為a,與導體平面法線方向的夾角為θ,如圖所示。求電偶極矩P所受到的作用力。13.有一個內外半徑為R?和R?的空心球，位于均勻外磁場H?內，球的磁導率為μ,求空腔內的場B,討論μ>>μ?時的磁屏蔽作用。14.將解析函數的性質與靜電場性質進行比較，分析解析函數表示靜電場的可能性。應用解析函數方法求無窮長導體條橫截面積內電位的分布。已知導體條的電位為Vo。思考與練習五1.若把麥克斯韋方程組的所有矢量都分解為無旋〔縱場〕和無散〔橫場〕兩部分，導出E和B的這兩部分在真空中所滿足的方程式，并證明電場的無旋部分對應于庫侖場。2.利用Maxwell方程組導出線性均勻各向同性介質中電磁波方程，求出電磁波在介質中傳播的速度表達式。簡述所得結果與經典物理學之間的矛盾。3.從Coulomb規X導出Lorentz規X的變換關系，并且證明它們之間的變換關系滿足規X變換不變性。4.試分析產生勢函數[A,ψ]非唯一性的原因，何謂勢函數[A,φ]的規X和規X變換。為什么在規X變換下電磁場和方程保持不變性。5.設真空中矢勢A(r,t)可用復數傅里葉展開為其中a是的復共軛。(1)證明展開系數a滿足諧振子方程〔2〕當選取規X▽·A=0,φ=0時，證明k·ak=06.推遲勢是D'Alembert方程解的一部分，導出D'Alembert方程的全部解，說明舍棄另外一部分的原因。分析并理解推遲勢的物理意義，7.在靜態電磁場中，電場和磁場的能量可以表示為即靜態電磁場的能量由電荷和電流與勢函數確定，而時變電磁場的能量則不能由電荷和電流與勢函數確定，分析產生這一差別的原因。8.說明Poynting矢量s(r,t)的物理意義。以同軸傳輸線為例，分析并證明電磁場的能量是通過場傳輸的。9.由于初始條件描述困難，一般時變電磁場波動方程很難直接求解。我們通過Fourier變換，將一般時變電磁場問題轉變為時諧電磁場問題的求解。然而實際應用中，電磁場的初始狀態總是存在的，請思考如何處理初始條件與其影響。10.從電磁場與介質相互作用的機理，分析為什么不同頻率的諧變電磁場中介質的電磁特性參數ε(w)、μ(w)有不同的數值。11.證明平面電磁波中波矢量k的方向與能流密度矢量方向，E(r)H(r)滿足諧變波動方程12.何謂電磁波的極化。證明任意線極化平面波可分解為兩個振幅相等、旋轉相反的圓極化平面波的疊加。13.有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個波沿x軸方向偏振，另一個沿y方向偏振，但相位比前者超前,求合成波的偏振。14.在均勻無源的空間區域內，如果已知諧變電磁場中的矢量A(r),證明其電磁場強度與A(r)的關系是：思考與練習六1.簡述天線輻射電磁波的機理，分析影響天線輻射能力的主要因素，說明這些因素是如何影響天線對電磁波的輻射的。2.比較和總結電偶極子和磁偶極子天線的輻射特性，比較同樣長度的導線制作成電偶極子和磁偶極子天線對同一頻率電磁波的輻射能力，分析并說明為什么的電偶極子比磁偶極子天線輻射能力強。3.理論和實驗都證明特性對電磁波的輻射具有方向性，在天線的特性參數中那些是描述天線輻射電磁波的方向特性的。說明產生天線輻射電磁波的方向特性的原因。4.求相距為一個波長的兩電偶極子天線在自由空間輻射的電磁場的分布。已知兩電偶極子天線上的電流強度和初相位完全相同。從該例中，你能夠得到同類型多元天線輻射的什么特性。5.設有一球對稱分布的電荷，沿徑向以頻率W作簡諧振動，求輻射場，并對結果給以物理解釋。6.設有電偶極子天線和磁偶極子天線，它們在空間輻射電磁波能流密度相同。請問用這兩個天線如何實現圓極化電磁波的輻射。7.為測試天線的性能，將天線放置在如圖所示的地表面上〔可視為接地的理想導體平面),請問此時測量的結果與真空中電偶極子天線的輻射特性有何不同?在測試過程中，由于不小心，將垂直地表面的天線倒放在地面上，結果導致發射機毀壞，并請解釋導致發射機毀壞的原因。接地線第7題圖第10題圖8.時變電磁場的鏡象法與靜態電磁場鏡象法在形式上完全相同，分析它們具有相同形式的原因。歸納時變電磁場鏡象法的基本結果。9.何謂天線的阻抗，天線阻抗與那些因素有關。當天線用作發射時，如果天線的阻抗與發射機的內阻抗不匹配，嚴重時將導致什么結果，為什么?10.應用等效原理，求導體平面上如圖所示的圓環縫隙在上半徑空間的輻射場。圓環縫隙的內外半徑分別為a和b。11.利用相控陣天線可以得到很窄的電磁波輻射波束，簡述相控陣天線的基本原理，導出在天線陣長度L>>λ(波長)時，相控陣天線波束寬度的近似表達式。將相控陣天線與光柵衍射特性進行比較，討論兩者之間的相同點。12.簡述雷達的基本工作原理，畫出雷達原理框圖，說明雷達各主要組成部分的作用和功能。思考與練習71.什么是介質的波阻抗，它是由介質中的電磁波確定，還是由介質本身確定，為什么?電磁波在波阻抗不匹配的界面上要產生反射，而在波阻抗匹配的界面不產生反射，將它與電路理論中的阻抗匹配相比較，體會波阻抗的含義。2.等效阻抗的意義是什么?設Z>0為介電常數ε2的介質空間，在此介質前為一介質薄片，厚度為D,介電常數為&?。平面波自自由空間垂直入射到介質薄片，如圖所示。求證當8?=√EoE?,時〔λ為電磁波在介質薄片中的波長),電磁波無反射而全部透射。DDZ3.平面電磁波以θ=45°從真空入射到8,=2的介質，電場強度垂直于入射面，求反射系數和折射系數。4.何謂全反射現象。有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為60°,證明這時將發生全反射，并求折射波沿表面傳播的相速度和透入空氣的深度。設光波在空氣中的波長為λo=6.28×10??cm,水的折射率為n=1.33。5.證明在導電介質體內不存在自由電荷分布。6.何謂復介電常數、復波數，其實部和虛部的物理意義是什么。7.在設計對潛艇通信時，必須考慮海水是一種良導體。為了使通信距離足夠遠，請就下面兩個問題給出你的設計方案。①有兩種不同頻率w?和W?的發射機和接受機，且w?>W?,請問選擇那種頻率的通信設備?為什么?②有兩種不同接受特性的天線可供選擇，其中天線1對電場敏感，天線2對磁場敏感，選擇那種天線作為通信的接受天線?為什么?8.平面電磁波由真空傾斜入射到導電介質表面上，入射角為θ?,求導電介質中電磁波的相速度和衰減長度，若導電介質為金屬，結果如何?9.平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透入金屬內部的電磁波能量全部變為焦耳熱。10.導出電磁波傳播的相速度和群速度，它們各代表什么物理意義。考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為w+dw和w-dw的線偏振平面波，它們都沿z軸方向傳播。(1)求合成波，證明波的振幅不是常數，而是一個波；(2)求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。11.頻率為w的電磁波在各向異性介質中傳播時，若