本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第三冊》,第六章《計數原理》,本節課主兩個計數原理，其核心是準確理解兩個原理，弄清它們的區別。理概括兩個計數原理。學生對計數問題已經有一些經驗和技巧，本節課的內容數原理就是在此基礎上的發展。由于排列、組合及二項式定理的研究都是以所以在本學科計數問題中有重要的地位，是本學科的核心內容。教學的重點理與分步乘法計數原理；“分步”.重點難點重點難點重點：分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其簡單應用教學設計意圖是計數的基本方法，但當問題中的數量很大時，列舉的方法效率不高，能否設計巧妙的“數法”,以提高效率呢?下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數方法.問題1.用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室因為英文字母共有26個，阿拉伯數字共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.(1)確定分類標準，根據問題條件分為字母號碼和數字號碼兩類；(2)分別計算各類號碼的個數；(3)各類號碼的個數相加，得出所有號碼的個數.通過導語，幫助學生思考，通過分成對計數原理的認算，數學抽象和數學完成一件事，有兩類辦法.在第1類辦不同的方法.法中有m種不同的方法，成這件事共有：N=m+n種了解到，A,B兩所大學各生物學數學化學醫學法學工程學如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇?分析：要完成的事情是“選一個專業”.因為這名同中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業，共同的強項專業，所以符合分類加法計數原理的條件.解：這名同學可以選擇A,B兩所大學中的一所是兩所大學共有的，所以根據分類加法計數原理，這名同學可能的專業選擇種數N=5+4=9.(1)分類：將完成這件事的辦法分成若干類；(2)計數：求出每一類中的方法數；(3)結論：將每一類中的方法數相加得最終結果.問題3.如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中不同的方法，在第二類方案中有m?種不同的方法，在第三類方案中有m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?如果分類加法計數原理：完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m種不同的方法，第二類辦法中有m種不同的方法……第n類辦法中有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+m+…+m種n不同的方法.跟蹤訓練1.在所有的兩位數中，個位數字大于十位解析：方法一按十位上的數字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個.由分類加法計數原位數共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).方法二按個位上的數字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個.由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).方法三考慮兩位數的個位數字與十位數字的大小關系，利用對應思想解決.所有的兩位數共有90個，其中，個位數字等于十位數字的兩位數為11,22,33,.…,99,共9個；有10,20,30,.…,90共9個兩位數的個位數字與十位數字不能調換位90-18=72(個).在這72個兩位數中，每一個個位字(b)的兩位數都有一個十位數字(a)小于個位數字應，故滿足條件的兩位數的個數是72÷2=36.故選B.問題4.用前6個大寫的英文字母和1~9個阿拉伯數字，以A,多少種不同的號碼?習中讓學生熟悉兩步驟，并能區分它們的聯系和區別，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數方法二：由于6個英文字母中的任意一個都能與6個數字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號碼.(1)由問題條件中的“和”,可確定完成編號要分兩步；(2)分別計算各步號碼的個數；(3)將各步號碼的個數相乘，得出所有號碼的個數.例2.設某班有男生30名，女生24名。現要名代表班級參解：第一步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；第二步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇；根據分步計數原理，共有30×24=720種不同方法.22如果完成一件事需要有n個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應當如何計數呢?如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第這件事的方法總數如何計算?分步乘法計數原理一般結論：例3.書架上第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育雜志.(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同取法?(3)從書架上取2本不同學科的書，有多少種不同的取法?解：(1)根據分類加法計數原理可得：N=4+3+2=9;(2)根據分步乘法計數原理可得：N=4×3×2=24;(3)需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類：從一、三層各取一本，有4×2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本，有3×2=6種方法；答：從書架上取2本不同種的書，有26種不同的取法.結論跟蹤訓練2.有6名同學報名參加三個智力競賽下各有多少種不同的報名方法?(不一定6名同學都參加)(1)每人恰好參加一項，每項人數不限；(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限.解：(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法.根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法種數為3?=729.(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法.根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法種數為6×5×4=120.(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這6人中選出1人參賽.根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法種數為63=三、達標檢測1.某教師有相同的語文參考書3本，相同的數學參考書4本，從中取出4本贈送給4位學生，每位學生1本，則不同的贈送方法共有()解析：若4本中有3本語文參考書和1本數學法，若4本中有1本語文參考書和3本數學參考書，則若4本中有2本語文參考書和2本數學參考書本都是數學參考書，則有一種方法，所以不+6+1=15(種).故選B.2.現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同的選法的種數是()A.5?B.6?C.3依次，第六名同學有5種選擇方法，綜上，6名同學共有56種不同的選法.故選A.的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學3.4張卡片的正、反面分別標有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起，可組成個不同的三位數.第一步：百位可放8-1=7個數；第二步：十位可放6個數；第三步：個位可放4個數.根據分步乘法計數原理，可以組成N=7×6×4=168個不同的三位數.①①②1種方法；第三類，經過支路③有2×2=4種方法，所以總的線路條數N=3+1+4=8.5.如圖，一只螞蟻沿著長方體的棱，從頂點A爬到相對頂點C,求其中經過3條棱的路線共有多少條?BDCB解：從總體上看有三類方法，分別經過AB,AD,AA又需分兩步完成.故第一類：經過AB,有m=1×AD,有m=1×2=2條；第三類：經過AA,有m=1×2=2條.根據2法計數原理，從頂點A到頂點C經過3條棱的路線共6.某外語組有9人，每人至少會英語和日語少種不同的選法?方法一：分兩類.第一類：從只會英語的6人中選1人有6種選法1人有3種選法.此時共有6×3=18(種)選法.第二類：從“全能”的人中選1人有1種選法，從只共有18+2=20(種)選法.方法二：設既會英語又會日語的人為甲，則形，入選后又分兩種情況：(1)教英語；(2)教日語.第一類：甲入選.1×2=2(種)選法；1×6=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).第二類：甲不入選.只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數原理，有6×2=12(種)不同的選法.綜上，共有8+12=20(種)不同的選法.四、小結兩個原理的聯系與區別基本、最重要的方法.2.區別一步鞏固本節所學內容，提高概括能區別鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟，關鍵詞是“分步”區別二的、一次的且每種方法得到的都是最后結果，只需一種方法就可完成這件事除最后一步外，其他每