高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省菏澤市2025屆高三下學期一模考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，向量對應的復數為，向量對應的復數為，則向量對應的復數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為向量對應的復數為，向量對應的復數為，所以所以向量對應的復數為.故選：D.2已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C3.已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因為，所以由正弦定理可得：，所以，即，又因為，，所以，故，解得，又因為，所以，所以，所以.故選：D.4.已知數列，則“，，”是“數列為等差數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若對，，都有，則令,得,即，因為為常數,所以數列為等差數列;必要性:等差數列不一定滿足,,,例如:當等差數列通項公式為時,,,此時,所以,,”是“數列為等差數列的充分不必要條件.故選：A5.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，化簡得，，.故選：C.6.曲線在，兩點處的切線互相垂直，則的值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】由，不妨設，兩切線的斜率分別為，當時，則有，此時，顯然，因此不成立，不符合題意；當時，則有，此時，顯然，因此不成立，不符合題意；當，則有，此時，變形得．故選：A7.已知的三個頂點都在拋物線上，三邊、、所在直線的斜率分別為，，，若，則點A的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，，，則，所以，解得，故，故點A的坐標為，故選：B.8.已知函數，若存在實數，使得對任意的實數x恒成立，則稱滿足性質，下列說法正確的為（）A.若的周期為1，則滿足性質B.若，則不滿足性質C.若（且）滿足性質，則D.若偶函數滿足性質，則圖象關于直線對稱【答案】D【解析】選項A，的周期為1，則，從而有，因此具有性質，但不一定成立，A錯；選項B，，，所以，所以具有性質，B錯；選項C，若（且）滿足性質，則，所以，從而，C錯；選項D，偶函數滿足性質，即，又是偶函數，所以，所以圖象關于直線對稱，D正確，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，，則下列說法正確的有（）A.向量，不可能垂直 B.向量，不可能共線C.不可能為3 D.若，則在上的投影向量為【答案】BD【解析】由題意知，.對于選項A，若向量，則，即，顯然此式能成立，故A錯；對于選項B，若向量，則有，即，即，顯然此式不成立，故B正確；對于選項C，，則當時，，故C錯；對于選項D，若，則，，則在上的投影向量為，故D正確.故選：BD10.若從正方體的八個頂點中任取四個頂點，則下列說法正確的有（）A.若這四點不共面，則這四點構成的幾何體的體積都相等B.這四點能構成三棱錐的個數為58C.若正方體棱長為a，則這四點能構成的所有三棱錐中表面積的最大值為D.若這四點分別記為A，B，C，D，則直線與所成的角不可以為30°【答案】BCD【解析】如圖：對A：設，則，，所以A不正確；對B：從正方體的8個頂點中任選4個的選法有中，其中不能構成三棱錐的有：①四個點在正方體的一個面上，即所選四點為：,，，，，共6個；②所選四個點在正方體的相對棱上，即所選的四點為：，，，，，，共6個.所以所選的四個點可以構成三棱錐的個數為：個，故B正確；對C：正方體棱長為a，從正方體的8個頂點中選3個，構成三角形，其中面積最大的就是象這樣的等邊三角形，其邊長為，面積為，所以四點能構成的所有三棱錐中表面積的最大的就是三棱錐這樣的正四面體，其表面積為，故C正確；對D：在正方體的8個頂點中選4個，連成兩條直線，所成的角最小的就是形如直線與的所成的角，設為，則，所以，故D正確.故選：BCD11.已知曲線C的方程為，下列說法正確的有（）A.曲線C關于直線對稱B.，C.曲線C被直線截得的弦長為D.曲線C上任意兩點距離的最大值為【答案】ACD【解析】選項A：將方程中的和互換，得到，與原方程一致，因此曲線關于直線對稱，A正確；選項：通過分析方程，設固定，解關于的二次方程，判別式要求，得，即，超出，同理的范圍也超過，B錯誤；選項C：將直線代入曲線方程，解得交點為和，故弦長為，C正確；選項D：則即又，即，則同理可得：，則曲線的上任一點到的距離之和為：曲線表示以為焦點且的橢圓，則，則線段的最大值為正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若n是數據1，3，2，2，9，3，3，10第75百分位數，則展開式中的系數為______.【答案】80【解析】已知數據從小到大排列為：，共8個，，第6個數是3，第7個數是9，，所以，展開式中的系數為，故答案為：80.13.已知函數在閉區間I上的最大值記為，若實數k滿足，則______.【答案】或【解析】根據區間的定義，左端點小于右端點，，得到，即根據余弦函數的性質，，由題意：，根據函數的周期為，而且其在單調遞減，在單調遞增，，，即，所以，即，當時，，在單調遞減，則，可得；當時，，在單調遞減，且在單調遞增，，.故答案為：或.14.如圖，在中，，，E是的中點，D是邊上靠近A的四等分點，將沿翻折，使A到點P處（P點在平面上方），得到四棱錐.則①的中點M運動軌跡長度為______；②四棱錐外接球表面積的最小值為______.【答案】①.②.【解析】因為到中點的距離等于，且點在平面上方，所以的軌跡是以中點為圓心，為半徑的半圓，所以的中點運動軌跡長度為；因為四邊形的外心為的中點，所以四邊形的外接球的半徑所以四棱錐外接球的球心在過四邊形的外心且垂直平面的直線上，設四棱錐外接球的半徑為，設球心到四邊形的外心的距離為，則，當時，等號成立，所以四棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在春節聯歡晚會上進行了機器人團體舞蹈表演，某機構隨機抽取了100名觀眾進行問卷調查，得到了如下數據：喜歡不喜歡男性4010女性2030（1）依據的獨立性檢驗，試分析對機器人表演節目的喜歡是否與性別有關聯？（2）從這100名樣本觀眾中任選1名，設事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機器人團體舞蹈表演節目”，比較和的大小，并解釋其意義.，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）零假設對機器人表演節目的喜歡與性別無關.根據列聯表中的數據得，依據的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即對機器人表演節目的喜歡與性別有關聯.（2）依題意得，，，則意義：該樣本中男性對機器人團體舞蹈表演節目喜歡的概率比女性對機器人團體舞蹈表演節目喜歡概率大；或者男性對機器人團體舞蹈表演節目喜歡的人數比女性對機器人團體舞蹈表演節目喜歡多等等16.如圖，在四棱錐中，，，，，，，F為的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求與平面所成角的正弦值.（1）證明：由，，，易求取的中點M，連結，F為的中點所以，，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，，又平面，平面所以平面（2）解：由，，所以所以，又平面平面，所以平面以E為原點，所在直線為軸，過E與垂直的直線為軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，，所以，取，則，所以平面的一個法向量為設與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為17.已知函數.（1）求的單調區間；（2）當時，存在，使得，求a的取值范圍.解：（1）當時，恒成立，此時在上單調遞減；當時，令，則當時，，此時在單調遞減，當時，，此時在單調遞增；綜上所述，當時，的減區間為，無增區間；當時，的減區間為，增區間為.（2）因為存在，使得.只需或因為，所以所以只需，由（1）知為與中的較大者所以或，解得或，所以綜上所述，a的取值范圍為18.定義正方形數陣滿足，其中i，.（1）若，求數陣所有項的和T；（2）若m，n，p，，求證：也是數陣中的項；（3）若，，且，求的值為奇數的概率.解：（1）若，則的所有取值情況為：故數陣共99項，由知：，，所以.（2）由知，，故，所以也是數陣中的項.（3）若知：，由與具有相同的奇偶性知要使的值為奇數，需使與都是奇數，即i與j必定一奇一偶，當時，的取值情況有4種，故；當時，的取值情況有8種，故；當時，的取值情況有12種，故；當且n為奇數時，中有個奇數，個偶數，故的取值情況有種，故；當且n為偶數時，中有個奇數，個偶數，故的取值情況有種，故；綜上所述，當且n為奇數時，；當且n為偶數時，.19.已知雙曲線（，）的漸近線方程為，點在雙曲線C上.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）如圖，過雙曲線C右支上一點P作圓的切線交雙曲線C左支于Q，右支于R，直線與圓O切于點M.①求證：Q、R兩點關于原點O對稱；②判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，求的取值范圍.解：（1）由雙曲線C的漸近線方程，可知，即.把點帶入雙曲線C的方程得，由，解得，所以雙曲線C的標準方程為.（2）①由題意知切線的斜率存在，故設切線的方程為，由圓O的圓心到直線的距離，所以①，把代入消y得，由題意知.設，，，則由韋達定理可知，，則，所以，所以，所以，同理可得，所以Q，O，R三點共線，又由雙曲線C關于原點O對稱，所以Q，R兩點關于原點對稱.②是定值，證明如下：連接，，，由①知：，，所以，所以，所以為定值.山東省菏澤市2025屆高三下學期一模考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，向量對應的復數為，向量對應的復數為，則向量對應的復數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為向量對應的復數為，向量對應的復數為，所以所以向量對應的復數為.故選：D.2已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C3.已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因為，所以由正弦定理可得：，所以，即，又因為，，所以，故，解得，又因為，所以，所以，所以.故選：D.4.已知數列，則“，，”是“數列為等差數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若對，，都有，則令,得,即，因為為常數,所以數列為等差數列;必要性:等差數列不一定滿足,,,例如:當等差數列通項公式為時,,,此時,所以,,”是“數列為等差數列的充分不必要條件.故選：A5.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，化簡得，，.故選：C.6.曲線在，兩點處的切線互相垂直，則的值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】由，不妨設，兩切線的斜率分別為，當時，則有，此時，顯然，因此不成立，不符合題意；當時，則有，此時，顯然，因此不成立，不符合題意；當，則有，此時，變形得．故選：A7.已知的三個頂點都在拋物線上，三邊、、所在直線的斜率分別為，，，若，則點A的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，，，則，所以，解得，故，故點A的坐標為，故選：B.8.已知函數，若存在實數，使得對任意的實數x恒成立，則稱滿足性質，下列說法正確的為（）A.若的周期為1，則滿足性質B.若，則不滿足性質C.若（且）滿足性質，則D.若偶函數滿足性質，則圖象關于直線對稱【答案】D【解析】選項A，的周期為1，則，從而有，因此具有性質，但不一定成立，A錯；選項B，，，所以，所以具有性質，B錯；選項C，若（且）滿足性質，則，所以，從而，C錯；選項D，偶函數滿足性質，即，又是偶函數，所以，所以圖象關于直線對稱，D正確，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，，則下列說法正確的有（）A.向量，不可能垂直 B.向量，不可能共線C.不可能為3 D.若，則在上的投影向量為【答案】BD【解析】由題意知，.對于選項A，若向量，則，即，顯然此式能成立，故A錯；對于選項B，若向量，則有，即，即，顯然此式不成立，故B正確；對于選項C，，則當時，，故C錯；對于選項D，若，則，，則在上的投影向量為，故D正確.故選：BD10.若從正方體的八個頂點中任取四個頂點，則下列說法正確的有（）A.若這四點不共面，則這四點構成的幾何體的體積都相等B.這四點能構成三棱錐的個數為58C.若正方體棱長為a，則這四點能構成的所有三棱錐中表面積的最大值為D.若這四點分別記為A，B，C，D，則直線與所成的角不可以為30°【答案】BCD【解析】如圖：對A：設，則，，所以A不正確；對B：從正方體的8個頂點中任選4個的選法有中，其中不能構成三棱錐的有：①四個點在正方體的一個面上，即所選四點為：,，，，，共6個；②所選四個點在正方體的相對棱上，即所選的四點為：，，，，，，共6個.所以所選的四個點可以構成三棱錐的個數為：個，故B正確；對C：正方體棱長為a，從正方體的8個頂點中選3個，構成三角形，其中面積最大的就是象這樣的等邊三角形，其邊長為，面積為，所以四點能構成的所有三棱錐中表面積的最大的就是三棱錐這樣的正四面體，其表面積為，故C正確；對D：在正方體的8個頂點中選4個，連成兩條直線，所成的角最小的就是形如直線與的所成的角，設為，則，所以，故D正確.故選：BCD11.已知曲線C的方程為，下列說法正確的有（）A.曲線C關于直線對稱B.，C.曲線C被直線截得的弦長為D.曲線C上任意兩點距離的最大值為【答案】ACD【解析】選項A：將方程中的和互換，得到，與原方程一致，因此曲線關于直線對稱，A正確；選項：通過分析方程，設固定，解關于的二次方程，判別式要求，得，即，超出，同理的范圍也超過，B錯誤；選項C：將直線代入曲線方程，解得交點為和，故弦長為，C正確；選項D：則即又，即，則同理可得：，則曲線的上任一點到的距離之和為：曲線表示以為焦點且的橢圓，則，則線段的最大值為正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若n是數據1，3，2，2，9，3，3，10第75百分位數，則展開式中的系數為______.【答案】80【解析】已知數據從小到大排列為：，共8個，，第6個數是3，第7個數是9，，所以，展開式中的系數為，故答案為：80.13.已知函數在閉區間I上的最大值記為，若實數k滿足，則______.【答案】或【解析】根據區間的定義，左端點小于右端點，，得到，即根據余弦函數的性質，，由題意：，根據函數的周期為，而且其在單調遞減，在單調遞增，，，即，所以，即，當時，，在單調遞減，則，可得；當時，，在單調遞減，且在單調遞增，，.故答案為：或.14.如圖，在中，，，E是的中點，D是邊上靠近A的四等分點，將沿翻折，使A到點P處（P點在平面上方），得到四棱錐.則①的中點M運動軌跡長度為______；②四棱錐外接球表面積的最小值為______.【答案】①.②.【解析】因為到中點的距離等于，且點在平面上方，所以的軌跡是以中點為圓心，為半徑的半圓，所以的中點運動軌跡長度為；因為四邊形的外心為的中點，所以四邊形的外接球的半徑所以四棱錐外接球的球心在過四邊形的外心且垂直平面的直線上，設四棱錐外接球的半徑為，設球心到四邊形的外心的距離為，則，當時，等號成立，所以四棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在春節聯歡晚會上進行了機器人團體舞蹈表演，某機構隨機抽取了100名觀眾進行問卷調查，得到了如下數據：喜歡不喜歡男性4010女性2030（1）依據的獨立性檢驗，試分析對機器人表演節目的喜歡是否與性別有關聯？（2）從這100名樣本觀眾中任選1名，設事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機器人團體舞蹈表演節目”，比較和的大小，并解釋其意義.，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）零假設對機器人表演節目的喜歡與性別無關.根據列聯表中的數據得，依據的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即對機器人表演節目的喜歡與性別有關聯.（2）依題意得，，，則意義：該樣本中男性對機器人團體舞蹈表演節目喜歡的概率比女性對機器人團體舞蹈表演節目喜歡概率大；或者男性對機器人團體舞蹈表演節目喜歡的人數比女性對機器人團體舞蹈表演節目喜歡多等等16.如圖，在四棱錐中，，，，，，，F為的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求與平面所成角的正弦值.（1）證明：由，，，易求取的中點M，連結，F為的中點所以，，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，，又平面，平面所以平面（2）解：由，，所以所以，又平面平面，所以平面以E為原點，所在直線為軸，過E與垂直的直線為軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，，所以，取，則，所以平面的一個法向量為設與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為17.已知函數.