第五講加法原理與乘法原理“加法原理與乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我們以前學習過枚舉計數的方法，但枚舉法對于很多計數問題來說太麻煩了，今天我們要學習的加法原理、乘法原理是計數問題中的兩種新的計算方法．先舉一個例子：餐廳里有4種炒菜和2種燉菜，4種炒菜分別是：紅燒魚塊、滑溜里脊、清炒蝦仁和三鮮豆腐，2種燉菜分別是：土豆燉牛肉和蘿卜燉排骨．點菜時如果只點一個菜，有點炒菜和點燉菜這兩類方式．也就是說，可以點：紅燒魚塊、滑溜里脊、清炒蝦仁、三鮮豆腐、土豆燉牛肉和蘿卜燉排骨之一，有種點菜方法，其中4代表4種炒菜，2代表2種燉菜．這就是加法原理．加法原理：如果完成一件事有幾類方式，在每一類方式中又有不同的方法，那么把每類的方法數相加就得到所有的方法數．如果要求炒菜和燉菜各點一個，這時我們可以把一個炒菜和一個燉菜看成一個點菜組合，點炒菜是一第一步，點燉菜是第二步，這兩步缺一不可．炒菜選紅燒魚塊的點菜方法有2種：（紅燒魚塊，土豆燉牛肉）、（紅燒魚塊，蘿卜燉排骨）；類似地，選滑溜里脊的也有2種：（滑溜里脊，土豆燉牛肉）、（滑溜里脊，蘿卜燉排骨）；選清炒蝦仁的也有2種：（清炒蝦仁，土豆燉牛肉）、（清炒蝦仁，蘿卜燉排骨）；選三鮮豆腐的也有2種：（三鮮豆腐，土豆燉牛肉）、（三鮮豆腐，蘿卜燉排骨）．合在一起就有種點菜方法，其中4代表4種炒菜，2代表2種燉菜．這就是乘法原理．乘法原理：如果完成一件事分為幾個步驟，在每一個步驟中又有不同的方法，那么把每步的方法數相乘就得到所有的方法數．例題1小高一家人外出旅游，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以坐飛機．經過網上查詢，出發的那一天中火車有4班，汽車有3班，飛機有2班．任意選擇其中一個班次，有多少種出行方法？「分析」選擇不同的交通工具是分類還是分步？是用加法原理還是乘法原理呢？

練習1書架上有8本不同的小說和10本不同的漫畫，大頭要從書架上任意取一本書，有多少種不同的取法？例題2用紅、黃兩種顏色給圖中房子的屋頂、煙囪、門、窗四個部分染色，每個部分只能染一種顏色，一共有多少種不同的染色方法？「分析」要給四個部分染色，我們很容易想到要依次染每個部分，這是分類還是分步呢？只染一個部分能完成這件事情嗎？練習2用紅、黃兩種顏色給圖中鴨子的眼睛、嘴巴、身子三個部分染色，每個部分只能染一種顏色，一共有多少種不同的染色方法？分類是指完成一件事情有幾類不同方法，從中任意選取一類即可，它們之間可以相互替代，任意選取一類都可以完成這件事．這種情況下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有幾步不同步驟，每一步都必須執行，它們之間不可以相互替代，少一步都不能完成這件事．這種情況下一般要用到乘法原理．例題3甲丁乙丙從甲地到乙地有3條路，從乙地到丙地有3條路，從甲地到丁地有2甲丁乙丙「分析」要從甲地到丙地，就必須途徑乙、丁兩地之一．“甲→乙→丙”與“甲→丁→丙”這兩類路線各有多少條呢？甲乙丙甲乙丙任意兩地之間的路線都已在下圖中標示出來，如果要求所走路線不能重復，那么從甲地到丙地共有多少條不同的路線？通過上面這幾個例題，我們總結一下加法原理與乘法原理之間的區別．加法原理類與類之間會滿足下列要求：只能選擇其中的某一類，而不能幾類同時選；類與類之間可以相互替代，只需要選擇某一類就可以滿足要求．比如例題1中，飛機、火車或汽車是可以隨意選擇的，小高一家人只選擇其中一種交通工具，就能到達目的地了．乘法原理步與步之間滿足下列要求：每步都只是整件事情的一個部分，必須全部完成才能滿足結論；步驟之前有先后的順序，先確定好一步，再做下一步，……，直到最后．比如例題2中，衣服和帽子都要選擇，只是可以有先后的步驟關系．在這里，衣服和帽子先選哪種都可以．但有的時候卻不能隨意安排順序，這種問題稍微難一些，我們在日后會接觸到．加法原理與乘法原理的混合有些問題中，既有分類的關系，又有分步的關系．這時應該分清主次關系，弄清楚到底是“分類中含有分步”，還是“分步中含有分類”．如果是某一大類里面又可以再分為幾小步，那么應該這一類里用乘法原理進行計算，最后再用加法原理把各類中的情況加在一起，比如例題3．當然我們以后也會碰到某一大步里面又可以再分為幾小類的情況，這就要先用加法原理算出每一大步中有多少種情況，再用乘法原理把總數算出來．在本講的最后，我們來介紹標數法．標數法是解決路徑條數問題的重要方法．如下圖所示，我們要計算螞蟻從A點沿箭頭的方向爬到B點的不同路線有多少條．DDFHCGBEA由于螞蟻只能向上走或者向右走，因此對于最下面一行中的每個點，螞蟻只有一種方法可以到達，對于最左邊一列中的點也是同樣的結論（特別地，我們把A點處標上1，表示螞蟻從A點出發到達A點，只有原地不動這一種方式）．我們用標數法標出螞蟻到達每個點的路線數，已經得到的結果如下圖所示．DD1F1H1C1GBEA1容易看出，螞蟻可以從C點或者D點到達E點，而且只有這兩類不同的方式，那么我們可以在E點處標上數字（把C點與D點的數字相加），表示螞蟻到達E點有兩條路線．同樣道理，螞蟻可以從E點或者F點到達G點，那么螞蟻到達G點就有條路線（把E點與F點的數字相加）．最后可以得到螞蟻到達B點有4條路線，如下圖所示．DD1F1H1C1G3B4E2A1AB例題AB在下圖中，從A點沿線段走到B點，每次只能向上或向右走一步，共有多少種不同走法？AB「分析」標數法其實就是要找到前一步可能在的所有點，把它們的方法數加起來．

練習AB在下圖中，從A點沿線段走到B點，每次只能向上或向右走一步，共有多少種不同走法？例題5老師要求墨莫在黑板上寫出一個減法算式，要求被減數必須是三位數，減數必須是兩位數．請問墨莫共有多少種不同的寫法？「分析」被減數與減數都有很多種寫法，只寫其中一個能完成這個減法算式嗎？寫被減數和寫減數是寫出減法算式的兩類還是兩步？

例題6書架上有三層書，第一層放了15本小說，第二層放了10本漫畫，第三層放了5本科普書，并且這些書都各不相同．請問：

（1）如果從所有的書中任取1本，共有多少種不同的取法？

（2）如果從每一層中各任取1本，共有多少種不同的取法？

（3）如果從中取出2本不同類別的書，共有多少種不同的取法？「分析」從第一層取1本書、從第二層取1本書、從第三層取1本書，這三件事對于前兩問來說是分類還是分步？課堂內外加減乘除的由來加減乘除（＋、－、×、÷）等數學符號是我們每一個人最熟悉的符號，因為不光在數學學習中離不開它們，幾乎每天的日常的生活也離不開它們．別看它們這么簡單，直到17世紀中葉才全部形成．法國數學家許凱在1484年寫成的《算術三篇》中，使用了一些編寫符號，如用D表示加法，用M表示減法．這兩個符號最早出現在德國數學家維德曼寫的《商業速算法》中，他用“＋”表示超過，用“─”表示不足．到1514年，荷蘭的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示減法．1544年，德國數學家施蒂費爾在《整數算術》中正式用“＋”和“─”表示加減，這兩個符號逐漸被公認為真正的算術符號，廣泛采用．以符號“×”代表乘是英國數學家奧特雷德首創的．他于1631年出版的《數學之鑰》中引入這種記法．據說是由加法符號“＋”變動而來，因為乘法運算是從相同數的連加運算發展而來的．后來，萊布尼茲認為“×”容易與“X”相混淆，建議用“?”表示乘號，這樣，“?”也得到了承認．除法符號“÷”，最初這個符號是作為減號在歐洲大陸流行，奧屈特用“：”表示除或比，也有人用分數線表示比，后來有人把二者結合起來就變成了“÷”．瑞士的數學家拉哈的著作中正式把“÷”作為除號．符號“÷”是英國的瓦里斯最初使用的，后來在英國得到了推廣．除的本意是分，符號“÷”的中間的橫線把上、下兩部分分開，形象地表示了“分”．至此，四則運算符號齊備了．作業題庫中有三種類型的題目，數量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類型的題目中各取一道組成一張試卷．問：由該題庫共可組成多少種不同的試卷？

小琴、小惠、小梅三人報名參加運動會的跳繩、跳高和短跑這三個項目的比賽，每人只能參加一項比賽，不一定三項比賽都要有人參加．請問報名的情況有多少種？