④是數(shù)列中的最小項。(提示：)20、已知，把數(shù)列的各項排列成如下的三角形狀：記表示第行的第個數(shù)，則____________.※21、如圖，一個粒子在原點，第一秒內(nèi)從原點運動到點，然后按照圖示的方向由來回運動，每秒移動一個單位，那么粒子移動到點時用時________秒，經(jīng)過2000秒時粒子所處的位置為點___________.43214321 12341234※22、對大于或等于2的自然數(shù)的次冪進行如下方式的“分裂”：1133537951172527929仿此，“分裂”中最大的數(shù)是________；若“分裂”中最小的數(shù)是211，則的值為_______.23、已知等差數(shù)列滿足：，的前項和為。（1）求及。（2）令，求數(shù)列的前項和.24、（1）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求這個數(shù)列的中間項與項數(shù)。一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32:27，求該數(shù)列的公差。25、（1）在等差數(shù)列中，，記，求數(shù)列的前30項和；（2）已知等差數(shù)列的前項和為，，求數(shù)列的前項和.26、已知等差數(shù)列的前三項為，前項和為。設(shè)，求和的值；設(shè)，求的值。27、等差數(shù)列在中，，求使取最大值時的值。28、有兩個等差數(shù)列和，其前項和分別為和，若，求。29、已知等差數(shù)列的前項和為，點在直線上。數(shù)列滿足，，且其前9項和為153.求，的通項公式；設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值。（提示：，）※30、設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，是其前項和，滿足。求的通項公式及；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項。設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若.求取得最小值時的值；（2）求的取值集合，使.已知各項全不為零的數(shù)列的前項和為，且，其中。求數(shù)列的通項公式；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項。§2.4等比數(shù)列【知識精要】定義：，則數(shù)列是等比數(shù)列;可以用于等比數(shù)列的證明；通項公式：（），可用于等比數(shù)列的判定；推廣：；注：通項公式的推導(dǎo)可采用（1）歸納法（2）迭代法（3）累乘法（4）逐商法單調(diào)性：（1）遞增數(shù)列（或）；（2）遞減數(shù)列（或）；（3）常數(shù)列（）；（4）擺動數(shù)列（）。等比中項：如果在和之間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做和的等比中項。有或。中項公式：，可以用于等比數(shù)列的證明；若數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則是非零常數(shù)列；若數(shù)列是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列；若數(shù)列是等比數(shù)列，則，也都是等比數(shù)列；數(shù)列是等比數(shù)列當且僅當是常數(shù)列；數(shù)列是等差數(shù)列當且僅當是常數(shù)列；若是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列。9、設(shè),若，則，可推廣為：設(shè)，若，則。【典型例題】例1、已知數(shù)列的前項和，求證：是等比數(shù)列.【點評】可以利用例2、在數(shù)列中，，令.求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（1）求的通項公式.【思路點撥】形如的遞推關(guān)系式，可化為的形式，利用是等比數(shù)列求的通項公式.例3、已知數(shù)列滿足：.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式；若數(shù)列滿足：,證明：數(shù)列是等差數(shù)列.【思路點撥】當利用一階遞推式無法證明一個等差數(shù)列時，就用二階遞推式.例4、已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.又.求證：數(shù)列是等比數(shù)列.【思路點撥】先求，再求，利用定義證明。【實戰(zhàn)演練】在等比數(shù)列中，，那么（）A、B、C、D、8在等比數(shù)列中，，公比，若，則（）A、9B、10C、11D、12已知等比數(shù)列滿足：，且，則當時，（）A、B、C、D、4、已知等比數(shù)列中，，則_____________.5、等比數(shù)列中，,則_____________.6、已知，點在函數(shù)的圖像上，設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.7、若正數(shù)成等比數(shù)列，且公比大于1，則當時，（）依次成等差數(shù)列B、各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列C、依次成等比數(shù)列D、各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列8、在等差數(shù)列中，公差，是和的等比中項，已知成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.9、設(shè)數(shù)列的前項和.求；（2）證明：是等比數(shù)列；（3）求的通項公式.已知數(shù)列的前項和是，且，證明：是等比數(shù)列；已知數(shù)列的前項和是，且，其中為常數(shù)且，.求證：是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，求證：是等差數(shù)列。§2.5等比數(shù)列的前項和【知識精要】設(shè)是數(shù)列的前項和，則等比數(shù)列的前項和公式（注意在使用公式是判斷是否為1）；等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)采用的是錯位相減法，錯位相減法適合求數(shù)列的前項和，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列（公比）；等比數(shù)列的連續(xù)項和：仍成等比數(shù)列；若等比數(shù)列有項，則；；數(shù)列為非常數(shù)列的等比數(shù)列，其中是的公比。【典型例題】例1、已知等比數(shù)列的公比。（1）若，求數(shù)列的前項和；（2）證明：對任意，成等差數(shù)列。例2、等比數(shù)列有項，其和為-240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，求公比。例3、設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，求。例4、已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和。【實戰(zhàn)演練】1、等比數(shù)列的公比,前n項和為,則()A.15B.63C.D.2、已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列的前項和為()A. B. C. D.3、等比數(shù)列中，公比，它的前項和為，數(shù)列的前項和為，則的值為（）A.B.C.D.4、已知等比數(shù)列的前項和，則=（）A.B.C.D.5、數(shù)列的前項和等于()A. B. C. D.等比數(shù)列中,公比，，則=.在等比數(shù)列中，若，，則公比___________；8、一個等比數(shù)列的首項是1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù)。9、等比數(shù)列中，，求和.10、設(shè)數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足：，且，（1）求通項；(2)求前項的和.專題一數(shù)列求和分組求和例1、求和：；（2）求數(shù)列的前項和；（3）求數(shù)列的前項和。練習(xí)：已知是首項為，公差為的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和。求通項及；設(shè)是首項，為公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前項和。裂項相消法求和例2、在數(shù)列中，，點在直線上。求的通項公式；若，求數(shù)列的前項和.【方法總結(jié)】1、常見的裂項公式有如下形式：；（2）；；（4）.注：常見題目：設(shè)是公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列前項和。解法如下：。練習(xí)：1、已知等差數(shù)列的前項和為，，則數(shù)列的前100項和為（）A、B、C、D、數(shù)列的通項公式是，若的前項和為10，則項數(shù)為（）A、11B、99C、120D、121已知數(shù)列：，設(shè)那么數(shù)列的前項和為（）A、B、C、D、已知數(shù)列的通項公式是，則數(shù)列的前項和為=_______________。設(shè)數(shù)列的前項和為，如果，那么________________.已知等差數(shù)列的前項和為，。求及；（2）令，求數(shù)列的前項和.求數(shù)列的前項和。錯位相減法求和例3、求和.例4、已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足.求，；（2）求數(shù)列的前項和.練習(xí)：1、已知是等差數(shù)列，其前項和為，是等比數(shù)列，且，，.求數(shù)列和的通項公式；記，證明：。已知數(shù)列的前項和為（其中為常數(shù)），且.求；（2）求數(shù)列的前項和.倒序相加法求和例5、函數(shù)對任意的都有。求和的值；求。練習(xí)：已知，，求的值.并項法求和例6、若數(shù)列的通項公式是，則___________.專題二數(shù)列通項公式的求法題型一、累加法例1、在數(shù)列中，，,求數(shù)列的通項公式.【方法歸納】形如的遞推關(guān)系式，可采用累加法求通項公式。具體做法如下：，再驗證時是否成立。練習(xí)：1、已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式.2、已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式.題型二、累乘法例2、數(shù)列中，若，求數(shù)列的通項公式.【方法歸納】形如的遞推關(guān)系式，可采用累乘法求通項公式。具體做法如下：，再驗證時是否成立。練習(xí)：3、如果數(shù)列滿足：是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則()A、B、C、D、24、在數(shù)列中，，求.5、已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求常數(shù)的值；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列。題型三、構(gòu)造法例3、已知數(shù)列滿足：，求.【方法歸納】當題目中出現(xiàn)的形式時，把變形為，即，令，解得，從而構(gòu)造出等比數(shù)列.練習(xí)：6、已知數(shù)列滿足：，求.例4、（1）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：，求.已知數(shù)列滿足：，求.【方法歸納】當題目中出現(xiàn)的形式時，兩邊取倒數(shù)，得到，從而構(gòu)造出等差數(shù)列；當題目中出現(xiàn)的形式時，兩邊同除以，得到，從而構(gòu)造出等差數(shù)列。例5、已知數(shù)列滿足：，求.【方法歸納】形如的遞推關(guān)系式，兩邊同除以，得到，從而