PAGE2-其次節(jié)隨機(jī)抽樣[考綱傳真]1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.2.會用簡潔隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本.3.了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.4.會用隨機(jī)抽樣的基本方法解決一些簡潔的實(shí)際問題．1．簡潔隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡潔隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡潔隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)先將總體的N個個體編號．(2)確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段，當(dāng)eq\f(N,n)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)，當(dāng)eq\f(N,n)不是整數(shù)時，隨機(jī)從總體中剔除余數(shù)，再取k＝eq\f(N′,n)(N′為從總體中剔除余數(shù)后的總數(shù))．(3)在第1段用簡潔隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)．(4)依據(jù)肯定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲得整個樣本．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍當(dāng)總體由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．[常用結(jié)論]1．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．2．系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個體的編號相差分段間隔k的整數(shù)倍．3．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘抽樣比．[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)簡潔隨機(jī)抽樣中每個個體被抽到的機(jī)會不一樣，與先后有關(guān)．()(2)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采納簡潔隨機(jī)抽樣．()(3)要從1002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，須要剔除2個學(xué)生，這樣對被剔除者不公允．()(4)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．從50份高三學(xué)生期中考試試卷中隨機(jī)抽出15份進(jìn)行教研分析，則下列說法正確的是()A．15名學(xué)生是樣本 B．50名學(xué)生是總體C．樣本容量是15 D．樣本容量是50C[本題考查簡潔隨機(jī)抽樣的概念．樣本容量是15.故選C.]3．某學(xué)校為了了解中學(xué)一年級、二年級、三年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()A．抽簽法 B．系統(tǒng)抽樣法C．分層抽樣法 D．隨機(jī)數(shù)法C[總體由差異明顯的幾部分組成，故最合理的抽樣方法是分層抽樣法．故選C.]4．(教材改編)某班共有52人，現(xiàn)依據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號，29號，42號學(xué)生在樣本中，那么樣本中還有一個學(xué)生的學(xué)號是()A．10 B．11C．12 D．16D[由題意可知，分段間隔k＝eq\f(52,4)＝13，∴樣本中還有一個學(xué)生的學(xué)號為3＋13＝16，故選D.]5．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上全部的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件．18[∵eq\f(樣本容量,總體個數(shù))＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．]簡潔隨機(jī)抽樣1．下列抽取樣本的方式屬于簡潔隨機(jī)抽樣的個數(shù)為()①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本；②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．在抽樣操作時，從中隨意拿出一個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里；③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；④某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參與學(xué)校組織的籃球賽．A．0 B．1C．2 D．3A[①不是簡潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個數(shù)是無限的，而不是有限的；②不是簡潔隨機(jī)抽樣．因?yàn)樗怯蟹呕爻闃?；③不是簡潔隨機(jī)抽樣．因?yàn)檫@是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽?。虎懿皇呛啙嶋S機(jī)抽樣．因?yàn)椴皇堑瓤赡艹闃樱蔬xA.]2．總體由編號為01,02,03，…，49,50的50個個體組成，利用隨機(jī)數(shù)表(以下選取了隨機(jī)數(shù)表中的第1行和第2行)選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字起先由左向右讀取，則選出來的第4個個體的編號為()66674067146405719586110565096876832037905716001166149084451175738805905283203790A．05 B．09C．11 D．20B[從隨機(jī)數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字起先由左向右讀取，符合條件的數(shù)有14,05,11,05,09因?yàn)?5出現(xiàn)了兩次，所以選出來的第4個個體的編號為09.故選B.]3．利用簡潔隨機(jī)抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本．若其次次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,14) D.eq\f(10,27)C[依據(jù)題意得，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故每個個體被抽到的概率為eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).][規(guī)律方法]抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用狀況1抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的狀況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的狀況.2一個抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否便利；二是號簽是否易攪勻.一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法.系統(tǒng)抽樣【例1】采納系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，將他們隨機(jī)編號1,2，…，1000.適當(dāng)分組后在第一組采納簡潔隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為8.若抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,400]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[401,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為()A．12 B．13C．14 D．15A[依據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)可知，全部做問卷調(diào)查的人的編號構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差d＝eq\f(1000,50)＝20的等差數(shù)列{an}，∴通項(xiàng)公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1000，得eq\f(763,20)≤n≤eq\f(253,5)，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做問卷C的共有12人，故選A.][規(guī)律方法]1.假如總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為eqk＝\f(N,n)，否則，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，特殊留意，每個個體被抽到的機(jī)會均是eq\f(n,N).2.系統(tǒng)抽樣中依次抽取的樣本對應(yīng)的號碼就是一個等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù)，依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼.(1)某學(xué)校采納系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做視力檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號．已知從33～48這16個數(shù)中抽到的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機(jī)抽取的數(shù)是()A．5 B．7C．11 D．13(2)在一次馬拉松競賽中，35名運(yùn)動員的成果(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(13,14,15))eq\o(\a\al(00345668889,11122233445556678,0122333))若將運(yùn)動員按成果由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成果在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動員人數(shù)是________．(1)B(2)4[(1)把800名學(xué)生分成50組，每組16人，各小組抽到的數(shù)構(gòu)成一個公差為16的等差數(shù)列，39在第3組．所以第1組抽到的數(shù)為39－32＝7.(2)依題意，可將編號為1～35號的35個數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個數(shù)據(jù)，從每組中抽取一人．成果在區(qū)間[139,151]上共有20個數(shù)據(jù)，分在4個小組內(nèi)，每組抽取1人，共抽取4人．]分層抽樣【例2】(1)某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況的某項(xiàng)指標(biāo)，需從他們中間抽取一個容量為42的樣本，則分別應(yīng)抽取老年人、中年人、青年人的人數(shù)是()A．7,11,18 B．6,12,18C．6,13,17 D．7,14,21(2)一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動員56人，女運(yùn)動員m人，用分層抽樣抽出一個容量為n的樣本，在這個樣本中隨機(jī)取一個當(dāng)隊(duì)長的概率為eq\f(1,28)，且樣本中的男隊(duì)員比女隊(duì)員多4人，則m＝________.(1)D(2)42[(1)因?yàn)樵搯挝还灿?7＋54＋81＝162(人)，樣本容量為42，所以應(yīng)當(dāng)按eq\f(42,162)＝eq\f(7,27)的比例分別從老年人、中年人、青年人中抽取樣本，且分別應(yīng)抽取的人數(shù)是7,14,21.故選D.(2)由題意知n＝28，設(shè)其中有男隊(duì)員x人，女隊(duì)員有y人．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝28，,x－y＝4，,\f(56,m)＝\f(x,y).))解得x＝16，y＝12，m＝42.][規(guī)律方法]分層抽樣問題類型及解題思路1求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算.2已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之：依據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計算.3分層抽樣的計算應(yīng)依據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝\f(各層樣本數(shù)量,各層個體數(shù)量)”.(1)某報社做了一次關(guān)于“什么是新時代的雷鋒精神”的問卷調(diào)查，在A，B，C，D四個單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，且共回收1000份，因報道須要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本，若在B單位抽取30份，則在D單位抽取的問卷數(shù)是()A．40 B．50C．60 D．70(2)已知某地區(qū)中學(xué)生人數(shù)和近視狀況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的中學(xué)生近視人數(shù)分別為________．圖1圖2(1)C(2)200,20[(1)