第17章勾股定理——重難點

內容范圍：17.1?17.2

?重難點知識導航

勾股定理

勾股定理勾股定理勾股定理

勾股定理

的應用與折疊的逆定理

?重難點知識剖析

知識點一：勾股定理

i.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+〃=/.

（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。斗〃=。2的變形有：a=,6=朽方及c=

（4）由于。2+〃=°2>/,所以C〉。，同理即直角二角形的斜邊大于該直角二角形中

的每一條直角邊.

2.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法,

然后再利用面積相等證明勾股定理.（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一

個規則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

3.勾股定理簡單應用形式

（1）已知直角三角形任意兩邊，求第三邊；

（2）已知直角三角形任意一邊，確定另外兩邊的數量關系；

（3）構造方程或方程組計算與直角三角形有關的長度、高度、距離、面積等問題；（4）證

試卷第1頁，共10頁

明含有平方關系的幾何問題;

典例精講例L

1.如圖，在△4BC中，4=90。，分別以”，8c為邊在△4BC外側作正方形NADE和正

方形BCFG,再以NC為斜邊在△/3C外側作RM/C”,若/8=1,CH=2a,則圖中陰

A.10B.5+V6C.25+V6D.5+2指

例2.

2.如圖，在△/BC中，AD1BC.

(2)當48=8,BC=6,NC=2而時，求的值.

Q變式訓練

3.如圖，△4BC和AERC為等腰直角三角形，NACB=NECF=90°,已知點￡在48上,

連接B尸.

(1)若不添加輔助線，請在圖中找出一對全等三角形并證明其全等;

試卷第2頁，共10頁

(2)若4E=1,//EC=105。，求BE的長.

4.(1)如圖1是著名的趙爽弦圖，用四個全等的直角三角形拼成如圖的大正方形ABCD和

小正方形EFGH.已知較長的直角邊長為。，較短的直角邊長為匕，斜邊長為c,利用面積

法等可以推導出勾股定理，請寫出推理過程.

(2)如圖2,在一條公路48的一側有一村莊C,公路邊有兩個停靠站/,B,在公路邊再

建一個停靠站。，使村莊C到停靠站。的距離最短.經測量/C=5km,CD=4km.

①求停靠站A與。之間的距離停靠站A與。之間的距離；

②經測量發現停靠站5到村莊C和停靠站A的距離相等，求停靠站5到村莊。的距離.

圖2

知識點二：勾股定理的應用

1.勾股定理的應用

(1)在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

(2)在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，

關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖.領會數形結合的思想的應

用.

(3)常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線

段的長度.

②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊

為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題.

解決問題的思路：畫圖一尋找或構造直角三角形一用勾股定理求解.

④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個

正整數的直角三角形的斜邊.

2.平面展開-最短路徑問題

(1)平面展開-最短路徑問題，先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之

試卷第3頁，共10頁

間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構造直角三角形解決問題.

(2)最短路徑問題的方法

①解決立體圖形中最短距離問題的關鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線

展開，轉化為平面問題后，借助“兩點之間，線段最短”或“垂線段最短”，進而構造直角三角

形，借助勾股定理求解.

②平面圖形的最短路徑通常是作軸對稱變換，轉化為“兩點之間線段最短”的模型來解決問

題.

③最短路徑常見的模型：

常見的有圓柱體的展開、長方體的展開、樓梯的展開、繞繩的展開和將軍飲馬模型、“造橋

選址”模型、費馬點等，如圖.

在典例精講

例1.

5.如圖，教室墻面尸與地面/8CD垂直，點尸在墻面上，若尸/=舊米，”=2米,

點尸到/尸的距離是3米，一只螞蟻要從點尸爬到點B,它的最短行程是()米

C.V13D.3

例2.

6.閱讀下列材料，回答問題.

社區公園里新安裝了一架秋千，小白對秋千的高度產生了興趣，星期天他和朋友一起帶著卷

試卷第4頁，共10頁

尺到公園測量秋千的高度，他設計如下的測量方案：

步驟一：測得秋千靜止時的底端E與地面的距離BE=0.8m；

步驟二：如圖，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的繩索被拉直，測得此時秋千底端

離地面的高度CD=l.lm,再測得小白站立處與秋千靜止時的水平距離5C=1.5m.

(1)若設秋千的高度=則m(用含x的代數式表示)；

(2)根據上述測量方案和數據，求秋千的高度

Q變式訓練

7.在海平面上有B,C三個標記點，C為燈塔，港口/在燈塔C的北偏西55。方向上,

港口/與燈塔C的距離是40海里；港口3在燈塔C的南偏西35。方向上，港口8與燈塔C

的距離是30海里，一艘貨船將從/港口沿直線向港口8運輸貨物，貨船的航行速度為10

海里/小時.

(1)貨船從港口A航行到港口B需要多少時間；

(2)為了保障航行的安全，C處燈塔將向航船發送安全信號，信號有效覆蓋半徑為25海里,

這艘貨船在由港口N向港口8運輸貨物過程中，為保證安全航行，貨船接收燈塔的安全信

號時間不低于1小時才符合航行安全標準.請問這艘貨船在本次運輸中是否符合航行安全標

準，并說明理由？

8.【問題情境】

數學綜合與實踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別

為20、3、2,A和8是一個臺階兩個相對的端點.

試卷第5頁，共10頁

【探究實踐】

老師讓同學們探究：如圖①，若A點處有一只螞蟻要到8點去吃可口的食物，那么螞蟻沿

著臺階爬到8點的最短路程是多少？

（1）同學們經過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長

為20.寬為15的長方形，連接42,經過計算得到長度為,就是最短路程.

【變式探究】

（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm,高是8cm,若螞蟻從

點A出發沿著玻璃杯的側面到點3,則螞蟻爬行的最短距離為

【拓展應用】

（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm,底面周長為16cm,在杯內壁離杯底4cm的點A處

有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點8處，則螞

蟻從外壁3處到內壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計）（畫出示意圖并進行

計算）

知識點三：勾股定理與折疊問題

1.解決折疊問題的基本思路：

①注意尋找折疊前后不變的量一邊與角；

②已知與所求的量一般集中在一個直角三角形中；

③利用勾股定理構建方程求解.

2.折疊問題中常見的幾何模型：

試卷第6頁，共10頁

立典例精講

例1.

9.如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別是。(。期，40,4),5(6,0),

點C、。分別在邊。4、AB上,將A/。沿直線C￡＞折疊，點A恰好落在08邊的中點H處,

則點C的坐標為

例2.

10.如圖1,四個全等的直角三角形拼成一個大正方形，中間空白部分也是正方形.已知直

角三角形的兩直角邊長分別為。，以斜邊長為J課堂上，老師結合圖形，用不同的方式表

示大正方形的面積,證明了勾股定理/+62=02.

ab

b

a

ba

圖1

(1)現將圖1中的兩個直角三角形向內翻折，得到圖2.若a=4,6=6,則空白部分的面積

為

⑵如圖3,長方形/BCD沿/￡折疊，使點。落在邊2C上的點尸處.若3=5,AB=3,

試卷第7頁，共10頁

求斯的長.

o變式訓練

11.如圖，在中，ZC=90°,AC=12,48=15,將邊8c沿翻折，點B落在

點E處，連接CE交4B于點R則斯的最大值為()

12.學完了勾股定理相關知識，王老師帶領大家研究長方形紙片的折疊問題.大家知道，長

方形的對邊相等，對邊平行，四個角都是直角，即長方形/BCD中，

ZA=/4BC=NC=/4DC=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,AB//CD.

請你運用所學知識，解決下

圖2

面的問題：

(1)如圖1,長方形紙片ABC。中，48=5,AD=12,將紙片折疊，使N8落在對角線/C

上，折痕為/￡(點￡在邊8c上)，點3落在點夕處，求CE的長度；

(2)如圖2,有一張長方形紙片48。，AB=6,AD=U,尸為邊上一點，AF=3,E

為5c上一點.將紙片折疊，折痕為斯，使點8恰好落在線段初上的點"處，點/落在

點H處.求線段WD的長度.

知識點四：勾股定理的逆定理

An

勾股定理的逆定理

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,C滿足。2+〃=02,那么這個三角形就是

試卷第8頁，共10頁

直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

2、運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角.然后進一步結合其

他已知條件來解決問題.注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三

條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角

三角形；否則不是.

3、勾股定理逆定理應用形式

(1)已知三角形三邊的長度，判斷三角形的形狀；

(2)在圖形中尋找與已知兩點構成直角三角形的點；

(3)在網格中判斷直角或直角三角形；

(4)求某些不規則圖形的面積.

在典例精講

例1.

13.如圖，已知△NBC中，的垂直平分線交8c于點。，/C的垂直平分線交于點

，DE=2,sc=|,則NC的長為（）

C3A/5D3屈

'~2~'2

例2.

14.如圖，正方形網格中的△4BC,若小方格邊長為1,

試卷第9頁，共10頁

(1)判斷△4BC是否為直角三角形？

(2)求△/BC最長邊上的高？

Q變式訓練

15.如圖，在中，Z5=9O°,/C=12,點。為邊NC的中點，點E在邊8C上,

連接。E.

(1)若DE=2。,CE=4小,求ACDE的面積；

(2)若N8=6,EDA.AC,求CE的長.

16.如圖，在一條河流的一側有一村莊C,河邊原有兩個取水點B.其中=因

建設新農村需要，由C到8的道路另作他用，不再通行.該村為方便村民取水決定在河邊

新建一個取水點P(4P,3在一條直線上)，并新修建一條道路CP,建成后經測量得到相

關數據/C=26km,CP=24km,4P=10km.某校數學項目式小組嘗試解決以下問題，請你

(1)任務一：在每千米道路造價相同的前提下，試說明道路CP設計方案的成本最低;

(2)任務二：求修建后的路線CP比原來的路線縮短了多少千米.

試卷第10頁，共10頁

1.c

【分析】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理可得/。2=/爐+82=25,即得

S正方物BDE+S正方形BCFG=+BC~=25,進而由S陰影=S正方形0B0E+S正方形BCFG+^^ACH即可求解，

掌握勾股定理的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?/”=90,AH=\,CH=2屈,

222

：.AC=AH+CH'=1+(2n『=25,S^ACH=^AHCH=|xlx276=a,

"ABC=90°,

■■AB2+BC2=AC2=25,

,正方私曲+$正方形BCFG=4B-+BC?=25,

S陰影=S正方物皿E+S正方形BCFG+S：=25+V6,

故選：C.

2.(1)證明見解析；

⑵ND=46；

【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關證明和計算及解二元一次方程組，熟練掌

握和運用勾股定理是解決問題的關鍵.

(1)在和R"。。中，分別運用勾股定理可得/京=43+臺加，

AC2=AD2+CD2,利用/。邊相等，聯立兩式移項即得證.

(2)根據第一問的結論，可求出的值，利用平方差公式，結合8C=3D+CD=6,

可求得3O-C。，而2￡>+CD=6,由此可求得3D、CD,由勾股定理即可求出4D.

【詳解】(1)證明：??,AD1BC,

在RtZUBD和Rt“DC中，根據勾股定理得，

AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2,

AB2-BD2=AD2=AC2-CD2,

移項得：AB2-AC2=BD2-CD2.

^AB2-AC2=BD2-CD2.

(2)解：???AB2-AC2=BD--CD2,AB=%,AC=2屈

BD2-CD2=AB2-AC2=82-(2V13)2=64-52=12,

答案第1頁，共13頁

BD2-CD2=(BD+CD^BD-CZ>)=12,

BC=6,^BD+CD=6,

：.BD-CD=2,

\BD+CD=6[BD=4

"[BD-CD=1'解得jcD=2，

■■■/r>2=4g2一切=82-42=64-16=48,

AD=4日

3.("AEC咨ABFC,證明見解析

⑵百

【分析】(1)由ZUgC和AEFC為等腰直角三角形，ZACB=ZECF=90°,得/C=3C,

EC=FC,ZACE=ZBCF=90°-ZBCE,即可根據全等三角形的判定定理SAS證明

A.AEC^ABFC；

(2)過點E作EGLNC于點G,則NGEN=NN=45。，ZGCE=1800-ZAEC-ZA=30°,

所以/G=EG,CE=2EG,根據勾股定理求得NG,CE的長，再由勾股定理求得CG,AC

的長，從而得到48,利用8￡=48-/E求出結果即可.

【詳解】(1)解：圖中附48尸C,證明如下：

VdBC和AEFC為等腰直角三角形，NACB=ZECF=90°,

:.AC=BC,EC=FC,ZACE=ZBCF=90°-ZBCE,

在△4EC和△2FC中，

'AC=BC

<NACE=NBCF,

EC=FC

:."EC咨ABFC(SAS)；

(2)過點E作EGL/C于點G,

答案第2頁，共13頁

則//GE=/CG￡=90。，

vAAEC=105°,/A=/CBA=45。，

ZGEA=ZA=45°,ZGCE=180°-NAEC-ZA=30°f

:.AG=EG,CE=2EG,

222

\-AG+EG=AE9AE=1,

2AG2=12,

/.AG=EG=---

2

CE=2x=\pl,

2

AC=AG+CG當+當

AB=^AC2+BC2=yj2AC2=42AC=收x（近46}=1+6,

122J

:.BE=AB-AE=l+M-l=6

【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形中

30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題

的關鍵.

25

4.(1)見解析；(2)①停靠站A與。之間的距離為3km；@—km

o

【分析】本題考查勾股定理的證明，勾股定理的應用：

(1)根據大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個直角三角形的面積即可得證；

(2)①直接利用勾股定理進行求解即可；②設N8=3C=x,在RMHDC中利用勾股定理

進行求解即可.

71

【詳解】解：(1)由圖可知：c2=(a-by+4x-ab=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2；

(2)①村莊。到停靠站。的距離最短，

：.CDLAB,

vAC=5km,CD=4km,

???AD=ylAC2-CD2=3km；

答案第3頁，共13頁

答：停靠站A與。之間的距離為3km；

②設/8=8C=xkm,貝!J：BD—(x—3)km,

在RtACDB中，BC2=BD2+CD2,

則:X2=(X-3)2+42,

25

解得：x=1；

6

25

答：停靠站8到村莊C的距離為rkm.

6

5.A

【分析】本題考查平面展開一最短路徑問題及勾股定理的應用，可將教室的墻面/DE尸與

地面展開，連接尸3,根據兩點之間線段最短，利用勾股定理求解即可.正確利用立

體圖形中的最短距離，通常要轉換為平面圖形的兩點間的線段長來進行解決是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過P作PGJ.5尸于G,連接尸3,

此時PB的長為這只螞蟻從點P爬到點3的最短行程,

?.?尸9=布米，月3=2米，點尸到/月的距離是3米,

.?.PG=3米，

■■AG=ylPA2-PG2=J[V13)2-32=2(米)，

：.BG=GA+AB=2+2=4(米)，

；?PB="笈+PG?="2+32=5(米)，

??.這只螞蟻的最短行程應該是5米.

故選：A.

6.(l)(x-0.8)

(2)秋千的高度為4.7m

【分析】本題考查勾股定理的實際應用：

(1)根據40=NE=4B-BE即可求解；

(2)過點。作。尸_L/8,利用勾股定理解RtA/DF即可.

答案第4頁，共13頁

【詳解】（1）解：由題意得，AD=AE=AB-BE=（x-0.8）m,

故答案為：（x-0.8）；

（2）解：過點。作。尸，4B,垂足為尸，

則。尸=8C=1.5,BF=CD=1.1,

AF+BF=AB,

/.AF=AB-BF=x-\A,

在R3/。尸中,N4FD=90。，

AF2+DF2=AD2,

即(龍一Liy+l.52=(x-0.8『，

解得：x=4.7,

答：秋千的高度43為4.7m.

7.（1）5小時

（2）符合航行安全標準，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理的應用以及方位角的應用，等腰三角形的判定與性質，正確掌

握相關性質內容是解題的關鍵.

（1）先得出/8。4=180。-35。-55。=90。，結合勾股定理列式/g=J/C?+&<=50（海

里），因為貨船的航行速度為20海里/小時，貝/=4=2.5（小時），即可作答.

（2）先在AB上取兩點N使得CM=CN=25海里，S^c=^AC-BC=^AB-CD,

分別算出CD,。州的長度，然后結合等腰三角形的三線合一，得出九亞=2。河=14海里，

因為貨船的航行速度為10海里/小時，則％=需=1.4（小時），即可作答.

【詳解】（1）解：???港口N在燈塔C的北偏西55。方向上，港口/與燈塔C的距離是40海

里；港口3在燈塔C的南偏西35。方向上

ZBCA=180°-35°-55°=90°,

?.?港口/與燈塔C的距離是40海里，港口5與燈塔C的距離是30海里

答案第5頁，共13頁

AB=y]AC2+BC2-50(海里),

???貨船的航行速度為10海里/小時

1=5（小時）,

答：貨船從/港口到2港口需要5小時;

（2）答：這艘船在本次運輸中符合航行安全標準，理由如下:

如圖：過C作CD_L48交N8于。,

在43上取兩點M,N使得CM=CN=25海里

?;S?=-AC-BC=-AB-CD,

△HAOC227

iACBC40x30

CD=-----------=----------=24（海里）,

AB50

??DM=4CM1-CD1=7(海里),

CM=CN,

.?.△CMN是等腰三角形

CD1AB

：.MN=2DM=

MN一/3、

???4=工^-=1.4(小時)

二這艘貨船在本次運輸中符合航行安全標準.

8.(1)25(2)17cm(3)10cm

【分析】本題考查了平面展開圖一最短路徑問題，解答本題的關鍵是熟練運用數形結合的思

想解決問題.

（1）直接利用勾股定理進行求解即可;

（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可;

答案第6頁，共13頁

(3)從玻璃杯側面展開，作8關于EG的對稱點C,根據兩點之間線段最短可知NC的長度

即為所求，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：(1)由題意得4g=J152+202=25，

故答案為：25；

(2)將圓柱體展開，由題意得

AB=M+15?=17cm>

故答案為：17cm；

(3)如圖，

從玻璃杯側面展開，作8關于EG的對稱點C,作交/￡延長線于點。，連接NC

交EG于點尸，

BF=CF,OE=CG=BG=lcm,

AF+BF=AF+CF=AC,

'：AD=9-4+DE=5+1=6cm,CD=16+2=8cm

AC=y/CD2+AD2=A/82+62=10cm，

???螞蟻從外壁B處到內壁A處所爬行的最短路程是10cm.

【分析】本題考查圖形與坐標，涉及折疊性質、勾股定理及解方程等知識，先由折疊性質得

到C4=C4，，設OC=x,則C/'=C4=4-x,在Rt^COH中，由勾股定理列方程求解即可

得到答案，熟記折疊性質及勾股定理的運用是解決問題的關鍵.

【詳解】解：將沿直線CD折疊，點A恰好落在02邊的中點4處，

，由折疊性質可知，CA=CA',

???4(0,4),2(6,0),

:.OA=4,OA'=-OB=3,

2

答案第7頁，共13頁

設OC=x,貝i|C4'=C4=4-x,

在Rt^CCW中，由勾股定理可得=即/+32=（4-x『，

7

/.8x=7,角牟得x=7，

o

,點C的坐標為

故答案為：

10.（1）28

⑵EF=：

【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵；

（1）根據空白部分的面積=邊長為c的正方形的面積-2個直角三角形的面積

=c2-2x-ab,即可求解；

2

（2）根據勾股定理求得出?=斤2_&g2=4,進而設￡F=x,則。E=￡F=x,

CE=CD-DE=3-x,在RtZ\CE尸中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解.

【詳解】（1）解：空白部分的面積=邊長為c的正方形的面積-2個直角三角形的面積

2,1,

=c-2x—ab,

2

,.,?=4,6=6,

???空白部分的面積=42+62-2x（x4x6=28；

故答案為：28.

（2）解：?.?折疊，

AF=AD=5,在中AF=5,AB=3,

BF=y/AF2-AB2=4

:.CF=BC-BF=AD-BF=5-4=1,

設所=尤，貝！=CE=CD-DE=3-x

在RtACEF中，EF2=CE2+CF2

.-.X2=（3-X）2+12

解得：x=g

答案第8頁，共13頁

IP￡F=|

11.C

【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題、垂線段最短，熟練掌握折疊的性質是解題關

鍵.先利用勾股定理可得8C=9,再根據折疊的性質可得CE=8C=9,從而可得

EF=9-CF,則當CF的值最小時，跖取得最大值，然后根據垂線段最短可得當

時，C尸的值最小，利用三角形的面積公式可求出CF的最小值，由此即可得.

【詳解】解：???在Rt/X/BC中，ZC=90°,AC=12,AB=15,

???BC=ylAB2-AC2=9，

由折疊的性質得：CE=BC=9,

：.EF=CE-CF=9-CF,

當CF的值最小時，EF取得最大值，

由垂線段最短可知，當CFLN8時，CF的值最小，

此時=

「廠

Cr=-A--C--B--C--=--1-2-x--9=——36,

AB155

369

???￡尸的最大值為9-

故選：C.

26

⑵(1)T

⑵5

【分析】本題主要考查了長方形的性質，勾股定理與折疊的問題，等角對等邊等知識.

(1)由長方體形的性質可知/。=5。=12,NB=90°,由勾股定理得出/C,由折疊的性

質可得出48'=/B=5,BE=B'E=n-CE,NAB'E=NB=90。,進一步可得出

B'C=AC-AB'=13-5=S,ZEB'C=90°,再利用勾股定理可得出夕序+39?=CE?,代入

求解即可得出CE.

(2)由長方體形的性質可知48=CD=6,AD=BC=13,AD//BC,ZC=90°,

。尸=4D-/斤=13-3=10,進而可得出=由折疊得/D斯=/BE尸，

B'E=BE,等量代換可得出ND底￡=由等角對等邊可得出DE=。尸=10,由勾股

定理可得出CE,進一步可得出2Z,最后根據線段的和差即可得出答案.

【詳解】(1)解：???四邊形488是長方形，48=5,AD=12,

答案第9頁，共13頁

；.4D=BC=12,ZB=90°,

???AC=>]AB2+BC2=A/52+122=13，

由折疊得NB'=/B=5,BE=B'E=n-CE,AAB'E=AB=90°,

.■.B'C=AC-AB'=13~5=8,ZEB'C=90°,

在Rt△即C中，B'E2+B'C2=CE2,

即(12-CE)2+82=C￡2

解得：CE=y

??.CE的長是

(2)解:?.?四邊形是長方形，AB=6,4D=13,AF=3,

AB=CD=6fAD=BC=T3,AD〃BC,ZC=90°,DF=AD-AF=13-3=10f

???NDFE=/BEF,

由折疊得NOE尸=/BE尸，B'E=BE,

???ZDFE=/DEF,

/.DE-DF=10,

在RtAEC。中，

CE=ylED?-CD。=A/102-62=8

:.B'E=BE=BC-CE=13-8=5,

:.B'D=DE-B'E=l0-5=5,

???87的長是5

13.D

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，勾股定理及其逆定理，根據線段垂直平分線的

性質得出ND,NE的長，利用勾股定理逆定理得出△/￡>￡是直角三角形，進而利用勾股定理

解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解題的關鍵.

【詳解】解：連接NDAE,

答案第10頁，共13頁

■■AB的垂直平分線交8C于點D,A