第17章勾股定理——重難點(diǎn)

內(nèi)容范圍：17.1?17.2

?重難點(diǎn)知識導(dǎo)航

勾股定理

勾股定理勾股定理勾股定理

勾股定理

的應(yīng)用與折疊的逆定理

?重難點(diǎn)知識剖析

知識點(diǎn)一：勾股定理

i.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+〃=/.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。斗〃=。2的變形有：a=,6=朽方及c=

（4）由于。2+〃=°2>/,所以C〉。，同理即直角二角形的斜邊大于該直角二角形中

的每一條直角邊.

2.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法,

然后再利用面積相等證明勾股定理.（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一

個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

3.勾股定理簡單應(yīng)用形式

（1）已知直角三角形任意兩邊，求第三邊；

（2）已知直角三角形任意一邊，確定另外兩邊的數(shù)量關(guān)系；

（3）構(gòu)造方程或方程組計算與直角三角形有關(guān)的長度、高度、距離、面積等問題；（4）證

試卷第1頁，共10頁

明含有平方關(guān)系的幾何問題;

典例精講例L

1.如圖，在△4BC中，4=90。，分別以”，8c為邊在△4BC外側(cè)作正方形NADE和正

方形BCFG,再以NC為斜邊在△/3C外側(cè)作RM/C”,若/8=1,CH=2a,則圖中陰

A.10B.5+V6C.25+V6D.5+2指

例2.

2.如圖，在△/BC中，AD1BC.

(2)當(dāng)48=8,BC=6,NC=2而時，求的值.

Q變式訓(xùn)練

3.如圖，△4BC和AERC為等腰直角三角形，NACB=NECF=90°,已知點(diǎn)￡在48上,

連接B尸.

(1)若不添加輔助線，請在圖中找出一對全等三角形并證明其全等;

試卷第2頁，共10頁

(2)若4E=1,//EC=105。，求BE的長.

4.(1)如圖1是著名的趙爽弦圖，用四個全等的直角三角形拼成如圖的大正方形ABCD和

小正方形EFGH.已知較長的直角邊長為。，較短的直角邊長為匕，斜邊長為c,利用面積

法等可以推導(dǎo)出勾股定理，請寫出推理過程.

(2)如圖2,在一條公路48的一側(cè)有一村莊C,公路邊有兩個停靠站/,B,在公路邊再

建一個?？空尽?，使村莊C到停靠站。的距離最短.經(jīng)測量/C=5km,CD=4km.

①求停靠站A與。之間的距離停靠站A與。之間的距離；

②經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)停靠站5到村莊C和?？空続的距離相等，求?？空?到村莊。的距離.

圖2

知識點(diǎn)二：勾股定理的應(yīng)用

1.勾股定理的應(yīng)用

(1)在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

(2)在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，

關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)

用.

(3)常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線

段的長度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊

為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題.

解決問題的思路：畫圖一尋找或構(gòu)造直角三角形一用勾股定理求解.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個

正整數(shù)的直角三角形的斜邊.

2.平面展開-最短路徑問題

(1)平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之

試卷第3頁，共10頁

間的最短路徑.一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題.

(2)最短路徑問題的方法

①解決立體圖形中最短距離問題的關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線

展開，轉(zhuǎn)化為平面問題后，借助“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，進(jìn)而構(gòu)造直角三角

形，借助勾股定理求解.

②平面圖形的最短路徑通常是作軸對稱變換，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的模型來解決問

題.

③最短路徑常見的模型：

常見的有圓柱體的展開、長方體的展開、樓梯的展開、繞繩的展開和將軍飲馬模型、“造橋

選址”模型、費(fèi)馬點(diǎn)等，如圖.

在典例精講

例1.

5.如圖，教室墻面尸與地面/8CD垂直，點(diǎn)尸在墻面上，若尸/=舊米，”=2米,

點(diǎn)尸到/尸的距離是3米，一只螞蟻要從點(diǎn)尸爬到點(diǎn)B,它的最短行程是()米

C.V13D.3

例2.

6.閱讀下列材料，回答問題.

社區(qū)公園里新安裝了一架秋千，小白對秋千的高度產(chǎn)生了興趣，星期天他和朋友一起帶著卷

試卷第4頁，共10頁

尺到公園測量秋千的高度，他設(shè)計如下的測量方案：

步驟一：測得秋千靜止時的底端E與地面的距離BE=0.8m；

步驟二：如圖，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的繩索被拉直，測得此時秋千底端

離地面的高度CD=l.lm,再測得小白站立處與秋千靜止時的水平距離5C=1.5m.

(1)若設(shè)秋千的高度=則m(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)根據(jù)上述測量方案和數(shù)據(jù)，求秋千的高度

Q變式訓(xùn)練

7.在海平面上有B,C三個標(biāo)記點(diǎn)，C為燈塔，港口/在燈塔C的北偏西55。方向上,

港口/與燈塔C的距離是40海里；港口3在燈塔C的南偏西35。方向上，港口8與燈塔C

的距離是30海里，一艘貨船將從/港口沿直線向港口8運(yùn)輸貨物，貨船的航行速度為10

海里/小時.

(1)貨船從港口A航行到港口B需要多少時間；

(2)為了保障航行的安全，C處燈塔將向航船發(fā)送安全信號，信號有效覆蓋半徑為25海里,

這艘貨船在由港口N向港口8運(yùn)輸貨物過程中，為保證安全航行，貨船接收燈塔的安全信

號時間不低于1小時才符合航行安全標(biāo)準(zhǔn).請問這艘貨船在本次運(yùn)輸中是否符合航行安全標(biāo)

準(zhǔn)，并說明理由？

8.【問題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，老師提出如下問題：一個三級臺階，它每一級的長、寬、高分別

為20、3、2,A和8是一個臺階兩個相對的端點(diǎn).

試卷第5頁，共10頁

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到8點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿

著臺階爬到8點(diǎn)的最短路程是多少？

（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長

為20.寬為15的長方形，連接42,經(jīng)過計算得到長度為,就是最短路程.

【變式探究】

（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm,高是8cm,若螞蟻從

點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)3,則螞蟻爬行的最短距離為

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處

有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點(diǎn)8處，則螞

蟻從外壁3處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計）（畫出示意圖并進(jìn)行

計算）

知識點(diǎn)三：勾股定理與折疊問題

1.解決折疊問題的基本思路：

①注意尋找折疊前后不變的量一邊與角；

②已知與所求的量一般集中在一個直角三角形中；

③利用勾股定理構(gòu)建方程求解.

2.折疊問題中常見的幾何模型：

試卷第6頁，共10頁

立典例精講

例1.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是。(。期，40,4),5(6,0),

點(diǎn)C、。分別在邊。4、AB上,將A/。沿直線C￡＞折疊，點(diǎn)A恰好落在08邊的中點(diǎn)H處,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

例2.

10.如圖1,四個全等的直角三角形拼成一個大正方形，中間空白部分也是正方形.已知直

角三角形的兩直角邊長分別為。，以斜邊長為J課堂上，老師結(jié)合圖形，用不同的方式表

示大正方形的面積,證明了勾股定理/+62=02.

ab

b

a

ba

圖1

(1)現(xiàn)將圖1中的兩個直角三角形向內(nèi)翻折，得到圖2.若a=4,6=6,則空白部分的面積

為

⑵如圖3,長方形/BCD沿/￡折疊，使點(diǎn)。落在邊2C上的點(diǎn)尸處.若3=5,AB=3,

試卷第7頁，共10頁

求斯的長.

o變式訓(xùn)練

11.如圖，在中，ZC=90°,AC=12,48=15,將邊8c沿翻折，點(diǎn)B落在

點(diǎn)E處，連接CE交4B于點(diǎn)R則斯的最大值為()

12.學(xué)完了勾股定理相關(guān)知識，王老師帶領(lǐng)大家研究長方形紙片的折疊問題.大家知道，長

方形的對邊相等，對邊平行，四個角都是直角，即長方形/BCD中，

ZA=/4BC=NC=/4DC=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,AB//CD.

請你運(yùn)用所學(xué)知識，解決下

圖2

面的問題：

(1)如圖1,長方形紙片ABC。中，48=5,AD=12,將紙片折疊，使N8落在對角線/C

上，折痕為/￡(點(diǎn)￡在邊8c上)，點(diǎn)3落在點(diǎn)夕處，求CE的長度；

(2)如圖2,有一張長方形紙片48。，AB=6,AD=U,尸為邊上一點(diǎn)，AF=3,E

為5c上一點(diǎn).將紙片折疊，折痕為斯，使點(diǎn)8恰好落在線段初上的點(diǎn)"處，點(diǎn)/落在

點(diǎn)H處.求線段WD的長度.

知識點(diǎn)四：勾股定理的逆定理

An

勾股定理的逆定理

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,C滿足。2+〃=02,那么這個三角形就是

試卷第8頁，共10頁

直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

2、運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其

他已知條件來解決問題.注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三

條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角

三角形；否則不是.

3、勾股定理逆定理應(yīng)用形式

(1)已知三角形三邊的長度，判斷三角形的形狀；

(2)在圖形中尋找與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)；

(3)在網(wǎng)格中判斷直角或直角三角形；

(4)求某些不規(guī)則圖形的面積.

在典例精講

例1.

13.如圖，已知△NBC中，的垂直平分線交8c于點(diǎn)。，/C的垂直平分線交于點(diǎn)

，DE=2,sc=|,則NC的長為（）

C3A/5D3屈

'~2~'2

例2.

14.如圖，正方形網(wǎng)格中的△4BC,若小方格邊長為1,

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(1)判斷△4BC是否為直角三角形？

(2)求△/BC最長邊上的高？

Q變式訓(xùn)練

15.如圖，在中，Z5=9O°,/C=12,點(diǎn)。為邊NC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊8C上,

連接。E.

(1)若DE=2。,CE=4小,求ACDE的面積；

(2)若N8=6,EDA.AC,求CE的長.

16.如圖，在一條河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點(diǎn)B.其中=因

建設(shè)新農(nóng)村需要，由C到8的道路另作他用，不再通行.該村為方便村民取水決定在河邊

新建一個取水點(diǎn)P(4P,3在一條直線上)，并新修建一條道路CP,建成后經(jīng)測量得到相

關(guān)數(shù)據(jù)/C=26km,CP=24km,4P=10km.某校數(shù)學(xué)項目式小組嘗試解決以下問題，請你

(1)任務(wù)一：在每千米道路造價相同的前提下，試說明道路CP設(shè)計方案的成本最低;

(2)任務(wù)二：求修建后的路線CP比原來的路線縮短了多少千米.

試卷第10頁，共10頁

1.c

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理可得/。2=/爐+82=25,即得

S正方物BDE+S正方形BCFG=+BC~=25,進(jìn)而由S陰影=S正方形0B0E+S正方形BCFG+^^ACH即可求解，

掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?/”=90,AH=\,CH=2屈,

222

：.AC=AH+CH'=1+(2n『=25,S^ACH=^AHCH=|xlx276=a,

"ABC=90°,

■■AB2+BC2=AC2=25,

,正方私曲+$正方形BCFG=4B-+BC?=25,

S陰影=S正方物皿E+S正方形BCFG+S：=25+V6,

故選：C.

2.(1)證明見解析；

⑵ND=46；

【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關(guān)證明和計算及解二元一次方程組，熟練掌

握和運(yùn)用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

(1)在和R"。。中，分別運(yùn)用勾股定理可得/京=43+臺加，

AC2=AD2+CD2,利用/。邊相等，聯(lián)立兩式移項即得證.

(2)根據(jù)第一問的結(jié)論，可求出的值，利用平方差公式，結(jié)合8C=3D+CD=6,

可求得3O-C。，而2￡>+CD=6,由此可求得3D、CD,由勾股定理即可求出4D.

【詳解】(1)證明：??,AD1BC,

在RtZUBD和Rt“DC中，根據(jù)勾股定理得，

AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2,

AB2-BD2=AD2=AC2-CD2,

移項得：AB2-AC2=BD2-CD2.

^AB2-AC2=BD2-CD2.

(2)解：???AB2-AC2=BD--CD2,AB=%,AC=2屈

BD2-CD2=AB2-AC2=82-(2V13)2=64-52=12,

答案第1頁，共13頁

BD2-CD2=(BD+CD^BD-CZ>)=12,

BC=6,^BD+CD=6,

：.BD-CD=2,

\BD+CD=6[BD=4

"[BD-CD=1'解得jcD=2，

■■■/r>2=4g2一切=82-42=64-16=48,

AD=4日

3.("AEC咨ABFC,證明見解析

⑵百

【分析】(1)由ZUgC和AEFC為等腰直角三角形，ZACB=ZECF=90°,得/C=3C,

EC=FC,ZACE=ZBCF=90°-ZBCE,即可根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明

A.AEC^ABFC；

(2)過點(diǎn)E作EGLNC于點(diǎn)G,則NGEN=NN=45。，ZGCE=1800-ZAEC-ZA=30°,

所以/G=EG,CE=2EG,根據(jù)勾股定理求得NG,CE的長，再由勾股定理求得CG,AC

的長，從而得到48,利用8￡=48-/E求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：圖中附48尸C,證明如下：

VdBC和AEFC為等腰直角三角形，NACB=ZECF=90°,

:.AC=BC,EC=FC,ZACE=ZBCF=90°-ZBCE,

在△4EC和△2FC中，

'AC=BC

<NACE=NBCF,

EC=FC

:."EC咨ABFC(SAS)；

(2)過點(diǎn)E作EGL/C于點(diǎn)G,

答案第2頁，共13頁

則//GE=/CG￡=90。，

vAAEC=105°,/A=/CBA=45。，

ZGEA=ZA=45°,ZGCE=180°-NAEC-ZA=30°f

:.AG=EG,CE=2EG,

222

\-AG+EG=AE9AE=1,

2AG2=12,

/.AG=EG=---

2

CE=2x=\pl,

2

AC=AG+CG當(dāng)+當(dāng)

AB=^AC2+BC2=yj2AC2=42AC=收x（近46}=1+6,

122J

:.BE=AB-AE=l+M-l=6

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中

30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題

的關(guān)鍵.

25

4.(1)見解析；(2)①停靠站A與。之間的距離為3km；@—km

o

【分析】本題考查勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用：

(1)根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個直角三角形的面積即可得證；

(2)①直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；②設(shè)N8=3C=x,在RMHDC中利用勾股定理

進(jìn)行求解即可.

71

【詳解】解：(1)由圖可知：c2=(a-by+4x-ab=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2；

(2)①村莊。到?？空?。的距離最短，

：.CDLAB,

vAC=5km,CD=4km,

???AD=ylAC2-CD2=3km；

答案第3頁，共13頁

答：?？空続與。之間的距離為3km；

②設(shè)/8=8C=xkm,貝!J：BD—(x—3)km,

在RtACDB中，BC2=BD2+CD2,

則:X2=(X-3)2+42,

25

解得：x=1；

6

25

答：?？空?到村莊C的距離為rkm.

6

5.A

【分析】本題考查平面展開一最短路徑問題及勾股定理的應(yīng)用，可將教室的墻面/DE尸與

地面展開，連接尸3,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可.正確利用立

體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長來進(jìn)行解決是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過P作PGJ.5尸于G,連接尸3,

此時PB的長為這只螞蟻從點(diǎn)P爬到點(diǎn)3的最短行程,

?.?尸9=布米，月3=2米，點(diǎn)尸到/月的距離是3米,

.?.PG=3米，

■■AG=ylPA2-PG2=J[V13)2-32=2(米)，

：.BG=GA+AB=2+2=4(米)，

；?PB="笈+PG?="2+32=5(米)，

??.這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是5米.

故選：A.

6.(l)(x-0.8)

(2)秋千的高度為4.7m

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：

(1)根據(jù)40=NE=4B-BE即可求解；

(2)過點(diǎn)。作。尸_L/8,利用勾股定理解RtA/DF即可.

答案第4頁，共13頁

【詳解】（1）解：由題意得，AD=AE=AB-BE=（x-0.8）m,

故答案為：（x-0.8）；

（2）解：過點(diǎn)。作。尸，4B,垂足為尸，

則。尸=8C=1.5,BF=CD=1.1,

AF+BF=AB,

/.AF=AB-BF=x-\A,

在R3/。尸中,N4FD=90。，

AF2+DF2=AD2,

即(龍一Liy+l.52=(x-0.8『，

解得：x=4.7,

答：秋千的高度43為4.7m.

7.（1）5小時

（2）符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及方位角的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確掌

握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

（1）先得出/8。4=180。-35。-55。=90。，結(jié)合勾股定理列式/g=J/C?+&<=50（海

里），因為貨船的航行速度為20海里/小時，貝/=4=2.5（小時），即可作答.

（2）先在AB上取兩點(diǎn)N使得CM=CN=25海里，S^c=^AC-BC=^AB-CD,

分別算出CD,。州的長度，然后結(jié)合等腰三角形的三線合一，得出九亞=2。河=14海里，

因為貨船的航行速度為10海里/小時，則％=需=1.4（小時），即可作答.

【詳解】（1）解：???港口N在燈塔C的北偏西55。方向上，港口/與燈塔C的距離是40海

里；港口3在燈塔C的南偏西35。方向上

ZBCA=180°-35°-55°=90°,

?.?港口/與燈塔C的距離是40海里，港口5與燈塔C的距離是30海里

答案第5頁，共13頁

AB=y]AC2+BC2-50(海里),

???貨船的航行速度為10海里/小時

1=5（小時）,

答：貨船從/港口到2港口需要5小時;

（2）答：這艘船在本次運(yùn)輸中符合航行安全標(biāo)準(zhǔn)，理由如下:

如圖：過C作CD_L48交N8于。,

在43上取兩點(diǎn)M,N使得CM=CN=25海里

?;S?=-AC-BC=-AB-CD,

△HAOC227

iACBC40x30

CD=-----------=----------=24（海里）,

AB50

??DM=4CM1-CD1=7(海里),

CM=CN,

.?.△CMN是等腰三角形

CD1AB

：.MN=2DM=

MN一/3、

???4=工^-=1.4(小時)

二這艘貨船在本次運(yùn)輸中符合航行安全標(biāo)準(zhǔn).

8.(1)25(2)17cm(3)10cm

【分析】本題考查了平面展開圖一最短路徑問題，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思

想解決問題.

（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可;

（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可;

答案第6頁，共13頁

(3)從玻璃杯側(cè)面展開，作8關(guān)于EG的對稱點(diǎn)C,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知NC的長度

即為所求，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：(1)由題意得4g=J152+202=25，

故答案為：25；

(2)將圓柱體展開，由題意得

AB=M+15?=17cm>

故答案為：17cm；

(3)如圖，

從玻璃杯側(cè)面展開，作8關(guān)于EG的對稱點(diǎn)C,作交/￡延長線于點(diǎn)。，連接NC

交EG于點(diǎn)尸，

BF=CF,OE=CG=BG=lcm,

AF+BF=AF+CF=AC,

'：AD=9-4+DE=5+1=6cm,CD=16+2=8cm

AC=y/CD2+AD2=A/82+62=10cm，

???螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是10cm.

【分析】本題考查圖形與坐標(biāo)，涉及折疊性質(zhì)、勾股定理及解方程等知識，先由折疊性質(zhì)得

到C4=C4，，設(shè)OC=x,則C/'=C4=4-x,在Rt^COH中，由勾股定理列方程求解即可

得到答案，熟記折疊性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將沿直線CD折疊，點(diǎn)A恰好落在02邊的中點(diǎn)4處，

，由折疊性質(zhì)可知，CA=CA',

???4(0,4),2(6,0),

:.OA=4,OA'=-OB=3,

2

答案第7頁，共13頁

設(shè)OC=x,貝i|C4'=C4=4-x,

在Rt^CCW中，由勾股定理可得=即/+32=（4-x『，

7

/.8x=7,角牟得x=7，

o

,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

故答案為：

10.（1）28

⑵EF=：

【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)空白部分的面積=邊長為c的正方形的面積-2個直角三角形的面積

=c2-2x-ab,即可求解；

2

（2）根據(jù)勾股定理求得出?=斤2_&g2=4,進(jìn)而設(shè)￡F=x,則。E=￡F=x,

CE=CD-DE=3-x,在RtZ\CE尸中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解.

【詳解】（1）解：空白部分的面積=邊長為c的正方形的面積-2個直角三角形的面積

2,1,

=c-2x—ab,

2

,.,?=4,6=6,

???空白部分的面積=42+62-2x（x4x6=28；

故答案為：28.

（2）解：?.?折疊，

AF=AD=5,在中AF=5,AB=3,

BF=y/AF2-AB2=4

:.CF=BC-BF=AD-BF=5-4=1,

設(shè)所=尤，貝！=CE=CD-DE=3-x

在RtACEF中，EF2=CE2+CF2

.-.X2=（3-X）2+12

解得：x=g

答案第8頁，共13頁

IP￡F=|

11.C

【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題、垂線段最短，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.先利用勾股定理可得8C=9,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CE=8C=9,從而可得

EF=9-CF,則當(dāng)CF的值最小時，跖取得最大值，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)

時，C尸的值最小，利用三角形的面積公式可求出CF的最小值，由此即可得.

【詳解】解：???在Rt/X/BC中，ZC=90°,AC=12,AB=15,

???BC=ylAB2-AC2=9，

由折疊的性質(zhì)得：CE=BC=9,

：.EF=CE-CF=9-CF,

當(dāng)CF的值最小時，EF取得最大值，

由垂線段最短可知，當(dāng)CFLN8時，CF的值最小，

此時=

「廠

Cr=-A--C--B--C--=--1-2-x--9=——36,

AB155

369

???￡尸的最大值為9-

故選：C.

26

⑵(1)T

⑵5

【分析】本題主要考查了長方形的性質(zhì)，勾股定理與折疊的問題，等角對等邊等知識.

(1)由長方體形的性質(zhì)可知/。=5。=12,NB=90°,由勾股定理得出/C,由折疊的性

質(zhì)可得出48'=/B=5,BE=B'E=n-CE,NAB'E=NB=90。,進(jìn)一步可得出

B'C=AC-AB'=13-5=S,ZEB'C=90°,再利用勾股定理可得出夕序+39?=CE?,代入

求解即可得出CE.

(2)由長方體形的性質(zhì)可知48=CD=6,AD=BC=13,AD//BC,ZC=90°,

。尸=4D-/斤=13-3=10,進(jìn)而可得出=由折疊得/D斯=/BE尸，

B'E=BE,等量代換可得出ND底￡=由等角對等邊可得出DE=。尸=10,由勾股

定理可得出CE,進(jìn)一步可得出2Z,最后根據(jù)線段的和差即可得出答案.

【詳解】(1)解：???四邊形488是長方形，48=5,AD=12,

答案第9頁，共13頁

；.4D=BC=12,ZB=90°,

???AC=>]AB2+BC2=A/52+122=13，

由折疊得NB'=/B=5,BE=B'E=n-CE,AAB'E=AB=90°,

.■.B'C=AC-AB'=13~5=8,ZEB'C=90°,

在Rt△即C中，B'E2+B'C2=CE2,

即(12-CE)2+82=C￡2

解得：CE=y

??.CE的長是

(2)解:?.?四邊形是長方形，AB=6,4D=13,AF=3,

AB=CD=6fAD=BC=T3,AD〃BC,ZC=90°,DF=AD-AF=13-3=10f

???NDFE=/BEF,

由折疊得NOE尸=/BE尸，B'E=BE,

???ZDFE=/DEF,

/.DE-DF=10,

在RtAEC。中，

CE=ylED?-CD。=A/102-62=8

:.B'E=BE=BC-CE=13-8=5,

:.B'D=DE-B'E=l0-5=5,

???87的長是5

13.D

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，根據(jù)線段垂直平分線的

性質(zhì)得出ND,NE的長，利用勾股定理逆定理得出△/￡>￡是直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理

解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接NDAE,

答案第10頁，共13頁

■■AB的垂直平分線交8C于點(diǎn)D,A