專題13隱圓問題3種模型

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現方式：（1）定點定長：當遇到同一個端點出發的等長線段時，通常以這個端點為圓心，

等線段長為半徑構造輔助圓；（2）定弦定角：當遇到動點對定點對定線段所張的角為定值時，通常把張角

轉化為圓周角構造輔助圓。當遇到直角時，通常以斜邊為直徑構造輔助圓。（3）四點共圓：對角互補的四

邊形的四個頂點共圓。隱圓常與線段最值結合考查。

類型1:定點定長

1.（2023?新城區校級三模）圓的定義：在同一平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

（1）已知：如圖1,OA=OB=OC,請利用圓規畫出過A、B.C三點的圓.若NAOB=70。，則NACB=

35°.

如圖，RtAABC中，ZABC=90。，ZBC4=3O。，AB=2.

（2）已知，如圖2.點P為AC邊的中點，將AC沿54方向平移2個單位長度，點A、P、C的對應點分

別為點E、F,求四邊形5DPC的面積和4E4的大小.

（3）如圖3,將AC邊沿3c方向平移。個單位至DF,是否存在這樣的使得直線DF上有一點。，滿

足/304=45。且此時四邊形5位加的面積最大？若存在，求出四邊形54/3F面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說明理由.

【分析】（1）利用圓的定義知A,B,C三點共圓，再利用圓周角定理求解.

（2）根據圖形的平移性質，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計算方式和方法，角度問題也迎刃而解.

（3）因角度不變，借助圓周角定點在圓周上運動時角度不變的思想，判斷出。點能夠向右移動的最大距離，

求出四邊形的最大面積.

【解答】（1）以O為圓心，為半徑作輔助圓，如圖，

?.-ZAC?=70°,

:.ZACB=35°,

故答案為35。.

(2)連接PB,PE,如圖,

RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

:.AC=4,ABAC=60°,BC=20

?.?尸為RtAABC斜邊AC中點，

:.BP=-AC=2,

2

線段AC平移至IJDF之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

.?.四邊形的E為菱形，

?.?NR4C=60。，

.-.ZB￡A=30°,

-,-CF//BD,且ZABC=90°,

四邊形BDFC為直角梯形，

:.S=g(BD+CF)xBC=gx6義26=64,

(3)如圖所示，以AB為斜邊在AB的右側作等腰直角三角形。鉆，以。為圓心,為半徑作G)O,

當AC邊沿3c方向平移a個單位至DF時,

滿足NBQA=45。且此時四邊形BADF的面積最大，

直線DF與相切于點。，

連接。。交仞于G,過點。作于4，

則ZA/TO=NO〃G=ZDQG=90°,NOW=45°,ZGDQ=30°,

■.■ZABC=90°,ZBG4=30°,AB=2,

BC=2A/3fOA=OB=OQ=>/2,

.-.AH=OH=1,HG=~,0G=—,

33

...GQ=0一竿，DG=2GQ=2也一當,

:.AD=AH+HG+GD=l+-+2.y/2--=l+2yj2-y/3,

33

a=1+2^/2-y/3,

此時直角梯形ABFD的最大面積為：

5=-X（BF+AD）XA5=-X（2A/3+1+2^-A/3+1+2A^-^）X2=4^+2.

22

【點評】本題主要考查圖形的平移，圓心角，圓周角之間的關系，解題的關鍵是數形結合，找到極值點求

解.

2.（2024?蘭州模擬）綜合與實踐

【問題情境】在數學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在AA5c中，AB=AC,N54C=90。，點。為平面內一點（點A,B,。三點不共線），AE為

AABD的中線.

【初步嘗試】（1）如圖1,小林同學發現：延長AE至點使得旌=隹，連接DM.始終存在以下兩

個結論，請你在①，②中挑選一個進行證明：

?DM=AC；②NMZM+NZMB=180。；

【類比探究】（2）如圖2,將4）繞點A順時針旋轉90。得到鉆，連接CF.小斌同學沿著小林同學的思考

進一步探究后發現：AE^-CF,請你幫他證明；

2

【拓展延伸】（3）如圖3,在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點。在以點A為圓心，4）為半

徑的圓上運動（AO>A3）,直線袒與直線CF相交于點G,連接BG,在點。的運動過程中BG存在最大

值.若鈣=4,請直接寫出3G的最大值.

【分析】（1）利用&4S證明AA5E三AMDE,可得=再結合AB=AC,即可證得DW=AC；由全

等三角形性質可得ZBAE^ZDME,再運用平行線的判定和性質即可證得ZMDA+Z.DAB=180°；

（2）延長>!￡1至點使得=連接DM.利用S4S證得AACF=ADM4,可得CF=AW,再由

AE^-AM,可證得AE=1CF；

22

（3）延長ZM至使AM=AD,設40交CF于N,連接血/交CF于K,取AC中點P,連接GP,

可證得AACFMA/WMGSAS）,利用三角形中位線定理可得AEV/BAf,即AG//5M,利用直角三角形性質

可得GP=LAC=^AB=2,得出點G在以P為圓心，2為半徑的O尸上運動，連接3P并延長交。尸于GL

22-

可得3G的長為3G的最大值，再運用勾股定理即可求得答案.

【解答】(1)證明：①:AE為AABD的中線，

:.BE=DE,

在AABE和AMDE中，

BE=DE

<ZAEB=/MED,

AE=ME

\ABE=^MDE(SAS),

:.AB=DM,

\-AB=AC,

:.DM^AC\

②由①知AABE二AMDE,

:.ZBAE=ZDME,

:.AB//DM,

.-.ZMZM+ZZMB=180°；

(2)證明：延長AE至點M,使得血石二鉆，連接。M.

由旋轉得：AF=AD,ZDAF=90°,

?/ABAC=90°,ZDAF-^-ZBAC+ZBAD+ZCAF=360°,

ZBAD-^-ZCAF=180°,

由(1)②得：ZMZM+ZZMB=180。，DM=AB=AC,

ZCAF=ZMDA,

在AACF和AQM4中，

AF=AD

<ZCAF=ZMDA,

AC=DM

,\AACF=ADMA(SAS)f

:.CF=AM,

AE=-AM,

2

:.AE^-CF；

2

(3)如圖3,延長ZM至M,使=設AM交CF于N,連接B/0交CF于K,取AC中點尸，連

接GP,

由旋轉得：AF^AD,ZDAF=90°,

:.AF=AM,ZMAF=180°-90°=90°,

za4c=90°,

ZMAF+Z.CAM=ZBAC+ZCAM,

即ZCAF=NBAM,

在AACF和MBM中，

AC=AB

<ZCAF=/BAM,

AF=AM

AACF=^ABM(SAS),

:.ZAFC=ZAMB,HPZAFN=AKMN,

■：ZANF=ZKNM,

:.ZFAN=ZMKN=90°,

?:E、A分別是DB、DM的中點，

:.AE是MDM的中位線，

AE!IBM,即AG/IBM,

:.AG^CF,

，ZAGC=90°,

?.?點P是AC的中點，

:.GP=-AC=-AB=2,

22

.?.點G在以P為圓心，2為半徑的0尸上運動，

連接BP并延長交0尸于G，,

.?.3G的長為3G的最大值，

在RtAABP中，BP=4AB2+4尸=勿+*=2卮

BG'=BP+PG'=2行+2,

.?.3G的最大值為2石+2.

【點評】本題是幾何綜合題，考查了三角形的全等的性質與判定，兩直線垂直的判定，三角形中位線定理，

勾股定理，圓的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關鍵.

3.（2022?番禺區二模）已知拋物線>="2+法一5m>0）與x軸交于點人，3兩點，OA<OB,AB=4.其

頂點C的橫坐標為-1.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設點。在拋物線第一象限的圖象上，OELAC垂足為E,。///、軸交直線AC于點尸，當ADEF面

積等于4時，求點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，點M是拋物線上的一點，M點從點3運動到達點C,FM工FN交直線BD于點、N,

延長與線段DE的延長線交于點"，點尸為N,F,〃三點構成的三角形的外心，求點尸經過的路線

長.

【分析】（1）利用對稱性，求得A和3的坐標，然后用待定系數法求得拋物線的解析式；

（2）證明ACG4和ADEF都為等腰直角三角形，利用等面積法求得DF=4,再求得直線AC的解析式為

y=x-l,設點。的坐標，得到點尸的坐標，然后求解即可；

（3）先求得ZSDF=45。,推出點尸的運動路徑時四修的中點繞點/逆時針旋轉90。得到乂打的中點之間

的弧長，證明四邊形尸E為正方形，即可求解.

【解答】解：（1）,.,點A,點B兩點關于直線x=—1對稱，AB=4,

.?.A(l,0),B(-3,0),

.3

代入,=加+"-3得'

3

a+b——=0r1

.2,解得：

9a-3b——=0b=l

[2i

拋物線的解析式為y=^x2+x-^.

(2)如圖1所示：

D尸//>軸//GC,

:.ZGCA=ZDFE,

131

拋物線的解析式為y=y+xW(x+l)2_2,

頂點C(-l,-2),

A(1,O),

r.AG=2,CG=2,

.?.△CG4為等腰直角三角形,

:.ZGCA=ZDFE=45°,

DEYAC,

.?.ADEF為等腰直角三角形，

:.DE=EF,DF=y/2DE,

5Ao阱=gDE-EF=4,

DE=20,

.-.DF=>^X272=4,

設直線AC的解析式為y=^+6,則

<解得：El，

[~k+b=-2\b=-1

直線AC的解析式為y=x-l,

i3

設點￡>(%,—x123+x--),則F(x,x-1),

1311

/.DF=一犬9+%----(x-l)=—x92——=4,

2222

解得：x=3或％=—3(舍)，

.?.￡)(3,6),F(3,2).

(3)如圖2所示，

???NVFH是直角三角形，

/.ANFH的外心是斜邊N"的中點，

當點M位于點5時，△NHH],其外心是斜邊乜乂的中點，

當點M位于點。時，得AN?FE,其外心是斜邊乂心的中點，即?石的中點,

???0(3,6),5(-3,0),

3+3

/.tmZBDF=——=1,

6

二NBDF=45。，

由（2）得，NFDE=45。，

:.NDBA=NBAC=45。,

:.BD//AC,

:.FNLBD,

。尸平分ZBDE,ZBDE=90°,

:.點、D,N,F,H四點共圓，

.?.點P在線段OF的垂直平分線上，即點P在砥￡上運動，即點P的運動軌跡是一條線段.

ZDN2F=ZN2DH=NDHF=90°,FN2=FE,

四邊形DN2FE為正方形，

此時點尸在DF上，且5P=2；

當點M與點C重合時，此時點尸在。F上，即為外，且R=Eg=2,

由題意，BN2=BD-DN2=4,BF=2A/10,N2F=272,FN2//DH},

:MFN2s叢BH、D,

二"幺="，解得切=.，

BDBHX

FPX=A/5,

由勾股定理可得：片8=1，

即點P的運動軌跡長為1.

【點評】本題主要考查二次函數的綜合問題，包括待定系數法確定函數解析式，三角形外接圓的性質，弧

長公式，勾股定理，三角函數解直角三角形等，理解題意，作出相應輔助線是解題的關鍵.

4.（2021?紅谷灘區校級模擬）（1）學習心得：小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到有一些幾何

問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB^AC,NS4c=80。，。是AABC外一點，S.AD=AC,求NBDC的度數.若

以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓QA,則點C、。必在OA上，NS4c是OA的圓心角，而是圓

周角，從而可容易得到NBDC=40。.

（2）問題解決:

如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求44c的度數.

（3）問題拓展：

拋物線y=-；（x-l）2+3與y軸交于點A,頂點為3,對稱軸與x軸交于點C,點P在拋物線上，直線

尸Q//3C交x軸于點Q,連接2。.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，直角頂點。在8。上，另一頂點E在

尸。上，求。的坐標；

②若含30。角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點。在8。上，另一個頂點E在上，點。與點

3,點0不重合，求點P的坐標.

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

(2)由A、B、C、D共圓，得出=

(3)①先求出拋物線頂點的坐標，再由點。、C、Q、E共圓，得出NCQB=/OED=45。,求出CQ,再

求點。的坐標.

②分兩種情況，I、當30。的角的頂點與點C重合時，II、當60。的角的頂點與點C重合時，運用點。、C、

Q、E共圓，求出C。即點P的橫坐標，再代入拋物線求出點P的縱坐標，即可求出點P的坐標.

【解答】解：(1)-.-AB^AC,AD^AC,

以點A為圓心，點3、C、。必在Q4上，

?.?NBAC是OA的圓心角，而/加。是圓周角，

4c=40°,

2

(2)如圖2,

?:NBAD=NBCD=90。,

.?.點A、B、C、。共圓，

:.ZBDC=ZBAC,

?;NBDC=25°,

:.ZBAC=25°,

(3)①如圖3

?.?點3為拋物線y=1(x-l)2+3的頂點，

.?.點3的坐標為(1,3),

45。角的直角三角板如圖所示放置,其中，一個頂點與C重合，直角頂點。在8。上,另一頂點E在尸。上，

點。、C、Q、E共圓，

:.ZCQB=ZCED=45°,

：.CQ=BC=3,

:.OQ=4,

.?.點。的坐標為(4,0),

②如圖4,

I、當30。的角的頂點與點C重合時，

?.?直角三角板30。角的頂點與點C重合，直角頂點。在BQ上，另一個頂點E在PQ上

點。、C、Q、E共圓，

ZCQB=4CED=S。,

:.CQ=J^BC=0,

OQ=1+A/3,

.?.把1+若L代入y=—1(x-l)2+3^y=-9,

4'4

.,.點P的坐標是(1+代，:)

II、如圖5,

當60°的角的頂點與點C重合時，

?.■直角三角板60。角的頂點與點C重合，直角頂點。在BQ上，另一個頂點E在PQ上

:.點、D、C、Q、E共圓，

:.NCQB=NCED=30°,

CQ=y/3BC=3A/3,

OQ=1+3y/3,

.?.把1+36代入y=_工(>_1)2+3得丫=_"，

-44

...點/>的坐標是(1+36，-—)

4

綜上所述，點尸的坐標是(1+若，2)或(1+33，

44

【點評】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關鍵就是運用同弦對的圓周角相等.

類型2：定弦定角

1.(2022?雁塔區校級三模)問題提出

(1)如圖①，已知AABC為邊長為2的等邊三角形，則AABC的面積為出；

問題探究

(2)如圖②，在AABC中，已知NBAC=120。，BC=6^3,求AABC的最大面積；

問題解決

(3)如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形ABCD,其寬AB=20米，長3c=24米，為了能夠監控到

禮堂內部情況，現需要在禮堂最尾端墻面8上安裝一臺攝像頭〃進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端

墻面AB區域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發的觀測角/WB=45。，請你通過所學知識

進行分析，在墻面CD區域上是否存在點Af滿足要求？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)作于D,由勾股定理求出的長，即可求出面積；

(2)作zVU5c的外接圓O。，可知點A在3C上運動，當AO,3c時，AABC的面積最大，求出A"的長，

從而得出答案；

(3)以AB為邊,在矩形ABCD的內部作一個等腰直角二角形AOB,且NAQB=90。，過O作HG_LAB于H,

交CD于G,利用等腰直角三角形的性質求出CM,OG的長，則以。為圓心，為半徑的圓與CD相交,

從而上存在點滿足NAA/B=45。，此時滿足條件的有兩個點過/作又1，48于尸，作

于E,連接OP,利用勾股定理求出OE的長，從而解決問題.

【解答】解：(1)作AD,3c于。，

???A鉆C是邊長為2的等邊三角形，

AD=VAB2-BD2=E,

1l「

「.AABC的面積為—x2x真=占，

2

故答案為：6;

(2)作AA5C的外接圓。O,

ZBAC=120°,3c=66，

點A在8c上運動，

當AO_LBC時，AABC的面積最大，

:.ZBOA=60°,BH=CH=3上,

:.OH=3,03=6,

:.AH=OA-OH=6-3=3,

.?.人45。的最大面積為工*6-><3=9百；

2

(3)存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內部作一個等腰直角三角形403,且NAOB=90。，

過O作〃G_LAB于H,交CD于G,

?.?AB=20米，

，AH=08=10米，OA=1O0米，

?.?3C=24米，

.?.OG=14米，

10>/2>14,

.?.以。為圓心，為半徑的圓與CD相交，

;.OO上存在點滿足NWB=45。，此時滿足條件的有兩個點

過作“/_LAB于尸，作EO_LML于E,連接。尸，

，￡F=O”=10米，。叫=10魚米，

EM{=14米，

:.OE=8M；-Mg，=2米，

.?.CM=8/=8米，

同理CM=88+OE=10+2=12（米），

；.MC的長度為8米或12米.

【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，矩形的性質，等腰直角三角形的性質，勾

股定理，垂徑定理等知識，熟練掌握定角定邊的基本模型是解題的關鍵.

2.（2023?浦橋區校級模擬）問題提出：（1）如圖①，AABC為等腰三角形，ZC=120°,AC=BC=8,D

是的上一點，且8平分AABC的面積，則線段CD的長度為生

問題探究：（2）如圖②，AABC中，ZC=120°,AB=10,試分析和判斷AABC的面積是否存在最大值，

若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會

場旁規劃一個四邊形花圃ABCD,滿足3c=600米，CD=300米，ZC=60%ZA=60°,主辦方打算過3c

的中點M點（入口）修建一條徑直的通道ME（寬度忽略不計）其中點E（出口）為四邊形ABCD邊上一

點，通道"E把四邊形ABCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規劃成不同品種的花圃以供影迷

休閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請求出點A距出口的距離AE的長；若不存在，

請說明理由.

【分析】（1）由題意可知，8是zUBC的中線，利用等腰三角形的性質推出CDLAB,利用三角函數求解

即可解決問題;

(2)當AABC的AB邊上的高CD最大時，三角形A5c的面積最大，即C。過圓心O,連接AO.求出8

的最大值即可得出答案；

(3)連接DM,BD.首先證明NBDC=90。，求出班＞,推出ABDC的面積是定值，要使得四邊形ABCD

的面積最大，只要AABD的面積最大即可，因為為定值，為定角=60。，推出當AABD是等邊三角形

時，求出四邊形ABCD的面積最大值，然后再求出4/DE=90。，構建方程解決問題即可.

【解答】解：(1)如圖①，

?.?CD平分AABC的面積，

AD=DB,

?.?AC=BC=8,

:.CD±AB,ZACD=ZBCD=-ZACB=60°,

2

:.CD=ACcosZACD=8cos60°=4,

二.CD的長度為4,

故答案為：4；

(2)存在.如圖②，

■.■AB=10,NACB=120。都是定值，

.?.點C在AB上，并且當點C在的中點時，A45C的面積最大;

連接OC交AB于點。，則CD_LAB,AD=BD=-AB=5,

2

ZACD=-ZACB=60°,

2

AF)AD5A/3

tanZACZ)=——，CD=

CDtan60°r

S/\ABC△AB.CD=W

23

答：AABC的面積最大值是空8；

(3)存在.如圖③，連接DM,BD,

?.?加是3c的中點，

CM=-BC=300,

2

;.CM=CD,

又?.?"=60°,

/.\CMD是等邊二角形，

.?.ZMDC=NCMD=60。,CM=DM=BM,

,\ZCBD=ZMDB=30°,

.,.ZBDC=900,

BD=CD-tan60°=300百米，

在AABD中，BD=300百米，NA=60。為定值，

由（2）可知當=時，即AABD為等邊三角形時AABD的面積最大，

此時也為四邊形ABCD的最大值（ABDC的面積不變），

25+S…%。。><3。0鳳,（300同=1125。。6

AABD是等邊三角形，

.\ZADB=60°,

/.ZADM=ZADB+ZBDM=90°,

由S.MD+$kCDM=萬^max，得：

-Z）Ex300+—x3002=-xll2500^,

242

解得：DE=225也,

AE=AD-DE=300A/3-22573=75^（米），

答：點A距出口的距離AE的長為756米.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是理解題意構造輔助圓，靈活運用所學知識解決問題，難度較大，屬于中考壓軸題.

3.（2023?柯城區校級一模）如圖，點A與點5的坐標分別是（1,0）,（5,0）,點尸是該直角坐標系內的一個

動點.

（1）使NAPB=30。的點P有無數個;

（2）若點尸在y軸上，且NAPB=3O。，求滿足條件的點尸的坐標；

（3）當點P在y軸上移動時，/4PB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時NAPB最大的理由；

若沒有，也請說明理由.

【分析】（1）已知點A、點8是定點，要使NAP3=30。，只需點尸在過點A、點8的圓上，且弧回所對

的圓心角為60。即可，顯然符合條件的點P有無數個.

（2）結合（1）中的分析可知：當點尸在y軸的正半軸上時，點尸是（1）中的圓與y軸的交點，借助于垂

徑定理、等邊三角形的性質、勾股定理等知識即可求出符合條件的點P的坐標；當點P在y軸的負半軸上

時，同理可求出符合條件的點P的坐標.

（3）由三角形外角的性質可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要/4P3最

大，只需構造過點A、點3且與y軸相切的圓，切點就是使得/4PB最大的點P,然后結合切線的性質、

三角形外角的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識即可解決問題.

【解答】解：（1）以為邊，在第一象限內作等邊三角形ABC,

以點C為圓心，AC為半徑作℃,交y軸于點《、P2.

在優弧上任取一點P,如圖1,

則ZAP3=1ZACB=-*60。=30。.

22

使ZAPB=30°的點尸有無數個.

故答案為：無數.

（2）①當點P在y軸的正半軸上時，

過點C作CG_LAB,垂足為G,如圖1.

?.?點4（1,0）,點3（5,0）,

/.OA=1,OB=5.

:.AB=4.

,點C為圓心，CG_LAB,

AG=BG=-AB^2.

2

:.OG=OA+AG^3.

AABC是等邊三角形，

：.AC^BC=AB=4.

=2A/3.

.?.點C的坐標為（3,2月）.

過點C作CDLy軸，垂足為。，連接CR,如圖1,

?.?點C的坐標為（3,2君），

:.CD=3,OD=2A/3.

；6、舄是0c與y軸的交點，

.-.ZAF；B=ZA^B=30o.

CP2=CA=4,CD=3,

=142—32=幣.

?.?點c為圓心，CDLP{P2,

:.P\D=P、D=幣.

12V

,5(0,2A/3-A/7).4(0,2肉質.

②當點尸在v軸的負半軸上時，

同理可得：舄(0,-2右一近).Pg,-2出+不).

綜上所述：滿足條件的點尸的坐標有：

(0,273-77),(0,26+近)、(0,-2后-近)、(0,-273+77).

(3)當過點A、3的QE與y軸相切于點尸時，ZAPB最大.

2

理由：可證：ZAPB^ZAEH,當NAPS最大時，ZAEH最大.由sin/AEH=—得：當AE最小即PE最

AE

小時，ZAEH最大.所以當圓與y軸相切時，/4P3最大.

①當點尸在y軸的正半軸上時，

連接E4,作EH_Lx軸，垂足為H,如圖2.

。￡與y軸相切于點P,

:.PE±OP.

-,-EHYAB,OPYOH,

ZEPO=ZPOH=ZEHO=90°.

四邊形OPEH是矩形.

:.OP=EH,PE=OH=3.

/.EA=3.

\-ZEHA=90°,AH=2,EA=3,

:.p(o,6).

②當點尸在y軸的負半軸上時，

同理可得：尸(0,-喬).

理由:

①若點尸在y軸的正半軸上，

在y軸的正半軸上任取一點M（不與點P重合），

連接M4,MB,交QE于點N,連接N4,如圖2所示.

有是AAMN的外角，

:.ZANB>ZAMB.

ZAPB=ZANB,

:.ZAPB>ZAMB.

②若點尸在y軸的負半軸上，

同理可證得：ZAPB>ZAMB.

綜上所述：當點P在y軸上移動時，/4PB有最大值，

此時點尸的坐標為（0,6）和（0,-斯）.

【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質、矩形的判定與性質，切線的

性質、三角形外角性質等知識，綜合性強.同時也考查了創造性思維，有一定的難度.構造輔助圓是解決

本題關鍵.

類型3：四點共圓

1.（2022?中原區校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點

作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知AABC內接于OO,點P在OO上（不與點A,B,。重合），過點P分別作

AB,BC,AC的垂線，垂足分別為點D,E,F.求證：點D,E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

如圖（1）,連接尸3,PC,DE,EF,取尸C的中點。，連接0E.QF,

貝！|ETQ=F2=；PC=PQ=C0,（依據1）

?.?點E,F,P,C四點共圓，

ZFCP+ZFEP=180°.（依據2）

X-.-ZACP+ZABP=180°,

:.ZFEP=ZABP.

同上可得點3，D,P,E四點共圓,

任務：

(1)填空：

①依據］指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

②依據2指的是.

(2)請將證明過程補充完整.

(3)善于思考的小虎發現當點P是3c的中點時，BD=CF,請你利用圖(2)證明該結論的正確性.

【分析】(1)利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質和圓內接四邊形對角互補即可；

(2)利用直角三角形斜邊上中線的性質證明點E,F,P,C和點3,D,P,E四點分別共圓，再說

明/五EP+"￡P=180。，可證明結論；

(3)連接Q4,PB,PC,利用加證明RtAPBD三RtAPCF,從而得出結論.

【解答】(1)解：①依據1指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

②依據2指的是圓內接四邊形對角互補，

故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補；

(2)解：如圖(1),連接PB,PC,DE,EF,取尸C的中點。，連接。E.QF,

~2..........

:.點、E,F,P,C四點共圓，

ZFCP+ZFEP=180°,

又ZACP+ZABP=180°,

:.ZFEP=ZABP,

同上可得點3,D,P,E四點共圓，

:.ZDBP=ZDEP,

ZABP+ZDBP=180°,

:.ZFEP+ZDEP=180°,

:.點、D,E,尸在同一直線上；

(3)證明：如圖，連接上4,PB,PC,

,點P是8C的中點，

BP=PC,

:.BP=PC,ZPAD=ZPAC,

又_LAD,PF±AC,

:.PD=PF,

RtAPBD=RtAPCF（HL）,

:.BD=CF.

【點評】本題主要考查了四點共圓，以及圓內接四邊形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性

質等知識，證明RtAPBDvRtAPCF是解題的關鍵.

2.（2021?哈爾濱模擬）（1）【學習心得】

于彤同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以

使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB^AC,ABAC=90°,。是AABC外一點，且AD=AC,求NBDC的度數.若

以點A為圓心，AB為半徑作輔助則點C、。必在OA上，44C是0A的圓心角，而N3DC是圓周

角，從而可容易得到NBDC=45。.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,NBDC=25。,求44C的度數.

（3）【問題拓展】

如圖3,如圖，E,尸是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=D式.連接CF交于點G,連接

BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段D版長度的最小值是.

【分析】（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

（2）由A、B、C、。共圓，得出=

（3）根據正方形的性質可得AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,然后利用“邊角邊”證

明AABE和ADCF全等，根據全等三角形對應角相等可得4=N2,利用“5As”證明\ADG和\CDG全等，

根據全等三角形對應角相等可得N2=N3,從而得到N1=N3,然后求出“汨=90。，取AB的中點。，連

接OH、OD,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得0H」AB=l,利用勾股定理列式求出OD,

2

然后根據三角形的三邊關系可知當。、D、X三點共線時，的長度最小.

【解答】解：（1）如圖1,-.-AB=AC,AD=AC,

以點A為圓心，為半徑作圓A,點3、C、。必在0A上，

4c是OA的圓心角，而二或心是圓周角，

/.ZBDC=-ZBAC=45°,

2

故答案為:45；

(2)如圖2,取皮)的中點O,連接AO、CO.

\-ZBAD=ZBCD=90°,

.?.點A、B、。、。共圓，

,\ZBDC=ZBAC,

\ZBDC=25°,

.\ZBAC=25°,

(3)如圖3,在正方形ABCD中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,

在AABE和ADCF中，

AB=CD

<ZBAD=ZCDA,

AE=DF

:.^ABE^ADCF(SAS),

.*.Z1=Z2,

在AAZX7和ACDG中，

AD=CD

<ZADG=ZCDG,

DG=DG

:.\ADG=\CDG{SAS},

/.Z2=Z3,

/.Z1=Z3,

???ZBAH+N3=ZBAD=90°,

/.Zl+ZBAH=90°,

/.ZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中點O,連接O〃、OD,

則OH==

2

在RtAAOD中，ODuJaO+w=#+22=逐,

根據三角形的三邊關系，OH+DH>OD,

.?.當O、D、〃三點共線時，DH的長度最小,

最小值=OD—OH=—1.

（解法二：可以理解為點”是在RtAAHB,至直徑的半圓AB上運動當O、H、。三點共線時，DH長

度最小）

故答案為：也-1.

【點評】本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質以及勾股

定理等知識，難度偏大，解題時，注意輔助線的作法.

3.（2022?潢川縣校級一模）如圖1,點3在直線/上，過點3構建等腰直角三角形ABC,使N54c=90。，

且AB=AC,過點C