2025年九年級中考數(shù)學三輪沖刺練習二次函數(shù)與圓的綜合訓練

1.如圖1,拋物線y=a7+3辦(a為常數(shù)，a<0)與x軸交于。，A兩點，點8為拋物線的

頂點，點、D,￡坐標分別：為。G,0),<?<0),E(m,0)(相>0),連接并

延長與過。，A,8三點的O尸相交于點C.過點C作O尸的切線交x軸于點E.

(1)如圖1,①求點A的坐標.②求證：CE=DE；

(2)如圖2,連接AB,AC,BE,BO,若△O4B是等邊三角形，求拋物線的解析式.

(3)在(2)的條件下，當時，

①求證：AB2=AC-BE；

11

②求而一族的值.

2.如圖1,拋物線y=〃/+bx+c與天軸交于。、A(8,0)兩點，點B為拋物線的頂點,

連接08

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2,以點A為圓心，4為半徑作OA,點M在OA上.連接。M、BM,

①當△02M是以02為底的等腰三角形時，求點M的坐標；

②如圖3,取0M的中點N,連接8N,當點M在OA上運動時，求線段BN長度的取值

范圍.

圖1圖2圖3

3.如圖，己知拋物線y=x—2與x軸交于A,2兩點,交y軸于點C,以A3為直

徑作O。'，QO'經(jīng)過點C,連接AC,BC.

(1)求O。'的圓心。'的坐標；

(2)如圖1,點E是AC延長線上的一點，N2CE的平分線交O。'于點連接8D,

求直線的解析式.

(3)如圖2,在(2)的條件下，尸是O。'上一動點(不與B點重合)，連接8/，M是

2尸中點，連接。M,求。M的最大值.

4.如圖，拋物線y=o?+6x+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)

1

和(VH,一)兩點，點P在該拋物線上運動，以點尸為圓心的OP總經(jīng)過定點A(0,2).

16

(1)求a,b,c的值；

(2)求證：在點尸運動的過程中，圓心尸帶無軸的距離始終小于半徑；

(3)設(shè)OP與x軸相交于M(xi,0),N(X2,0)(xi<%2)兩點，當是以AM為

底邊的等腰三角形時，求圓心尸的縱坐標.

5.如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是(5,4),OM與y軸相切于點C,與x軸

相交于A、B兩點.

(1)分別求A、B、C三點的坐標；

(2)如圖1,設(shè)經(jīng)過A、8兩點的拋物線解析式為y=*Q—5)2+k,它的頂點為E,

求證：直線EA與OM相切；

(3)如圖2,過點M作直線PG〃y軸，與圓分別交于RG兩點，點尸為弧FB上任意

AP—BP

一點(不與3、尸重合)，連接FP、AP,印，BP的延長線于點N.請問------是否為

PN

定值，若為定值，請求出這個值，若不為定值，請說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=2/+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y

軸交于C點，且OB=OC=2Q4.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點M,使如果存在，求點M的坐標，如果不

存在，說明理由；

(3)若點。是拋物線第二象限上一動點，過點。作DFLx軸于點R過點A,B,。的

圓與。尸交于點E,連接AE,BE,求aABE的面積.

7.如圖，拋物線y=a/+6x+cQWO),與x軸交于A(4,0)、。兩點，點。(2,-2)為

拋物線的頂點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點￡為AO的中點，以點E為圓心、以1為半徑作OE,交無軸于8、C兩點，點

M為OE上一點.

①射線交拋物線于點P,若BM=&,求點P的坐標；

②如圖2,連接0M,取的中點N,連接。N,則線段ON的長度是否存在最大值或

最小值？若存在，請求出。N的最值；若不存在，請說明理由.

8.如圖，二次函數(shù)y=-x2+6x+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(3,0),點E為二次函數(shù)

第一象限內(nèi)拋物線上一動點，軸于點X,交直線BC于點R以所為直徑的圓OM

與BC交于點R.

(1)求b,c的值；

(2)當△EFR周長最大時，求此時E點坐標及周長；

(3)連接CE、BE,當△ERCs/XBRE時，求出E點坐標.

1

9.如圖，拋物線一x-4交無軸于A,8兩點，交y軸于點C,點尸是位于2,C之

間拋物線上的動點(包括2,C兩點)，點E是aAB尸的外接圓圓心.

(1)如圖1,若動點P為拋物線的頂點，求圓心E的坐標；

(2)如圖2,作軸于點"延長產(chǎn)打交OE于點。，連接外，PB.

AH-HB

①求證：f；一的值為定值；

HP

②如圖3,連接A。，BQ,記四邊形AP8Q,△APH,△80”的面積依次為S,Si,S2,

若滿足遮=+求此時點尸的坐標.

10.已知在以點2為原點、8。所在直線為X軸的平面直角坐標系中，圓內(nèi)接四邊形ABC。

的對角線AC、8。相交于E,AC經(jīng)過△A3。的內(nèi)心，且拋物線y="2+bx+c(aWO)經(jīng)

過2、C、D三點、.

(1)求證：AE?EC=BE,DE；

(2)求證：AC1=AB-AD+CD1-,

(3)△ABE、△DEC、四邊形ABCD的面積分別記為Si,S2、S,求同時滿足以下三個

條件的拋物線的解析式；

①我=店+疝，

②7AC+BD=VBE+y[DE,

③四邊形ABC。的周長為20/.

11.如圖，拋物線y=-/+次+3交x軸負、正半軸于A,8兩點，交y軸于點C,連接AC,

tan/。4c=3,△ABC的外接圓的圓心為M.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)在AC段的拋物線上是否存在一點P,使SABCP若存在請求出點尸坐標，若不

存在，說明理由；

(3)圓上是否存在。點，使△AOC與△8QC相似？若存在，直接寫出點Q坐標；若不

存在，說明理由.

備用圖

12.如圖，二次函數(shù)>=(x-1)2+q與x軸相交于點A,8,點A在x軸負半軸，過點A的

直線y=x+b交該拋物線于另一點交y軸正半軸于點X.

(1)如圖1,若OH=1,求該拋物線的解析式；

113

(2)如圖1,若點P是線段上一點，當一+—=—時，求點尸的坐標(用含6

AHADAP

的代數(shù)式表示)；

(3)如圖2,在(1)的條件下，設(shè)拋物線交y軸于點C,過A,B,C三點作。0,經(jīng)過

點。的直線y=fcc+q交0Q于點F,I,交拋物線于點E,G.當E/=G/+/7時，求2層

的值.

13.已知拋物線y=ad+bx+5(aWO)經(jīng)過A(5,0),B(6,1)兩點，且與y軸交于點C.

(1)求拋物線y=<z?+6x+5(°力0)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖1,連接AC,E為線段AC上一點且橫坐標為1,O尸是△04E外接圓，求圓

心P點的坐標；

(3)如圖2,連接AC,￡為線段AC上任意一點(不與A、C重合)經(jīng)過A、E、。三點

的圓交直線AB于點B

①點E在運動過程中四邊形。胡尸的面積是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果

不是，請說明理由；

②求出當△AEP的面積取得最大值時，點E的坐標.

14.已知拋物線y=a(久一3/+箸過點C(0,4),頂點為跖與x軸交于A,8兩點，如

圖所示以AB為直徑作圓，記作。￡>.

(1)求拋物線解析式及。點坐標；

(2)猜測直線CM與OD的位置關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)在拋物線對稱軸上是否存在點尸，若將線段CP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90°,使C點的

對應點。恰好落在拋物線上？若能，求點尸的坐標；若不能，說明理由.

15.已知二次函數(shù)y=a/+6尤+c的圖象與無軸交于A,8兩點，其中點A為(-1,0),與y

軸負半軸交于點C(0,-2),其對稱軸是直線x=|.

(1)求二次函數(shù)y=ax1+bx+c的解析式；

(2)圓。，為△ABC的外接圓，點E是AC延長線上一點，NBCE的平分線交圓。，

于點。，連接A。、BD,求△AC。的面積；

(3)在(2)的條件下，y軸上是否存在點P,使得以P,C,B為頂點的三角形與△28

相似？如果存在，請求出所有符合條件的尸點坐標；如果不存在，請說明理由.

參考答案

1.【解答】(1)①解：令丁=〃/+3以=0,

'.ax(x+3)=0,解得％=0或-3,

???A(-3,0)；

②證明：如圖，連接PC,連接尸3,延長交x軸于點M,

:。尸過0、A、B三點,5為頂點，

：.PM±OA,NPBC+NBDM=9U°,

又?：PC=PB,

：.ZPCB=ZPBC,

,.,CE為切線，

；?NPCB+NECD=90°,

又丁ZBDM=ZCDE9

；?/ECD=NCDE,

：.CE=DE；

(2)解：如圖，作5NLAO于點N,

:△ABC為邊為3(AO=3)的等邊三角形，

ODF5D3A/3

則，即點(一予---)，

ON=52BN=2522

將點B的坐標代入拋物線表達式得：――=-Q->

242

rn.l2；3

則a=--要，

則拋物線的表達式為：>=一孥x2-2V3x；

(3)①證明：如圖，

是等邊三角形，

ZBAO=ZABO=ZAOB=60°,

ZACB=ZAOB=60°,

AZACB=ZBAE=60°,

?:/CAE=NOBE,ZBAO=ZABO=60°,

；?NBAO+/CAE=/AEB,ZABO+ZOBE=60°,

：.ZBAC=ZEBA,

???ABACs△EBA,

:.AB2=A^BE；

②解：設(shè)OE=m，點。的坐標為G,0),

'：ZCAE=ZCBO9NCAE=NOBE,

：.ZCBO=ZEBO,

由角平分線成比例定理可得：BD：BE=OD：OE,

由3、D、E的坐標得，8。2=及+3什9,BE2=m2+3m+9,

…t2+3t+9-t0

即----------=(——)2,

卅+37H+9m

解得：機=五五或/（舍去）,

1_t+3_1,1

m=3F=3+

111

"ODOE-3

2.【解答】解：⑴由題意得：y=^x(x-8)=32-2尤；

(2)①由拋物線的表達式知，B(4,-4),則直線OB和x軸的夾角為45°,

設(shè)OA與x軸交于點C,則C(4,0).連接BC,如圖，

J.BCLOA.

:CO=CB=4,

...△CB。是以。3為底的等腰三角形.

點M與點C重合時，AMBO是以02為底的等腰三角形.此

時點M(4,0)；

過點4作4M，無軸，交OA于點延長MA交OA于點E,

連接3E,

過點M作MfUy軸于點R如圖，

則M(8,4),E(8,-4),F(0,4).

：.MF=ME=8.

,:B(4,-4),

軸.

：.BE±ME,BE=4.

：.NBEM=/MFO=90°,BE=OF=4.

在△A/OF和△MBE中，

MF=ME

乙MFO=4BEM=90°,

OF=BE

：.4M0F烏AMBE(SAS).

；.MO=MB.

.,.△MB。是以O(shè)B為底的等腰三角形.此時點M(8,4)；

綜上，當△02M是以。2為底的等腰三角形時，點M的坐標為(4,0)或(8,4)；

②設(shè)OA與無軸交于點C,則C(4,0).連接BC,CN,AM,

,：A(8,0),

.?.點C是。4的中點.

：N為。M的中點，

:.CN是AOMA的中位線.

1

：.CN=^AM=2.

當點M在。A上運動時，由三角形的三邊的關(guān)系定理可知:

BC-CNWBNWBC+CN.

?.?5。=4,

.??4-2W5NW4+2.

???線段3N長度的取值范圍為：2WBNW6.

3.【解答】解：(1)y-^x-2,令y=0,

解得：x=-1或4,

故點A、2的坐標分別為：（-1,0）、（4,0）,

是O。'的直徑，故為的中點，

點。'的坐標為G，0)；

(2)連接O'D,如圖1,

,：AB是直徑，

ZACB=90°,

90",

：/BCE的平分線為CD,

：.ZBCD=45°,

：.ZDO'2=90°,SPO'D±AB,

圖1

15

，圓的半徑為-AB=

22

故點。的坐標為G，-|）,

又,：B(4,0),

設(shè)直線BD的表達式為：y—kx+b,

（0=4k+b

(k=1

解得:[6=-4'

直線BD的表達式為：>=尤-4；

（3）連接O'M,如圖2,

是8尸的中點，

由垂徑定理可得，/O'MB=90°,

圖2

取。3中點K,則〃在以K為圓心，O'K為半徑的圓上運動.

.,.當M運動到如圖G點位置時（即。G經(jīng)過圓心K時），最長.

在RtzX。，OK中，。⑺=搟，O'K=由勾股定理可得，DK=與近,

：.DG=DK+KG=5勺5.

4.【解答】（1）解：?..拋物線>=0?+a+°（a,b,c是常數(shù)，aWO）的對稱軸為y軸,

1

且經(jīng)過（0,0）和（血，一）兩點，

16

???拋物線的一般式為：y=ax1,

12

—=a（，。），

16

1

解得：。=土一，

4

???圖象開口向上，

拋物線解析式為：y=%2,

]

故〃=4，b=c=O；

1

(2)證明：設(shè)P(a,-a2),

4

VB4=心+(2_%)2=]②4+4,

作PH_LMN于X,如圖1,

又"/{=#,

：.PA>PH,

圓心P與無軸的距離始終小于半徑；

(3)解：連接RW、PN,如圖2,

1

設(shè)P(〃，-a2),

4

由(2)可知，E4=J/a4+4,

則PM=PN=J^a4+4,

又

則MH=NH=J^a4+4-(1a2)2=2,

故MN=4,

：.M(o-2,0),N(a+2,0),

又(0,2),

：.AM=7(a-2)2+4,AN=J(a+2.+4,

當AN=MN時，J(a+2)2+4=4,

1

解得：a=-2±2百，則一/二4±2百；

4

綜上所述，尸的縱坐標為：4+2日或4-2日.

5.【解答】解：(1)如圖1,連接CM、AM,連接ME交尤軸于點。，則MELx軸,

與y軸相切于點C,點M的坐標是(5,4),

軸，即C(0,4),OM的半徑為5,

：.AM^5,DM=4,

：.AD=DB=7AM2-DM?=7s2_42=3,

AOA=5-3=2,

AA(2,0),B(8,0)；

1

(2)證明：將A(2,0)代入y="(%—5)2+左中，可得k=一

Q

E(5,—彳),圖1

q

9

：.DE=

4f

92s

，ME=DE+MD=捺+4=箸，

則,=32+(32=簽，M42+g=52+笠=等，ME2=(竽)2=

AMA2+AE2=ME2,

：.MA±AE,

又「MA為半徑，

直線￡4與OM相切；//V

理由如下：\

連接ARBF,作尸QLA尸于點。，0~A

VZFPN為圓內(nèi)接四邊形ABPF的外角，

:?/FPN=/FAB,

又「MILLAB,目

：.AF=BF9

：.NFAB=ZFBA=ZFPA,

:?/FPN=/FPA,

'：FQ±AP,FN.LPN,

：.FQ=FN,

又,：FP=FP,

：.RtAFPQ^RtAFPN(HL),

:.PQ=PN,

又?：AF=BF,FQ=FN,

：.RtAAFQ^RtABFN(HL),

：.AQ=BN,

.AP-BPAQ+PQ-BPBP+PN+PQ-BP2PN

,?PN-PN~PN~PN~'

6.【解答】解：(1)設(shè)點3(2m,0)(m>0),

9

：OB=OC=2OAf

則點C(0,-2m)>B(2m,0),

則拋物線的表達式為：>=*(x-2m)(x+m)=-mx-2m2),

VC(0,-2m),

則-m2=-2m,

解得：m=2,

則拋物線的表達式為：產(chǎn)#-x-4；

(2)存在，理由：

由(1)知，點A、B、C的坐標分別為：(-2,0)、(4,0)、(0,-4),

在拋物線上存在點M,使/ABC=N3CM,理由如下：

過點C作CM//x軸，交拋物線于點M,

：OB=OC,NBOC=90°,

:ABOC是等腰直角三角形，

ZABC=ZOCB=45°,

?.?ZABC=/BCM,

：.ZBCM=45°,

：.ZOCM=90°,

???CM_Ly軸，

把y=-4代入y=#-x-4=-4,

解得=2,X2=O(點。的橫坐標，舍去)，

???點M的坐標為(2,-4)；

(3)點A的坐標為(-2,0),

.9.AB=6f

設(shè)過點A、B、。得圓的圓心為點G,

：GA=GB,

...點G在線段A3的垂直平分線上，

設(shè)點G的坐標為(1,力,

同理可得點G在線段DE的垂直平分線上，

軸于點R

設(shè)。(m,H),則E(m,2t-n),

ii

.,.S^ABE-2,xAB*EF=x6X(2f-a)=3(2/-n),

VGZ)2=GA2,

/.(1-機)2+(/-/i)2=(-2-1)2+(0-r)2,

整理得m2-Im+l+n2-2tn-9=0①，

:點D在拋物線上，

.12

m-m-4=〃,

2

得蘇=29+2〃+8②，

將②代入①得，n2-2切+2〃=0,

?"W0,

.,.n-2什2=0,即2t-〃=2,

A5AABE=3⑵-九)=6.

7.【解答】解：(1)由拋物線頂點式表達式得：y=a(x-2)2-2,

將點A的坐標代入上式并解得：a=今

故拋物線的表達式為：y=-2)2-2=#-2x①；

(2)①如圖1,連接EM,

點E是。4的中點，則點E(2,0),圓的半徑為1,則點2(1,0),C(3.0),

:.BM=EM=1,

；BM=V2,

.?.△BEM為等腰直角三角形,

當點尸在x軸上方時，此時點M的坐標為(2,1),

故設(shè)直線3尸的表達式為：y^ax+b,將點8(1,0),M(2,1)的坐標代入得:

(0=a+b

tl=2a+b'

解得：｛;=、，

3=-1

故直線BP的表達式為：y=x-1②，

聯(lián)立①②并解得：x=3+小或x=3-幣(不合題意，舍去)，

?，?y=2+V^,

此時，點尸的坐標為：(3+夕，2+V7)；

當點尸在x軸下方時，M(2,-1),

故設(shè)直線5尸的表達式為：y=rruc+n,將點3(1,0),M(2,-1)的坐標代入得：

(0=a+b

t—1=2a+b'

解得：於二。

故直線BP的表達式為：y=-x+1③，\葉

聯(lián)立①③并解得：x=l+百或無=1一舊(不合題意，舍去)，\

■'?y=-V3,\

此時，點P的坐標為(1+V3,-V3)；

綜上，點尸的坐標為(3+V7,2+V7)或(1+V3,-V3)；

②線段0V的長度存在最大值或最小值，理由如下：弋

連接BN、BD、EM,如圖2,圖2

則BN是△OEM的中位線,故BN=^EM=彳而BD=7(2-I)2+(0+2)2=V5,

在△BN￡>中，2。-BNWNDWBD+BN,

即逐一Q.5WNDWV5+0.5,

故線段DN的長度最小值和最大值分別為花-0.5和岔+0.5.

8.【解答】解：(1)將A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+6x+c中，

彳日(一1—b+c=。

F-9+3b+c=0'

解得｛，二:

(2):以所為直徑的圓OM與BC交于點R,

：.ZERF=9Q°,

?；y=-W+2x+3,

0C=0B=3,

：.ZCBO=ZOCB=45°,

又丁。。〃即，

：.ZEFC=ZOCB=45°,

:?△ER尸為等腰直角三角形，

???當尸R周長最大時，E尸最長，

VC(0,3),B(3,0),

即可得到直線3C解析式為：y=-x+3,

設(shè)E(zn,-m2+2m+3),F(m,-m+3),

EF=-m2+3m=—(m—1)2+工

QQ

當m=?時，EF=],

Z4

???點E的坐標為（|,苧）,

n/n9942

在RtZkEFR中，ER=FR=牛,的周長為一+——；

o44

(3)若AERCsABRE,則NCER=NEBR,

：.ZCEB=90°,

設(shè)E(機，-m2+2m+3),過點8和E分別作平行于x軸、y軸

的直線，垂足為N,直線交于點G,

?：/CEN+NBEG=90°,ZCEN+ZNCE=90°,

ZBEG=ZNCE,

又,：NCNE=/BGE=9b°,

：.ACNE^/\EGB,

NECN

BG-EG'

m-m2+2m

-m2+2m+33-m

解得7nl=主號$，租2=1『（舍去）,

?TPZI+A/S

??E]——，

當點E在對稱軸左邊時，

?；△ERCsdBRE,

：.NREC=NRBE,

?：/REC+NCEF=NRBE+/FEB=45°,

；?/CEF=NFEB,

延長EC交x軸于K,

??,直線EK的解析式為y=(-m+2)x+3,

3

：.K(------,0),

m-2

?；EFLBK,NCEF=/FEB,??.EF垂直平分線段3K,

1+3

?,?舊IIc—-m一2,，

解得m=

「115

???點E(-,—)；

24

綜上所述，點E的坐標為d苧，岑5）或吟/）.

9.【解答】（1）解：由拋物線的表達式知，拋物線的對稱軸為直線x=l,頂點為（1,-女,

當尸為拋物線的頂點時，P（1,-1）,

連接胡，設(shè)拋物線的對稱軸交無軸于點R如圖,

9

OF=1,PF=|.

VA(-2,0),

：.OA=2,

：.AF=OA+OF=3.

設(shè)OE的半徑為八則E4=EP=廠,

9

：.FE=PF-PE=^-r.

,：AF1+EF2=AE1,

9

則9+(--r)?=?,

2

解

得-_

^

4

95

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：2-1434-

5

?(;

：，4-

???點尸是介于5、。之間的拋物線上的動點（包括8、。兩點）,

11

，設(shè)尸(m,—m2-m-4),貝！J0V根V4,—m2-m-4<0,

22

11

OH=m,PH=-(—m9-m-4)=-Tym9+m+4,

22

VA(-2,0),B(4,0),

???O4=2,05=4,

.*.AH=m+2,BH=4-m.

由相交弦定理得：

AH?BH=PH?QH,

.AH-BH_(m+2)(4-m)

_lm2+m+4

②作砂，尸。于點R連接EQ,

設(shè)點尸G,-?-Z-4),則點HO,0),

2

〔[1i

則SI=SAAPH=2XAHXPH=]G+2)4),S=S四邊形APBQ=6XPQX=3P。,

設(shè)S3=SAAQH,S4=SABHP,

：S=S1+S2+S3+S4,且岔=a+國

即5=51+52+2店可，

貝IjS3+S4=2忘屈

11

?.?S3=AxAHXQH,S4=XPHXBH,

則呼=~=--，貝IS3s4=S1S2,

S2S4BH

則(底-醫(yī))2=0,

則S3=54,

:圓E為AAB尸為外接圓，

則EP=EQ=EA=AE,

?：NPAB=/PQB,ZAHP^ZQHB,

：.AAHPsAQHB,

rAHHP

即--=---，

QHBH

則AH?BH=HP*QH。

???S3=S4,則AH?QH=HP?5H②，

由①?②得：BH2=HQ2,

AHXBH

=2,

PH

則HQ=2,

則XP=XH=2,yp=>x4-2-4=-4,

則點尸(2,-4).

10.【解答】(1)證明：???NC4。與NC5A是弧CD所對圓周角,

：.ZCAD=ZCBAf

又???ZBCA與ZADE是弧CD所對圓周角，

：.ZBCA=ZADE,

：.△AEDs^BEC,

.AE_ED

?.—,

BEEC

：?AE?EC=BE?DE；

(2)證明：???AC經(jīng)過△A3。的內(nèi)心，

.'AC平分NBA。，

：.ZBAC=ZDAC9

又,：/BAC=/BDC,

：.ZDAC=ZBDC,

又,.?NC=NC,

.'.△CDE^ACAD,

.CD_CE_

?.=,

ACCD

：.CD2=CE'AC,

又：ZACB^ZADB,

：.AAEDsAABC,

.AEAD

??二,

ABAC

：.AB*AD=AE*AC,

：.CD2+AB^D=CE-AC+AE-AC=AC-(CE+AE)=AC2；

(3)解：設(shè)△?1￡)￡；、△BEC面積分別為S3、S4,

.?包=竺=也

S4ECS?

.,.S1S2=S3s4,

,:遮=醫(yī)+底,

**?S=Si+S?+2JS],S2,

.*.S3+S4=2JS]?S2=2ds3?S4,

二(疝-醫(yī))2=0,

：.S3=S4,

又??,XAEDsABED,

???△AED義4BED(5SS),

：?AE=BE,ED=EC,

\'y/AC+BD=4BE+VDE,

：.AC+BD=BE+DE+2"BE?DE=BD+2、BE?DE=BD+27AE?EC,

：.AC=2AMe?EC=AE+EC,

：.(.AE+EC)2=4AE'EC,

：.(AE-EC)2=0,

C.AE^EC,

:.AE=BE=EC=DE,

四邊形A2C￡＞為矩形，

又?；BC=CD,

四邊形ABC。為正方形，

又；周長為20或，

：.BC=5V2,

：.C(5,-5),D(10,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a/+bx,代入得：

C—5=25a+5b

(0=100。+10/

解得：卜飛，

3=-2

...y=/12—2n%.

11?【解答】解：(1)??,拋物線y=-f+fct+B交y軸于點C,

：.C(0,3),

???OC=3,

nr

\9tan^0AC=^=3,

：.OA=1.

：.A(-1,0),

代入拋物線解析式y(tǒng)=-W+fci+3得：

0=-1-Z?+3,

解得b=2,

...該二次函數(shù)的解析式為y=-/+2x+3；

(2)在AC段的拋物線上存在一點P,使SABCPM'I；理由如下:

令y=-/+2x+3=-(x-3)(x+1)=0,

解得：xi=-1,X2=3,

：.B(3,0),

設(shè)P(x,-X2+2X+3),

..?點尸在AC段的拋物線上，

-IWxWO,

如圖1,過P作PZ_Lx軸于L

圖1

貝|J：S^BCP—S^BOC+S梯形PZOC-SAPLB

1

=2[3x3+(-%?+2,x+3+3)x(—x')—(3—%)X(-%?+2%+3)]

J27

=不好—方％,

.3293

-V"x2-3x=l,

解得，乂=三等或”=當豆(舍去),

...點尸縱坐標為:-%2+2%+3=-x2+3x-x+3=-1-3-尸+3="尸

，點P坐標為(寧，1)；

(3)圓上存在。點，使△AOC與△BQC相似；理由如下:

如圖2,

由(1)可知：B(3,0),

VC(0,3),

：.BC=3近，

?：AB的垂直平分線是拋物線的對稱軸尤=1,

...點M的橫坐標是1,

,.?△AOC是直角三角形，△AOC與△BQC相似，

...△■BQC是直角三角形，

不是直徑，

圖2

點Q是OM的直徑的一個端點，

①當/BCQ是直角，則B0是直徑，

C.CQLBC,

AAOCsAOCB,

.￡￡_￡￡_￡￡即如_這一歿

AOCOCA13V10

：.BQ=2V5,CQ=V2,

：.BM=QM==V5,

設(shè)點M(1,f),

.??V(3-l)2+t2=V5,

解得，f=l或-1(舍去)，

：.M(1,1),

VB(3,0),

設(shè)點Q(m,n),

??,點〃是3。的中點，

戶=1

解得：｛:二「1'

：.Q(-1,2)；

②當/BQC=90°時，則C。是直徑，

設(shè)Q(相，幾)，

??,點〃是C。的中點，

?［竽=1

解得：｛:二4，

：.Q(2,-1)；

綜上，滿足條件的。(-1,2)或。(2,-1).

12.【解答】解：(1)-：OH=1,

：.H(0,1),

把H(0,1)代入y=x+b,得1=1,

??y=~x+1,

令y=0,得x+l=0,

解得：尤=-1,

(-1,0),

把A(-1,0)代入y=(x-1)~+a,得0=(-1-1)2+a,

解得：a=-4,

?,-y=(x-1)2-4,

即該拋物線的解析式為y=/-2x-3；

(2)在y=x+b中，令尤=0,得y=8,令y=0,得尤=-b,

AA(-b,0),H(0,b),

OA—OH=b,

AAOH是等腰直角三角形，

：.ZHAO^45°,AH=42b,

如圖1,設(shè)尸(尤，x+b),過點P作PK±AB于點K,

則PK=x+b,NAKP=NALD=90°,

：.△APK和△ADZ均為等腰直角三角形，

：.AP=V2PK=V2(尤+b),AD=y/2AL=V2(XD-X4),

圖i

由y=(x-1)2+a和y=x+b聯(lián)立，

得：(x-1)2+a=x+b,

整理得：x2-3x+tz-Z?+1—0,

??XA+XD3，

??xz)=3-XA=3+Z?,

.\XD-xA=3+b-(-Z?)=3+24

BPAD=V2(3+2。),

113

*AHAD~AP"

113

,-----_|_-------------=-------------

,?"bV2(3+2Z?)&匕)'

.b2+2b,2b2+3b

??，

x=1+/x+b=1+b'

「,b2+2b2b2+3b

點尸的坐標為(-r1，———

1+b1+b

(3)由題意得：j=x2-2x-3,C(0,-3),

當y=0時，x2-2x-3=0,

解得：Xl=-1,X2=3,

.1.A(-1,0),B(3,0),

：OQ經(jīng)過A、B、C三點,

—1+3

...點。在線段AB的垂直平分線上，即點。的橫坐標為=1，

:點。也在線段BC的垂直平分線上，OB=OC=3,

...點。在第二、四象限角平分線上，即點。的橫縱坐標互為相反數(shù),

：.Q(1,-1),

如圖，過點。作。/，x軸于點X,連接B。，

則08=1,BH=3-1=2,

：.BQ=y/BH2+QH2=V22+l2=V5,

：.FI=2BQ=2y/5,

；EI=GI+FI,EI^EF+FI,

：.EF=GI,

:.EF+FG=FG+GI,即EG=FI=2正,

/.EG2=20,

?直線y=/zx+q經(jīng)過點Q(1,-1),

-1=h+q,

??q--h-1,

.'.y=hx-h-與y=x1-2x-3聯(lián)立，

得W-2x-3=/zx-/i-1,

整理得：x2-(/z+2)x+h-2=0,

.'?XE+XG=h+2,XE*XG=h-2,

.\yE=h*xE-h-1,yG=h9xG-/z-L

VEG2=(XE-XG)2'-+(yE-yG)2

2

=(1+/!2)(XE-XG)

=(1+層)[(XE+XG)2-4XE9XG]

=(1+/12)[(/z+2)2-4(萬-2)]

=(層+1)(/?2+12),

，(層+1)(廬+12)=20,

.,2V201-13

??h,-2，

.?.2/z2=V201-13.

13.【解答】解：(1)),?,拋物線y=o?+"+5(〃#0)經(jīng)過A(5,0),B(6,1)兩點,

25a+5b+5-o

36a+6I+5-1

D

r1

la--

得

解3

<8

(b-

-3-

，拋物線解析式為：尸爐-三+5；

(2)當x=0時，丁=g2一發(fā)+5=5；

：.C(0,5),

設(shè)直線AC：y=kx+5,

將A(5,0)代入直線AC,

得0=5左+5,

:?k=-1,

,直線AC：y=-x+5,

YE為線段AC上一點且橫坐標為1,

：.E(1,4),

???。尸是△Q4E外接圓，

???圓心P必在弦OA的垂直平分線上，

5

設(shè)尸(一，力，

2

'：AE=EP,

：.(5-|)2+(7)2=(1-|)2+(4-02,

解得t=I，

53

二?圓心尸點的坐標為(；，-)；

22

(3)①如圖，過3作軸于“，

VA(5,0),C(0,5),B(6,1),

：.OA=OC,AH=BH,

：.ZOAE=45°,ZOAF=ZBAH=45°,

又。：/OFE=/OAE,ZOEF=ZOAF,

：.ZOEF=ZOFE=45°,

：.OE=OF,ZEOF=180°-45°X2=90°,即△OEF是直角三角形;

：.ZEOC=ZFOA,

在△EOC與△尸OA中，

OC=OA

Z.EOC=^FOA,

OE=OF

:?△EOgXFON(SAS),

S^EOC=S/\FOA,

S四邊形OEAF—S/\EOA+S/\FOA

=S^EOA+S/\COE

1

=SACOA=-^OA*OC

25

F

四邊形OEAF的面積是定值，這個定值為空；

2

②：四邊形OEAF的面積是定值，

.?.當△AEF的面積取得最大值時，△EOP的面積最小,

當0E最小時，△EOF的面積最小，

：OE_LAC時，OE最小，0c=04,

:.CE=AE,即E為AC中點，

,55

當△。所的面積取得最小值時，￡點坐標為（?-）.

14.【解答】解：⑴?.?拋物線y=a（久一3/+半過點C（0,4）,

9Q+=4,

??〃=~7?

???拋物線解析式為y=-1(x-3)2+^=-1x2+|x+4；

1Q

令y=0,則一4/+_x+4=0,

解得：1=-2或8,

???A(-2,0),B(8,0),

：.0A=2,08=8,

：.AB=10.

TAB為直徑作圓，圓心為O,

：.DA=DB=5,

：.DO=DA-0A=5-2=3,

：.D(3,0)；

(2)直線CM與相切，理由：

連接OC,DM,MC,過點M作"軸于點E,如圖,

???點M為拋物線的頂點,

25

?'?M(3,—),

4

25

：.ME=3fMD=^,

VC(0,4),

0C=4,

'：MD±AB,EA±OB,EMLOE,

???四邊形MEOD為矩形，

???OE=MD=

9

：.EC=OE-OC=^r,

q

??.CM2=