2025年九年級模擬檢測

數學試卷

（本試卷共23小題滿分120分考試時長：120分鐘）

注意事項：所有試題必須在答題卡上作答，在試卷上作答無效

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的）

1.在0,1,-1,兀中最小的實數是（）

A.0B.-1C.1D.兀

2.下列計算正確的是（）

A.a+a-a1B.7?—3a=4

C.2a-3a—6a2D.（—a）+（—a）=a

3.如圖，在矩形/BCD中，對角線NC與HD相交于點。，過點C作交48的延長

線于點￡,下列結論不一定正確的是（）

C.A4CE是等腰三角形D.BC=3AE

4.下列命題中，正確的是（）

A.兩點之間，線段最短B.菱形的對角線相等

C.正五邊形的外角和為720。D.直角三角形是軸對稱圖形

5.用配方法解方程/+2x-l=0,下列配方正確的是（）

A.（x+1）2=1B.（x+1）2=2C.（x-l）*D.（x-1）2=1

6.某展覽大廳有2個入口和2個出口，其示意圖如圖所示，參觀者可從任意一個入口進入,

參觀結束后可從任意一個出口離開.小明從入口1進入并從出口A離開的概率是（）

試卷第1頁，共8頁

出口A出口B

展覽大廳

入口1入口2

1111

A.-B.-C.-D.一

2346

7.如圖，若AOABs^ocD,OA;OC=3:2,△048與A。。的面積分別是國與S2,周

長分別是G與則下列說法正確的是（）

8.在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線/。平分/A4c的是（）

R

A.①②B.①③C.②③D.只有①

9.如圖，四邊形48CD是菱形，對角線NC、AD交于點。，DEJ.AB于點、E,尸是線段

的中點，連接。尸.若CM=4,0F=|,則DE的長為（）

試卷第2頁，共8頁

1224

AB.—D.——

-155

10.已知拋物線>=辦2+bx+c上部分點的橫坐標X與縱坐標》的對應值如下表:

X-10123

y3n-1m3

①拋物線開口向下；②拋物線的對稱軸為直線x=l;@m=n.④圖象不經過第三象限;

⑤拋物線在y軸右側的部分是上升的.上述結論中正確的是（）

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

11.因式分解：3a2-18a+27=.

12.為積極響應國家“雙減政策”，某學校2023年第三季度平均每周作業時長為500分鐘，經

過2023年第四季度和2024年第一季度兩次整改后，平均每周作業時長為320分鐘.設每季

度平均每周作業時長的下降率為〃Z,則可列方程為.

13.如圖，四邊形/BCD是。。的內接四邊形，若四邊形ON3C為菱形，則//DC的度數

是

14.如圖，A/BC的頂點A,8在雙曲線>=8上，頂點C在y軸上，8c邊與雙曲線交于

X

點、D,若BD=3CD,△4BC的面積為50,貝蜂的值為.

15.如圖，△4BC為等腰三角形，=4C=5,8C=8,以為斜邊作RtAADB,ZADB=90°,

試卷第3頁，共8頁

tan45D=1,連接CD,交4B于點、E,則8E=

2-------

三、解答題(本題共8小題，共75分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推理

過程)

16.(1)計算：(乃-3)°+(-；1X4-|73-2|-

(2)先化簡，再求值：=十二二-(2。-1),其中。=3.

a-1a-1

17.深圳某校為了提升學生體質，豐富體育活動，計劃購買若干個排球、足球，已知每個足

球比排球貴20元.花費2800元購買的排球數量比花費4000元購買的足球數量少5個，其中，

排球單價不低于100元.

(1)求排球、足球的單價各為多少？

(2)若排球、足球共買60個，購買足球的個數不低于排球個數的:不高于排球個數的;，張

老師帶了8500元，請你判斷張老師帶的錢夠不夠，如果不夠，最少還差多少元.

18.據了解，“，大連”體育場地一鍵預約平臺是市政府打造“民生幸福標桿”城市過程中，推

動的惠民利民重要舉措，在滿足市民健身需求、激發全民健身熱情、促進體育消費等方面具

有重大意義.按照符合條件的學校體育場館和社會體育場館“應接盡接”原則，“，大連”體育

場館一鍵預約平臺實現了“讓想運動的人找到場地，已有的體育場地得到有效利用“小明爸爸

決定在周六上午預約一所學校的操場鍛煉身體，現有8兩所學校適合，小明收集了這兩

所學校過去10周周六上午的預約人數：

試卷第4頁，共8頁

預約人數

（1）補充表格

學平均小于30人的

眾數中位數方差

校數頻率

A48.3①一490.175.01

B48.425②—③一349.64

（2）若小明爸爸健身時需要更好的場所，則他應該預約哪所學校？請說明你的理由.

19.根據對某市相關的市場物價調研，預計進入夏季后的某一段時間，某批發市場內的甲種

蔬菜的銷售利潤必（千元）與進貨量x（噸）之間的函數弘的圖象如圖①所示，乙種

蔬菜的銷售利潤外（千元）與進貨量x（噸）之間的函數%="?+版的圖象如圖②所示.

（1）分別求出外、力與X之間的函數關系式；

（2）如果該市場準備進甲、乙兩種蔬菜共10噸，設乙種蔬菜的進貨量為/噸.

①寫出這兩種蔬菜所獲得的銷售利潤之和平（千元）與/（噸）之間的函數關系式.并求當

這兩種蔬菜各進多少噸時獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是多少元？

②為了獲得兩種蔬菜的利潤之和不少于8400元，則乙種蔬菜進貨量應在什么范圍內合適？

20.拉桿箱是外出旅行常用工具.某種拉桿箱如圖所示（滾輪忽略不計），箱體截面是矩形

BCDE,8c的長度為60cm,兩節可調節的拉桿長度相等，且與2C在同一條直線上.如圖

1,當拉桿伸出一節（AB）時，AC與地面夾角ZACG=53°；如圖2,當拉桿伸出兩節（AM,MB）

試卷第5頁，共8頁

時，NC與地面夾角//CG=37。，已知兩種情況下拉桿把手A點距離地面高度相同.求每

節拉桿的長度.

4

（參考數據：sin53°?—,sin37°?

圖1圖2

21.如圖，△4BC中，AB=472，。為中點，NBAC=ZBCD,cosZADC=—,QO

4

是A/CO的外接圓.

(2)求8C的長和。。的半徑.

22.如圖①，在四邊形4BC。中，ZABC=ZDCB,E為BC上一點、,S.DE//AB,過點3

作3尸〃/。交DE的延長線于點尸，連接CF,CF=BF.

(2)如圖②，連接。3交4E于點G.

①若NG=DC,求證：BC平分NDBF；

CF

②若DB〃CF,求力;的值.

BD

23.在綜合實踐課上，數學探究小組用兩個互相垂直的直尺制作了一個“T”形尺，并用它對

二次函數圖象的相關性質進行研究.把“T”形尺按圖1擺放，水平寬N8的中點為C,圖象

的頂點為。，測得N2為加厘米時，CD為"厘米.

試卷第6頁，共8頁

(1)探究小組先對＞=/的圖象進行多次測量，測得加與“的部分數據如表:

m023456

n012.2546.259

描點：以表中各組對應值為點的坐標，在圖2的直角坐標系內描出相應的點.連線：用光滑

的曲線順次連接各點.猜想："與加的關系式是；

【驗證】

(2)探究小組又對多個二次函數的圖象進行了測量研究，發現測得的九與加也存在類似的

關系式，并針對二次函數y=(。＞0)的情況進行了推理驗證.請你補全下表

試卷第7頁，共8頁

A'U'

AB'=AB=m,C'O=CD=n,C'B'=----=一m,標加〃個單位得到點B的坐標，所

22

以點3的坐標為；

所以點夕的坐標為；將點夕的坐標代入

將點3的坐標代入

y=,得到"與m的關系式是_______________.

y=a(x-h)2+k,得到〃與加的關

系式是.

【應用】

(3)已知IIx軸且=4,兩個二次函數y=2(x-〃y+左和>=a(x-〃y+"(a>0)

的圖象都經過A,3兩點.當兩個函數圖象的頂點之間的距離為10時，求。的值.

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】本題主要考查了實數的大小比較.根據正數〉0〉負數，負數絕對值大的反而小，

即可比較.

【詳解】解：V-1<0<1<,

???最小的實數是-1,

故選：B.

2.C

【分析】本題考查了單項式乘以單項式、合并同類項、單項式除以單項式，根據單項式乘以

單項式、合并同類項、單項式除以單項式的運算法則逐項判斷即可，熟練掌握運算法則是解

此題的關鍵.

【詳解】解：A.a+a=2a,故該選項不正確，不符合題意；

B.7a-3a=4a,故該選項不正確，不符合題意；

C.2a-3a=6a2,故該選項正確，符合題意；

D.(-4丫+(-4『=-4,故該選項不正確，不符合題意；

故選：C.

3.D

【分析】由矩形形的性質可得=BO=DO=；BD,通過證明四邊形DBEC是平線

四邊形，可彳導CE=BD=AC,得出。2=是等腰三角形，即可求解.

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形，

AC=BD,BO-DO-—BD,

2

vCE//BD,DCHBE,

.??四邊形D8EC是平行四邊形，

：.CE=BD=AC,AB=BE=CD,

.-.OB=~CE,

2

???△/CE是等腰三角形，

故選：D.

【點睛】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定和性質，掌握矩形的對角線相等是解題

的關鍵.

答案第1頁，共20頁

4.A

【分析】本題考查了命題與定理的知識，多邊形外角性質，菱形性質及軸對稱圖形的特點,

解題的關鍵是掌握這些基礎知識點.

【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；

B、菱形的對角線互相垂直，不一定相等，選項錯誤，是假命題，不符合題意；

C、正五邊形的外角和為360。，選項錯誤，是假命題，不符合題意；

D、直角三角形不一定是軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，選項錯誤，是假

命題，不符合題意；

故選：A.

5.B

【分析】把常數項移到方程右側，再把方程兩邊加上1,然后把方程左邊寫成完全平方的形

式即可.

【詳解】解：由原方程移項，得f+2x=l,

等式的兩邊同時加上#X2+2X+12=1+12,

配方，得(x+l)2=2.

故選：B.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成(X+m)2=〃的形式,

再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

6.C

【詳解】解：畫樹狀圖得：

開始

12

ABAB

所有等可能的情況有4種，其中從入口1進入并從出口N離開的情況有1種，則尸=；.

故選：C.

【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之

比.

7.A

【分析】本題考查了相似三角形的性質，根據相似三角形的性質判斷即可，熟練掌握相似三

答案第2頁，共20頁

角形的性質定理是解題的關鍵.

【詳解】解：?：AOABSAOCD,OA:OC=3:2,

=故A正確；

■■■^=7-故B錯誤；

??黑總故C錯誤;

AB3山口

??-^^=3，故D錯底；

故選：A.

8.B

【分析】本題考查了尺規作圖，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是理解作法、掌

握角平分線的定義.利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可.在圖①中，利用基本

作圖可判斷AD平分/A4C；在圖③中，利用作法得=AMAN,可證明

△AFM沿AAEN,有乙4MD="ND,可得ME=NF,進一步證明2/XA?尸，得

DM=DN,繼而可證明得NMAD=NNAD,得到40是28/C的平分線;

在圖②中，利用基本作圖得到。點為BC的中點，則/。為8c邊上的中線.

【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分/"C；

在圖③中，利用作法得NE=4F,AM=AN,

在AAFM和AAEN中，

AE=AF

<NBAC=NBAC,

AM=AN

AAFM名AAEN(SAS),

ZAMD=ZAND,

;AM-AE=AN-AF

:.ME=NF

答案第3頁，共20頁

在4MDE和xNDF中

AAMD=ZAND

<ZMDE=ZNDF,

ME=NF

：.AMDEANDF〈AAS）,

DM=DN,

?；AD=AD,AM=AN,

：.AADMAADN（SSS）,

ZMAD=ZNAD,

.?.40是N8/C的平分線；

在圖②中，利用基本作圖得到。點為BC的中點，則/。為2c邊上的中線.

則①③可得出射線/。平分NB/C.

故選：B.

9.D

【分析】此題重點考查菱形的性質、勾股定理，由菱形的性質得

AC1BD,OA=OC,OD=OB,則乙4。。=90。，因為F是線段AD的中點，求出。0長,

然后根據S菱畛^=5DE=；x8x6,求出。E長即可.

【詳解】解：,??四邊形/BCD是菱形，對角線NC、BD交于點0,

.-.AC1BD,OA=OC,OD=OB,

ZAOD=90°,

???b是線段4D的中點，OF=?

:.OF=-AD=-,

22

AB=AD=5,

04=4,

AC=2OA=8,=一CM，=552-42=3,

BD—2OD=6,

vS菱形Ms=5DE=-X8X6,

答案第4頁，共20頁

故選：D.

10.C

【分析】本題考查二次函數的圖象和性質.根據拋物線的頂點坐標是(1,T),有最小值，判

斷①；根據拋物線的對稱軸是直線x=F-14-上3=1,判斷②；根據x=o與X=2對稱，判斷

③；利用待定系數法求得拋物線的解析式，得到圖象過原點，對稱軸在原點右則，判斷④;

拋物線在直線x=l右側的部分是上升的，判斷⑤.

【詳解】解：由表格可知，拋物線的頂點坐標是(L-1),有最小值，

...拋物線了=辦2+1+。的開口向上，故①錯誤；

拋物線的對稱軸是直線》=—尸=1,故②正確；

當x=0或x=2時，y的值相等，

故加=",故③正確；

???拋物線的頂點坐標是0，T)，

設拋物線的解析式為＞=,

將(3,3)代入得3=43-1)2一1,

解得“=1,

???拋物線的解析式為T=(X-1)2-1,

當x=0時，y=(JC-1)2-1=0,

二圖象過原點，

???對稱軸為直線x=l,

???圖象不過第三象限，故④正確；

???拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=l,

???拋物線在直線x=l右側的部分是上升的.故⑤不正確.

,正確的有②③④.

故選：C.

11.3(a-3)2

答案第5頁，共20頁

【分析】此題考查了提公因式及公式法分解因式.先提取公因式再運用完全平方公式分解因

式即可.

【詳解】解：3/-18。+27

=3（a-3）2.

故答案為：3（a-3）2.

12.500（1-加『=320

【分析】此題考查了一元二次方程的實際應用，設每季度平均每周作業時長的下降率為小,

分別表示出2023年第四季度和2024年第一季度平均每周作業時長，由此列得方程.

【詳解】解：設每季度平均每周作業時長的下降率為加，根據題意得，

500（1-m）2=320,

故答案為：500。-加y=320.

13.60°

【分析】根據菱形的性質得到z/10C=〃12C,根據圓周角定理得到■乙4OC,根據

圓內接四邊形的性質得到乙4OC+乙43c=180。，計算即可.

【詳解】解：???四邊形O/BC為菱形，

：./.AOC=/-ABC,

由圓周角定理得：乙乙4OC,

?.?四邊形48CD為。。的內接四邊形，

.??乙4OC+zABC=180。，

.?.A4r>C+2A4￡>C=180°,解得：AADC=6Q°,

故答案為：60°.

【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理、菱形的性質，掌握圓內接四邊形

的對角互補是解題的關鍵.

14.-10

【分析】本題考查了反比例函數與幾何的綜合問題，坐標與幾何長度之間的轉化是解題的關

鍵.

答案第6頁，共20頁

設8卜則《一國,一；1設C(0,%)，則℃=一乂，求出國乂=一50,根據

Y4k、

BD=3CD,求出。小一，再根據直線3。的斜率即可求得結果.

(4x"

【詳解】解：設8[再,V[,貝|]/[-再,-七.

IxiJIxiJ

設C(O,yJ,則。。=一乂，

S4ABe=S“oc+S&BOC=~OC-2xx=一再M=-50,

再必=-50,

???BD=3CD,

(4x"

4k

Ar_y----弘

那么直線2c的比例系數可表示為再一或三——，

x土

14

國五

4

變形得3國必=15人.

又占必=一50,

k=-10.

80

15.—

17

【分析】先求解/。=囪，BD=2y[5,如圖，過A作4/1_8C于M,過。作。尸，4B于

F,過C作CGL48于G,求解。尸=絲儂=2,BF=4,/尸=5-4=1,證明

AB

BM=CM=4,求解/初=行『=3，CG=.C，M=言進一步求解

AnJ

712

FG=AF+AG=l+-=—,證明⑨底ESACGE,再利用相似三角形的性質解答即可.

答案第7頁，共20頁

【詳解】解：???/4OB=90。，tanZ^SD=1,

AD:BD:AB=1:2:舊,

???AB=5,

???AD=5BD=275,

如圖，過A作于〃，過。作。尸_L/B于尸，過。作CG_L4B于G,

//=5—4=1,

vAB=AC=5,BC=S,AMLBC,

??.BM=CM=4,AM=V52-42=3，

BCAM24

712

：.FG=AF+AG=l+-=—,

55

vZDFE=ZCGE=90°,ZDEF=ACEG,

???ADFESKGE,

EFDF_2_5

^~EG~~CG~^_~V2,

T

:?EF=HFG=N

1717

17QQ

;.BE=BF+EF=4+—=—

1717

on

故答案為：—

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，等腰三角形的性質，銳角三角函數的應用，相似三

角形的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

16.(1)15+6(2)-a+1,-2

答案第8頁，共20頁

【分析】本題考查了分式化簡求值，零次累，乘方、化簡絕對值，正確掌握相關性質內容是

解題的關鍵.

(1)先運算零次累、乘方、化簡絕對值，再運算乘法以及去括號，最后運算加減，即可作

答.

(2)先整理原式=二;1再運算除法，然后運算加減，得F+1,最后把。=3

a-\a-\

代入計算，即可作答.

【詳解】解：(1)()一3)°+X4-|V3-2[

=1+4x4-(2-9

=1+16-2+。

=15+73.

(2+1

⑵

4_1

aa+\

-(2?-1)

q—1(Q—+

—Ci—2a+1

=—a+1,

Q=3,

—ci+1=—3+1=—2.

17.(1)排球的單價為140元，足球的單價為160元；

(2)張老師帶的錢不夠，最少還差200元.

【分析】(1)設排球的單價為x元，則足球的單價為(x+20)元，根據題意列出方程即可求

解；

(2)設學校購買加個足球，則購買(60-加)個排球，根據題意列出不等式組，求出機的取

值范圍，設費用為川元，再求出卬與加的一次函數關系，最后根據一次函數的性質即可解

答；

答案第9頁，共20頁

本題考查了分式方程的應用，一次函數的應用，根據題意正確列出分式方程和一次函數解析

式是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：設排球的單價為X元，則足球的單價為（尤+20）元,

40002800匚

依題意得,-------=5

x+20x

解得再=80（不符合題意，舍去），X2=140,

經檢驗，x=140是原方程的解，且符合題意，

x+20=160,

答：排球的單價為140元，足球的單價為160元;

（2）解：設學校購買加個足球，則購買（60-⑹個排球,

m>y（60—m）

依題意得,

m<^-（60—m）

解得15VmV20,

設費用為W元,

由題意得，w=160/n+140（60-w）=20w+8400,

20>0,

???可隨加的增大而增大,

當加=15時，w的值最小，/小值=20x15+8400=8700,

?■?8700>8500,8700-8500=200,

二張老師帶的錢不夠，最少還差200元，

答：張老師帶的錢不夠，最少還差200元.

18.⑴見解析

（2）小明爸爸應該預約學校理由見解析

【分析】本題考查了求中位數，眾數和頻率，利用方差判斷穩定性，解題的關鍵是熟練掌握

相關的定義.

（1）根據中位數，眾數和頻率的確定方法，進行求解即可；

（2）根據方差判斷穩定性，進行判斷即可.

【詳解】（1）解：①N學校中出現次數最多的是45,故眾數為45；

答案第10頁，共20頁

②8學校中的10個數據從小到大進行排序，排在中間兩位的數據為45,51,故中位數為:

1x（45+51）=48；

③2學校小于30人的頻率是3+10=0.3,

填表如下:

學平均眾中位小于30人的頻

方差

校數數數率

A48.345490.175.01

B48.425480.3349.64

(2)解：小明爸爸應該預約學校理由如下：

學校/的方差小，預約人數相對穩定，大概率會有位置更好的場地進行鍛煉.

19.(1)%=0.6x,%=-0-2X2+2.2X；(2)①W=-O22+16+6,當乙種蔬菜進貨4噸,

甲種蔬菜進貨6噸，利潤之和最大，最大9200元；②乙種蔬菜進貨量為2噸到6噸范圍內

【分析】(1)分別設一次函數解析式與二次函數解析式的一般式，再利用待定系數法求解即

可；

(2)①根據《=弘+%,利用配方法求得二次函數的最值即可解題；

②令①中W28.4千元，解析式化為一般式，求得與x軸的兩個交點，結合二次函數圖象與

性質解題，從中選擇符合題意的范圍即可.

【詳解】(1)由題意得，設弘=依

5k=3

k=0.6

必=0.6x,

根據題意得,設%=。/+云+。，由圖知，拋物線經過點(0,。)、(1,2)、(5,6),代入得，

c=0

<a+b+c=2

25a+5b+c=6

答案第11頁，共20頁

a=—0.2

6=2.2

c=0

'2=-0.2工2+2.2x；

(2)①設乙種蔬菜的進貨量為7噸，

=0.6(10-)+(-0.2-+22)

=—0.21+1.6/+6

=-0.2(?-4)2+9.2

當，=4,利潤之和最大

%大=9200(元)

答：當乙種蔬菜進貨4噸，甲種蔬菜進貨6噸，利潤之和最大，最大9200元.

②w=必+%=—0.2/+1.6/+6

當WN8.4時,即-0.2/2+16+648.4,

-0.2廠+1.67—2.420

令-0.2r+1&-2.4=0

Z2-8/-12=0

2)(7-6)=0

K0

--1

Z2

3

-4

-5

答：乙種蔬菜進貨量為2噸到6噸范圍內.

答案第12頁，共20頁

【點睛】本題考查二次函數與一次函數的綜合、二次函數與一元二次方程綜合，涉及一次函

數解析式、二次函數解析式、配方法求最值、二次函數與X軸的交點，一元二次方程等知識,

是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵.

20.每節拉桿長30cm

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用.設每節拉桿長為xcm,則圖1中/8=xcm,

/C=(x+60)cm,圖2中/B=2xcm,/C=(2x+60)cm,在圖1中，過點A作/尸_LCG

4

于點尸，利用三角函數可得％尸=《'+48；在圖2中，過點A作于點利用三

角函數可得/*=gx+36,結合兩種情況下拉桿把手A點距離地面高度相同，可得關于x的

方程并求解，即可獲得答案.

【詳解】解：設每節拉桿長為xcm,則圖1中N3=xcm,4C=(x+60)cm,

圖2中48=2xcm,/C=(2x+60)cm,

在圖1中，過點A作Nb_LCG于點尸，

圖1

在RtZUCF中，ZAFC=90°,

Ap

sin乙4c尸二——,

AC

4

/.AF=ACxsinZACF=-x+48f

在圖2中，過點A作于點H,

圖2

在RM/C“中，ZAHC=90°,

sinZACH=-,

AC

/.AH=ACxsinZACH=^x+36f

答案第13頁，共20頁

AF=AH,

46

」.一x+48=—x+36,

55

解得：x=30.

答：每節拉桿長30cm.

21.(1)見解析

(2)5C=4,OO的半徑為勺自

7

【分析】(1)連接OC并延長交。。于點M,連接MD,證明OCJ_8C,即可得證；

(2)易證4cs△5CZ),得到二求出5。的長；過點力作ZELC。，垂足為E,

BDBC

連接。。，并延長交O。于R連接4月，在中，通過解直角三角形得到。石=1,

AE=布,由ABNCSABCD得到笑=名=設CD=X,則/。=后，CE=x-l,在

Rt“CE中，根據勾股定理構造方程，求得8=2,=2五，由N4FC=ZADC得到

sinZAFC=sinZADC,根據正弦的定義即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OC并延長交OO于點"，連接也，

則：NM=NA,ZCDM=90°,

.-.ZAf+ZMCD=90°,

???ABAC=/BCD,

.-.ZAf=/BCD,

；.NBCD+/MCD=90。,

??.ZOCB=90°,

???OCLBC,

???OC是oo的半徑，

??.BC是O。的切線；

(2)解：?:/BAC=/BCD,/B=/B,

:ABACS^BCD.

答案第14頁，共20頁

BC

——,BP5C2=ABBD

BDBC

-：AB=472,。為N5中點,

;.BD=AD=-AB=1y[?.,

2

：?BC?=AB-BD=46x26=\6,

BC=4.

過點/作/ELCD,垂足為￡,連接C。，并延長交。。于R連接/廠,

又?：AD=2亞,

：.DE=\.

.,.在RtAAED中，AE=ylAD2-DE2=77.

ABACSABCD,

上理也

CDBC

設CD=x,貝。。=缶，CE=CD-DE=x-l.

?.?在Rt^ACE中，AC2=CE-+AE2,

（缶了=（尤一I）2+（正了，即/+2x—8=0,

解得XI=2,x2=-4（舍去）.

CD=2,AC=242.

■AC=AC'

ZAFC=ZADC.

?；CF為。。的直徑,

ZCAF=90°.

sinZAFC=—=sinZCDA=—=—

CFAD4

eg即。。的半徑為舞

【點睛】本題考查切線的判定，相似三角形的判定及性質，解直角三角形，圓周角定理.構

答案第15頁，共20頁

造適當的輔助線是解題的關鍵.

22.(1)見解析

(2)①見解析；②=1

【分析】(1)先證。E=CD,再證四邊形的D是平行四邊形，則

AD=BF,AADE=ZABF,然后證/4B尸=。尸，則/NOE=/FCD,由￡4S即可得出結

論；

(2)①連接CG,先證四邊形4GCD是平行四邊形，得CG〃4D,CG=4D,再證四邊形

■CG是平行四邊形，然后證平行四邊形BFCG是菱形，即可得出結論；

r)pprCFCFFF

②先證得一=一,進而證△BO￡s2\c①，得—=—=一,貝|

DFBEBDBEDE

黑=黑，然后求出空二心二1,即可得出結論.

DFDEDE2

【詳解】(1)證明：???￡>￡〃/

:./DEC=/ABC,

???ZABC=/DCB,

/.ZDEC=NDCB,

DE=CD,

?：DE//AB.BF//AD,

???四邊形ABFD是平行四邊形，

AD=BF,ZADE=ZABF,

CF=BF,

ZFBC=NFCB,AD=CF,

NABC+NFBC=ZDCB+ZFCB,

即/ABF=ZDCF,

NADE=ZFCD,

在△4DE和△/C。中，

AD=FC

</ADE=ZFCD,

DE=CD

：AADE=AFCD(SAS).

(2)解：①證明：如圖，連接CG,

答案第16頁，共20頁

A

D

由（1）得：AADEmAFCD,

ZDEA=ZCDF

AE//CD,

AG=DC,

???四邊形ZGC。是平行四邊形，

...CG//ADCG=AD,

AD=BF,AD〃BF,

CG//BF,CG=BF,

???四邊形BFCG是平行四邊形，

CF=BF,

???平行四邊形是菱形，

???BC平分/DBF；

②解：由（1）可知，AADE名AFCD,

/.NAED=NFDC,

???DE//AB,

ZBAE=NAED,ZABE=NDEC,

/./BAE=NEDC,

:△ABEs^DEC,

.DEEC

,?商一定’

,DEEC

一而一拓’

由（1）可知，四邊形5ASG是平行四邊形,

/.BD〃FC,

:ABDEsACFE,

答案第