第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西師大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合U={?1,0,1,2}，A={x∈N?|x<2}，則?A.{?1,0,1} B.{?1,0,2} C.{?1,2} D.{1}2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(3?4i)=1+2i，則z的虛部是(

)A.25 B.?25 C.23.若向量a，b滿足|b|=3，a?b=?6，則a在A.?12b B.?13b4.已知圓錐的母線長是底面半徑的2倍，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為(

)A.13 B.23 C.325.在三角形ABC中，a=2，B=π3，b=23，則A.π6 B.π2 C.π6或π2 6.若空間中三條不同的直線a，b，c滿足a⊥c，b⊥c，則a//b是a，b，c共面的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且A=2π3，AB=1，AC=2，則AP?(BPA.?32 B.?34 C.8.如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1滿足2AB=AA1，點(diǎn)E在線段DDA.直線AC1與直線EF可能異面

B.直線EF與直線AC所成角隨著E點(diǎn)位置的變化而變化

C.四棱錐A?CEF的體積保持不變

D.三角形二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知z1，z2為復(fù)數(shù)，有以下四個命題，其中真命題的序號是(

)A.若|z1|≤1，則?1≤z1≤1 B.若|z1|+|z2|=0.則z10.已知函數(shù)f(x)=sin(?2x?π3A.f(x)是周期為π的函數(shù)

B.f(x)與函數(shù)y=cos(2x+2π3)是同一函數(shù)

C.x=?π12是f(x)的一條對稱軸11.已知a，b，c分別是銳角△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若(3c?2asinB)sinC=A.B=π3

B.cosAcosC的取值范圍是(12,34)

C.ca的取值范圍是(12,2)

D.若BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若tanα=2，則sin2α?sinαcosα=______．13.若圓柱的底面半徑為1，且表面積是側(cè)面積的2倍，則該圓柱的體積為______．14.在△ABC中，AB+AC=3AG，且AG?BG=0，若四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，正四棱臺ABCD?A1B1C1D1是一塊鐵料，上、下底面的邊長分別為40cm和80cm，O1，O分別是上、下底面的中心，棱臺高為60cm．

16.(本小題15分)

已知平面向量a，b，c，且a=(?1,0)，b=(?1,1)．

(1)若a//c，且|c|=5，求c的坐標(biāo)；

(2)若向量a+λ17.(本小題15分)

如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中.AB=1，AA1=2，M是DD1的中點(diǎn)．

(1)求證：BD1//平面18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x2?(a+6)x+6(a∈R)．

(1)若?x∈[1,4]，f(x)+a+8≥0恒成立，求a的取值范圍；

(2)已知g(x)=mx+7?3m，當(dāng)a=1時，若對任意的x1∈[1,4]，總存在x2∈[1,4]19.(本小題17分)

材料1：在三角形中有一個非常重要的定理，其探究的情景基于角A，B，C所對的邊分別為a，b，c的銳角△ABC，作△ABC的外接圓⊙O，連接AO并延長與⊙O交于點(diǎn)D，連接BD，則△ABD為直角三角形，且可推出對任意△ABD都有asinA=bsinB=csinC．

材料2：法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：

①當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，滿足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，點(diǎn)O為費(fèi)馬點(diǎn)；

②當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．

請用以上材料解決下面的問題：

(1)根據(jù)材料1的情景，當(dāng)銳角△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c時，求證：asinA=bsinB=csinC；

(2)已知a是平面內(nèi)的任意一個向量，向量b,c滿足b⊥c，且|參考答案1.B

2.A

3.D

4.B

5.B

6.B

7.D

8.C

9.BD

10.AD

11.ACD

12.2513.π

14.1615.解：(1)如圖所示，正四棱臺ABCD?A1B1C1D1的每個側(cè)面皆為全等的等腰梯形，

分別取B1C1，BC的中點(diǎn)為M，N，連接O1M，ON，MN，

過點(diǎn)M作MH⊥ON于H，

則O1O=MH=60cm，O1M=20cm，ON=40cm，HN=20cm，

故MN=MH2+HN2=602+2016.解：(1)已知平面向量a，b，c，且a=(?1,0)，b=(?1,1)，

若a//c，且|c|=5，

設(shè)c=(x,y)，∵a=(?1,0)，a//c，∴0+y=0，即y=0，

又|c|=5，∴x2+y2=25，解得x=?5,y=0,或x=5,y=0,

∴c=(?5,0)或(5,0)；

(2)由題可知，a+λb=(?1,0)+λ(?1,1)=(?λ?1,λ)，a+2b=(?3,2)，

∵a+λb與a+2b的夾角是銳角，∴(a+λb)?(a+2b)=3λ+3+2λ>0，解得λ>?35，

又a+λb與a+2b不共線，∴?3λ≠?2λ?2，即λ≠2，

∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(?35,2)∪(2,+∞)．

17.解：(1)證明：設(shè)AC∩BD=O，連接OM，

∵在四棱柱AC1中，四邊形ABCD是正方形，

∴O為BD中點(diǎn)，又M為DD1中點(diǎn)，∴OM//BD1，

又OM?面AMC，BD1?面AMC，

∴BD1//面AMC；

(2)證明：在四棱柱AC1中，DD1⊥面ABCD，

又AC?面ABCD，∴DD1⊥AC，

又在正方形ABCD中，BD⊥AC，

且DD1⊥AC18.解：(1)由題意得，x2?ax?6x+6+a+8≥0對于?x∈[1,4]恒成立，

∴ax?a≤x2?6x+14，

即a(x?1)≤x2?6x+14在x∈[1,4]恒成立．

①當(dāng)x=1時，0≤1?6+14=9，恒成立；

②當(dāng)x≠1時，此時x∈(1,4]，

則a≤x2?6x+14x?1=(x?1)2?4(x?1)+9x?1=(x?1)+9x?1?4，在x∈(1,4]恒成立，

∵(x?1)+9x?1?4≥2(x?1)×9x?1?4=2，當(dāng)且僅當(dāng)(x?1)=9x?1，即x=4的時候取等號，

∴a≤2，∴a的取值范圍是{a|a≤2}；

(2)當(dāng)a=1時，f(x)=x2?7x+6，

當(dāng)x∈[1,4]時，f(x)=(x?72)2?254，

則f(x)值域?yàn)閇?254,0]，

∵x1∈[1,4]，總存在x19.解：(1)因?yàn)锳D為直徑，所以∠ABD=∠ACD=90°，

在Rt△ABD中，ABAD=sin∠ADB，

又∠ADB=∠ACB，所以ABsin∠ACB=AD，

連接CD，同理在Rt△ACD中，ACAD=sin∠ADC，

又∠ADC=∠ABC，所以ACsin∠ABC=AD，

連接BO并延長，交圓于點(diǎn)E，連接CE，則∠ECB=90°，

在Rt△EBC中，BCBE=sin∠E，

又∠E=∠CAB，所以BCsin∠CAB=BE，

又AD=BE，所以ABsin∠ACB=ACsin∠ABC=BCsin∠CAB，

即asinA=bsinB=csinC；

(2)設(shè)b=(23,0),c=(0,3)，a=(m,n)，

則|a?b|+|a?c|+