2024年下學期—2025年上學期高一數學培優資料奔馳定理與四心問題知識歸納總結知識一四心的概念(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2:1；(2)內心：角平分線的交點(內切圓的圓心)，角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(3)外心：中垂線的交點(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點的距離相等；(4)垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直．知識二奔馳定理解決面積比例問題奔馳定理：設O是△ABC內一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別記作SA，SB，SC，則SAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋SBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋SCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0．AABCOSCSBSA說明：本定理因圖形酷似奔馳的說明：本定理因圖形酷似奔馳的車標而得名．特別地：(1)O是△ABC的重心?SA:SB:SC＝1:1:1?eq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；(2)O是△ABC的內心?SA:SB:SC＝a:b:c?aeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋beq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋ceq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；(3)O是△ABC的外心?SA:SB:SC＝sin2A:sin2B:sin2C?sin2Aeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋sin2Beq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋sin2Ceq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；(4)O是△ABC的垂心?SA:SB:SC＝tanA:tanB:tanC?tanAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋tanBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋tanCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0．奔馳定理是三角形四心向量式的完美統一．知識三常見結論(1)內心：三角形的內心在向量eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|)所在的直線上，(2)外心：|eq\o\ac(\s\up7(→),PA)|＝|eq\o\ac(\s\up7(→),PB)|＝|eq\o\ac(\s\up7(→),PC)|?P為△ABC的外心；(3)垂心：eq\o\ac(\s\up7(→),PA)·eq\o\ac(\s\up7(→),PB)＝eq\o\ac(\s\up7(→),PB)·eq\o\ac(\s\up7(→),PC)＝eq\o\ac(\s\up7(→),PC)·eq\o\ac(\s\up7(→),PA)?P為△ABC的垂心．必考題型歸納題型一：奔馳定理例1．已知O是△ABC內部一點，且eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋2eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0，則△AOB的面積與△ABC的面積之比為___________． 例2．已知O是△ABC內部的一點，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a＝3，b＝2，c＝4，若sinAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋sinBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋sinCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0，則△AOB與△ABC的面積之比為 __________．例3．若點M是△ABC所在平面內的一點，點D是邊AC靠近A的三等分點，且滿足5eq\o\ac(\s\up7(→),AM)＝eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),AC)QUOTE，則△ABM與△ABD的面積比為___________．變式1．已知O為正△ABC內一點，且滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋(1＋λ)eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，若△OAB的面積與△OAC的面積之比為3，則λ＝___________．變式2．點P是△ABC所在平面上一點，若eq\o\ac(\s\up7(→),AP)＝eq\f(1,2)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(1,3)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)，則△ABP與△ACP的面積比為___________．變式3．(多選題)已知O是△ABC內一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，O是銳角△ABC內的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內角，以下命題正確的有 ( )A．若eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋2eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋3eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，則SA:SB:SC＝1:2:3B．若|eq\o\ac(\s\up7(→),OA)|＝|eq\o\ac(\s\up7(→),OB)|＝2，∠AOB＝eq\f(5π,6)，且2eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋3eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋4eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，則S△ABC＝eq\f(9,2)C．若O是△ABC的內心，且3eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋4eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋5eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，則∠ACB＝eq\f(π,2)D．若O為△ABC的重心，則eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0題型二：重心定理例4．(多選題)著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB＝5，AC＝4，則下列各式正確的有 ( )Aeq\o\ac(\s\up7(→),AG)·eq\o\ac(\s\up7(→),BC)＝－3

Beq\o\ac(\s\up7(→),AO)·eq\o\ac(\s\up7(→),BC)＝－6Ceq\o\ac(\s\up7(→),OH)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)

Deq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝4eq\o\ac(\s\up7(→),OM)＋2eq\o\ac(\s\up7(→),HM)例5．點O是平面上一定點，A，B，C是平面上△ABC的三個頂點，∠B，∠C分別是邊AC，AB的對角，以下命題正確的是_______(把你認為正確的序號全部寫上)．①動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋eq\o\ac(\s\up7(→),PB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),PC)，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；②動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λ(eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|))(λ＞0)，則△ABC的內心一定在滿足條件的P點集合中；③動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λ(eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|sinB)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|sinC))(λ＞0)，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；④動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λ(eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|cosB)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|cosC))(λ＞0)，則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中；⑤動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\f(\o\ac(\s\up7(→),OB)＋\o\ac(\s\up7(→),OC),2)＋λ(eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|cosB)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|cosC))(λ＞0)，則△ABC的外心一定在滿足條件的P點集合中．例6．在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，點G為△ABC的重心，若AG⊥BG，則cosC的取值范圍為___________．變式4．在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝eq\f(π,3)，eq\o\ac(\s\up7(→),AB)·eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝－1，若O是△ABC的重心，則eq\o\ac(\s\up7(→),BO)·eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝___________．變式5．過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，eq\o\ac(\s\up7(→),PC)＝eq\f(3,4)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)，eq\o\ac(\s\up7(→),QC)＝neq\o\ac(\s\up7(→),BC)，則n的值為___________．變式6．在△ABC中，過重心G的直線交邊AB于點P，交邊AC于點Q，設△APQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，且eq\o\ac(\s\up7(→),AP)＝λeq\o\ac(\s\up7(→),AB)，eq\o\ac(\s\up7(→),AQ)＝μeq\o\ac(\s\up7(→),AC)，則eq\f(S1,S2)的取值范圍為_________．題型三：內心定理例7．在△ABC中，eq\o\ac(\s\up7(→),AB)·eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝16，S△ABC＝6，BC＝3，且AB＞AC，若O為△ABC的內心，則eq\o\ac(\s\up7(→),AO)·eq\o\ac(\s\up7(→),BC)＝___________．例8．已知Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，I是△ABC的內心，P是△IBC內部(不含邊界)的動點．若eq\o\ac(\s\up7(→),AP)＝λeq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋μeq\o\ac(\s\up7(→),AC)(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是___________．例9．設I為△ABC的內心，AB＝AC＝5，BC＝6，eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝meq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋neq\o\ac(\s\up7(→),BC)，則m＋n為__________．變式7．已知點O是△ABC的內心，若eq\o\ac(\s\up7(→),AO)＝eq\f(3,7)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(1,7)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)，則cos∠BAC＝___________．變式8．已知△ABC，I是其內心，內角A，B，C所對的邊分別a，b，c，則 ( )A．eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝eq\f(1,3)(eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),AC)) B．eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝eq\f(c,a)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(b,a)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)C．eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝eq\f(b,a＋b＋c)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(c,a＋b＋c)eq\o\ac(\s\up7(→),AC) D．eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝eq\f(c,a＋b)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(b,a＋c)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)變式9．在△ABC中，cosA＝eq\f(3,4)，O為△ABC的內心，若eq\o\ac(\s\up7(→),AO)＝xeq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋yeq\o\ac(\s\up7(→),AC)(x，y∈R)，則x＋y的最大值為___________．題型四：外心定理例10．設O為△ABC的外心，且滿足2eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋3eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋4eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，|eq\o\ac(\s\up7(→),OA)|＝1，下列結論中正確的序號為___________．①eq\o\ac(\s\up7(→),OB)·eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝－eq\f(7,8)；②|eq\o\ac(\s\up7(→),AB)|＝2；③∠BAC＝2∠ACB．例11．(2023·河北·模擬預測)已知O是△ABC的外心，AC＝3，BC＝4，則eq\o\ac(\s\up7(→),OC)·eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＝________．例12．已知O是△ABC的外心，若eq\f(\o\ac(|\s\up7(→),AC)|,|\o\ac(\s\up7(→),AB)|)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)·eq\o\ac(\s\up7(→),AO)＋eq\f(\o\ac(|\s\up7(→),AB)|,|\o\ac(\s\up7(→),AC)|)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)·eq\o\ac(\s\up7(→),AO)＝2meq\o\ac(\s\up7(→),AO)2，且sinB＋sinC＝eq\r(3)，則實數m的最大值為___________．變式10．已知點O是△ABC的外心，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，A＝eq\f(π,3)，且eq\f(cosB,sinC)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(cosC,sinB)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝2λeq\o\ac(\s\up7(→),OA)，則λ的值為___________．變式11．已知△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝eq\r(2)，點O是△ABC的外心，則eq\o\ac(\s\up7(→),CO)·eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＝________．變式12．若點P是△ABC的內心、外心、重心、垂心之一,且滿足2eq\o\ac(\s\up7(→),AP)·eq\o\ac(\s\up7(→),BC)＝eq\o\ac(\s\up7(→),AC)2－eq\o\ac(\s\up7(→),AB)2,則點P一定是△ABC的 ( )A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心題型五：垂心定理例13．設O是△ABC的外心，若eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OM)，則M是△ABC的 ( )A．重心 B．內心 C．垂心 D．外心例14．已知H為△ABC的垂心，若eq\o\ac(\s\up7(→),AH)＝eq\f(1,3)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(2,5)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)，則sin∠BAC＝___________．例15．已知H是△ABC的垂心，2eq\o\ac(\s\up7(→),HA)＋3eq\o\ac(\s\up7(→),HB)＋4eq\o\ac(\s\up7(→),HC)＝0，則△ABC的最大內角的正弦值是___________．變式13．設H是△ABC的垂心，且4eq\o\ac(\s\up7(→),HA)＋5eq\o\ac(\s\up7(→),HB)＋6eq\o\ac(\s\up7(→),HC)＝0，則cos∠AHB＝___________．變式14．在△ABC中，點O，點H分別為△ABC的外心和垂心，|AB|＝5，|AC|＝3，則eq\o\ac(\s\up7(→),OH)·eq\o\ac(\s\up7(→),BC)＝___________．變式15．在△ABC中，AB＝AC，tanC＝eq\f(4,3)，H為△ABC的垂心，且滿足eq\o\ac(\s\up7(→),AH)＝meq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋neq\o\ac(\s\up7(→),BC)，則m＋n＝___________．

奔馳定理與四心問題知識歸納總結知識一四心的概念(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2:1；(2)內心：角平分線的交點(內切圓的圓心)，角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(3)外心：中垂線的交點(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點的距離相等；(4)垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直．知識二奔馳定理解決面積比例問題奔馳定理：設O是△ABC內一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別記作SA，SB，SC，則SAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋SBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋SCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0．AABCOSCSBSA說明：本定理因圖形酷似奔馳的說明：本定理因圖形酷似奔馳的車標而得名．特別地：(1)O是△ABC的重心?SA:SB:SC＝1:1:1?eq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；(2)O是△ABC的內心?SA:SB:SC＝a:b:c?aeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋beq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋ceq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；(3)O是△ABC的外心?SA:SB:SC＝sin2A:sin2B:sin2C?sin2Aeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋sin2Beq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋sin2Ceq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；(4)O是△ABC的垂心?SA:SB:SC＝tanA:tanB:tanC?tanAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋tanBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋tanCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0．奔馳定理是三角形四心向量式的完美統一．知識三常見結論(1)內心：三角形的內心在向量eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|)所在的直線上，(2)外心：|eq\o\ac(\s\up7(→),PA)|＝|eq\o\ac(\s\up7(→),PB)|＝|eq\o\ac(\s\up7(→),PC)|?P為△ABC的外心；(3)垂心：eq\o\ac(\s\up7(→),PA)·eq\o\ac(\s\up7(→),PB)＝eq\o\ac(\s\up7(→),PB)·eq\o\ac(\s\up7(→),PC)＝eq\o\ac(\s\up7(→),PC)·eq\o\ac(\s\up7(→),PA)?P為△ABC的垂心；必考題型歸納題型一：奔馳定理例1．(2023·安徽六安·高一六安一中校考期末)已知O是△ABC內部一點，且eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋2eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0，則△AOB的面積與△ABC的面積之比為 ( )A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3) C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)【答案】C【解析】如圖，設，∵，∴，設與交于點，則平分，∴，是中點，∴．比值為．故選：C．例2．(2023·全國·高一專題練習)已知O是△ABC內部的一點，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a＝3，b＝2，c＝4，若sinAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋sinBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋sinCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0，則△AOB與△ABC的面積之比為 ( )A．eq\f(4,9) B．eq\f(1,3) C．eq\f(2,9) D．eq\f(5,9)【答案】A【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因為,所以.設可得則是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以與的面積之比為即為.故選：A.例3．(2023·全國·高一專題練習)若點M是△ABC所在平面內的一點，點D是邊AC靠近A的三等分點，且滿足5eq\o\ac(\s\up7(→),AM)＝eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),AC)QUOTE，則△ABM與△ABD的面積比為 ( )A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5) C．eq\f(3,5) D．eq\f(9,25)【答案】C【解析】是所在平面內一點，連接，，延長至使，∵，∴，連接，則四邊形是平行四邊形，向量和向量平行且模相等，由于，所以，又，所以，在平行四邊形中，，則與的面積比為，故選：C.變式1．(2024·江西宜春·高一統考期末)已知O為正△ABC內一點，且滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋(1＋λ)eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，若△OAB的面積與△OAC的面積之比為3，則λ＝ ( )A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4) C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,2)【答案】A【解析】分別取、的中點、，連接、，如圖，所以是的中位線，因為，所以，所以，所以、、三點共線，所以，所以即，所以即.故選：A.變式2．(2024·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考期末)點P是△ABC所在平面上一點，若eq\o\ac(\s\up7(→),AP)＝eq\f(1,2)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(1,3)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)，則△ABP與△ACP的面積比為 ( )A．eq\f(3,2) B．3 C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】如圖，延長交于點，設，則，因為共線，所以，解得，所以，，則，由，得，即，所以，所以，所以.故選：D.變式3．(多選題)(2023·全國·高一專題練習)“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則有SAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋SBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋SCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0．設O是銳角△ABC內的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內角，以下命題正確的有( )A．若eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋2eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋3eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，則SA:SB:SC＝1:2:3B．若|eq\o\ac(\s\up7(→),OA)|＝|eq\o\ac(\s\up7(→),OB)|＝2，∠AOB＝eq\f(5π,6)，且2eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋3eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋4eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，則S△ABC＝eq\f(9,2)C．若O是△ABC的內心，且3eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋4eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋5eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，則∠ACB＝eq\f(π,2)ABCOSCSBSAD．若O為△ABC的重心，則eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0ABCOSCSBSA【答案】ACD【解析】對于A選項，因為，由“奔馳定理”可知，A對；對于B選項，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B錯；對于C選項，若為的內心，，則，又(為內切圓半徑)，所以，，故，C對；對于D選項，如下圖所示，因為為的重心，延長交于點，則為的中點，所以，，，且，，所以，，由“奔馳定理”可得，D對.故選：ACD.題型二：重心定理例4．(多選題)(2023·福建泉州·高一校考期中)著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB＝5，AC＝4，則下列各式正確的有( )Aeq\o\ac(\s\up7(→),AG)·eq\o\ac(\s\up7(→),BC)＝－3

Beq\o\ac(\s\up7(→),AO)·eq\o\ac(\s\up7(→),BC)＝－6Ceq\o\ac(\s\up7(→),OH)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)

Deq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝4eq\o\ac(\s\up7(→),OM)＋2eq\o\ac(\s\up7(→),HM)【答案】ACD【解析】對于A，重心為G，有，故，故A正確；對于B，外心為O，過三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，易知D、E分別是AB、AC的中點，有，∴，故B錯誤；對于C，由歐拉線定理得，即，又有，故，即，故C正確；對于D，由得，故，所以，故D正確.故答案為：ACD.例5．(2023·全國·高一專題練習)點O是平面上一定點，A，B，C是平面上△ABC的三個頂點，∠B，∠C分別是邊AC，AB的對角，以下命題正確的是_______(把你認為正確的序號全部寫上)．①動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋eq\o\ac(\s\up7(→),PB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),PC)，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；②動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λ(eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|))(λ＞0)，則△ABC的內心一定在滿足條件的P點集合中；③動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λ(eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|sinB)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|sinC))(λ＞0)，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；④動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λ(eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|cosB)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|cosC))(λ＞0)，則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中；⑤動點P滿足eq\o\ac(\s\up7(→),OP)＝eq\f(\o\ac(\s\up7(→),OB)＋\o\ac(\s\up7(→),OC),2)＋λ(eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|cosB)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|cosC))(λ＞0)，則△ABC的外心一定在滿足條件的P點集合中．【答案】①②③④⑤【解析】對于①，因為動點滿足，，則點是的重心，故①正確；對于②，因為動點滿足，，又在的平分線上，與的平分線所在向量共線，所以的內心在滿足條件的點集合中，②正確；對于③，動點滿足，，，過點作，垂足為，則，，向量與邊的中線共線，因此的重心一定在滿足條件的點集合中，③正確；對于④，動點滿足，，，，所以的垂心一定在滿足條件的點集合中，④正確；對于⑤，動點滿足，設，則，由④知，，，點的軌跡為過的的垂線，即的中垂線；所以的外心一定在滿足條件的點集合，⑤正確．故正確的命題是①②③④⑤．故答案為：①②③④⑤．例6．(2023·江西南昌·高三校聯考期中)在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，點G為△ABC的重心，若AG⊥BG，則cosC的取值范圍為___________．【答案】，【解析】由題意，，又，則，所以，即，由，，，所以,，由為銳角三角形及上式，則，即，可得，所以在上遞減，在上遞增，則.故答案為：變式4．(2023·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學校考階段練習)在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝eq\f(π,3)，eq\o\ac(\s\up7(→),AB)·eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝－1，若O是△ABC的重心，則eq\o\ac(\s\up7(→),BO)·eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝___________．【答案】7【解析】如圖所示，以為坐標原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系.設，∵，，∴，∵，解得，∴∵是的重心，延長交于點，則為中點，所以,∴，,∴.故答案為：7

變式5．(2023·全國·高三專題練習)過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，eq\o\ac(\s\up7(→),PC)＝eq\f(3,4)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)，eq\o\ac(\s\up7(→),QC)＝neq\o\ac(\s\up7(→),BC)，則n的值為___________．【答案】【解析】如圖，因為O是重心，所以，即，因為，所以，所以，又，則，所以因為P，O，Q三點共線，所以，所以，解得.故答案為：變式6．(2023·上海虹口·高三上海市復興高級中學校考期中)在△ABC中，過重心G的直線交邊AB于點P，交邊AC于點Q，設△APQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，且eq\o\ac(\s\up7(→),AP)＝λeq\o\ac(\s\up7(→),AB)，eq\o\ac(\s\up7(→),AQ)＝μeq\o\ac(\s\up7(→),AC)，則eq\f(S1,S2)的取值范圍為_________．【答案】【解析】根據題意，連接，作圖如下：，在三角形中，因為為其重心，故可得結合已知條件可得：，因為三點共線，故可得，即，由題設可知，，又，得，故，令，可得，，則，又在單調遞減，單調遞增，當時，，當時，，當時，，故.故答案為：.題型三：內心定理例7．(2023·湖北·模擬預測)在△ABC中，eq\o\ac(\s\up7(→),AB)·eq\o\ac(\s\up7(→),AC)＝16，S△ABC＝6，BC＝3，且AB＞AC，若O為△ABC的內心，則eq\o\ac(\s\up7(→),AO)·eq\o\ac(\s\up7(→),BC)＝___________．【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，所以，又，，所以，所以，由余弦定理可得，又，所以，又，所以，所以為以為斜邊的直角三角形，設的內切圓與邊相切于點，內切圓的半徑為，由直角三角形的內切圓的性質可得，故，因為，所以，因為，所以，所以所以.故答案為：.例8．(2023·全國·高三專題練習)已知Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，I是△ABC的內心，P是△IBC內部(不含邊界)的動點．若eq\o\ac(\s\up7(→),AP)＝λeq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋μeq\o\ac(\s\up7(→),AC)(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是___________．【答案】【解析】建立如圖所示平面直角坐標系，則，因為是三角形的內心，設三角形內切圓半徑為，則，解得.所以，.依題意點在三角形的內部(不含邊界).因為，所以，所以，令，則，由圖可知，當過時，.當，過，即為直線時，.所以的取值范圍時.故答案為：例9．(2023·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學校考階段練習)設I為△ABC的內心，AB＝AC＝5，BC＝6，eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝meq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋neq\o\ac(\s\up7(→),BC)，則m＋n為___________．【答案】【解析】因為，所以取BC中點為O，連接AO，則，且的內心在AO上，IO即為的內切圓半徑，又，所以AO，因為，即，所以，，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立坐標系，則，，，則，，，因為，即，所以解得，所以，故答案為：.變式7．(2023·福建福州·高三福建省福州第一中學校考階段練習)已知點O是△ABC的內心，若eq\o\ac(\s\up7(→),AO)＝eq\f(3,7)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(1,7)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)，則cos∠BAC＝___________．【答案】【解析】因為，即，取中點，連接，則，故，故點共線，又，故，且，所以.故答案為：.變式8．(2023·全國·高三專題練習)已知△ABC，I是其內心，內角A，B，C所對的邊分別a，b，c，則(

)A．eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝eq\f(1,3)(eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),AC)) B．eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝eq\f(c,a)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(b,a)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)C．eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝eq\f(b,a＋b＋c)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(c,a＋b＋c)eq\o\ac(\s\up7(→),AC) D．eq\o\ac(\s\up7(→),AI)＝eq\f(c,a＋b)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(b,a＋c)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)【答案】C【解析】延長，分別交于.內心是三角形三個內角的角平分線的交點.在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，.所以，則.故選：C變式9．(2023·全國·高三專題練習)在△ABC中，cosA＝eq\f(3,4)，O為△ABC的內心，若eq\o\ac(\s\up7(→),AO)＝xeq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋yeq\o\ac(\s\up7(→),AC)(x，y∈R)，則x＋y的最大值為 ( )A．eq\f(2,3) B．eq\f(6－\r(6),5) C．eq\f(7－\r(7),6) D．eq\f(8－2\r(2),7)【答案】D【解析】如圖：圓O在邊上的切點分別為，連接，延長交于點設，則，則設∵三點共線，則，即即故選：D．題型四：外心定理例10．(2023·山西呂梁·高三統考階段練習)設O為△ABC的外心，且滿足2eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋3eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋4eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，|eq\o\ac(\s\up7(→),OA)|＝1，下列結論中正確的序號為___________．①eq\o\ac(\s\up7(→),OB)·eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝－eq\f(7,8)；②|eq\o\ac(\s\up7(→),AB)|＝2；③∠BAC＝2∠ACB．【答案】①③【解析】由題意可知：．①，則，兩邊同時平方得到：，解得：，故①正確．②，則，，兩邊再平方得到：．所以|，所以②不正確．③，，兩邊平方得到：，，，同理可得：，，，．故，，且，，，即．故③正確．故答案為：①③例11．(2023·河北·模擬預測)已知O是△ABC的外心，AC＝3，BC＝4，則eq\o\ac(\s\up7(→),OC)·eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＝________．【答案】/3.5【解析】如圖：分別為的中點，則故答案為：.例12．(2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校校考階段練習)已知O是△ABC的外心，若eq\f(\o\ac(|\s\up7(→),AC)|,|\o\ac(\s\up7(→),AB)|)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)·eq\o\ac(\s\up7(→),AO)＋eq\f(\o\ac(|\s\up7(→),AB)|,|\o\ac(\s\up7(→),AC)|)eq\o\ac(\s\up7(→),AC)·eq\o\ac(\s\up7(→),AO)＝2meq\o\ac(\s\up7(→),AO)2，且sinB＋sinC＝eq\r(3)，則實數m的最大值為___________．【答案】/【解析】設三角形的外接圓的半徑為，，根據向量數量積的幾何定義可得：，即，，又，根據正弦定理可得，，，，當且僅當時，即為等邊三角形時取等號，，，實數的最大值為．故答案為：變式10．(2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習)已知點O是△ABC的外心，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，A＝eq\f(π,3)，且eq\f(cosB,sinC)eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\f(cosC,sinB)eq