內積空間2.6內積空間線性空間是解析幾何中空間概念的推廣,然而,在線性空間中,缺少向量的度量的概念,如向量的長度與夾角.本節引入這些重要的概念.在空間中,向量的長度與夾角是由向量的內積確定的.中向量的內積指的是對中任意兩個非零向量和,它們的內積定義為其中,

和分別是

與

的長度,是與的夾角.并且當和中有一個是零向量時,有了內積的概念后,中任何一個向量的長度就可以由式確定,同時與之間的夾角也可以由式確定.

當然,不能由中的內積公式直接將其推廣到一般的線性空間,與定義線性空間類似,下面用公理引入一般線性空間的內積.內積空間內積空間的基本概念

定義2.18設

是數域上的線性空間,

對任意兩個向量都有一個數域中的數與它們相對應,記為

.并且對任意滿足下列條件.

(1)共軛對稱性：(2)齊次性：(3)可加性：(4)正定性：當且僅當時,

此時,稱數為向量和的內積.定義了內積的線性空間稱為內積空間.特別地,定義在實數域上的內積空間稱為歐幾里得空間,也稱實內積空間.定義在復數域上的內積空間稱為酉空間,也稱復內積空間.內積空間例2.43考慮線性空間對任意兩個向量

定義

易驗證滿足定義2.18的條件,因此線性空間對于如上規定的運算構成一個內積空間,此內積稱為的標準內積.例2.44考慮線性空間對任意兩個向量

定義不難驗證線性空間對于如上規定的運算也構成一個內積空間.由此可見,對于同一個線性空間,可以引入不同的內積,從而構成不同的內積空間.例2.45對于實矩陣空間中的矩陣

和定義內積空間易知它是內積,按此內積構成歐幾里得空間,此內積稱為的標準內積.例2.46對于實線性空間中的函數和

定義

根據定積分的定義,易知它是內積,因此按此內積構成歐幾里得空間.由內積的定義不難得到內積的如下基本性質(定理2.26)定理2.26設是數域上的內積空間,對有以下結論.(1)(2)(3)

(4)

(5)且等號成立當且僅當與線性相關,此不等式稱為Cauchy-Schwarz不等式.

內積空間證這里只證明(5).當時,此不等式顯然成立.以下設對任意都有令代入上式可得于是成立.當線性相關時,不妨設于是

于是不等式中的等號成立.反之,若線性無關,則對任意實數都有從而,

取得與假設矛盾.因此,線性相關.內積空間在不同的內積空間中,向量及其內積的定義不一樣,因此Cauchy-Schwarz不等式也具有不同的形式.如果把Cauchy-Schwarz不等式應用到例2.43的中,則有

如果把Cauchy-Schwarz不等式應用到例2.46的中,則有

定義2.19設是內積空間,對任意稱非負實數為的長度(或范數或模),記作即如果則稱為單位向量.的長度有如下性質.

(1)正定性：且當且僅當

(2)齊次性：

(3)三角不等式：內積空間證根據的長度的定義很容易驗證性質(1)、(2).性質(3)的證明如下.根據Cauchy-Schwarz不等式,有于是

兩邊開方即得三角不等式.注

對任意非零向量,向量是與同方向的單位向量,由求的過程稱為把向量單位化.根據Cauchy-Schwarz不等式知,對任意非零向量和,總有于是引入如下定義(定義2.20).內積空間定義2.20設是歐幾里得空間,對于非零向量定義與的夾角為

在酉空間中,兩個非零向量與的夾角由確定.

若則稱與正交(或垂直),記為這時基本性質如下.

(1)對任意有即零向量與任意向量正交.

(2)若則即自身正交的向量是零向量.

(3)若則有勾股定理推廣：如果向量組兩兩正交,那么內積空間標準正交基定義2.21

在內積空間中,一組兩兩正交的非零向量組稱為正交向量組；稱由單位向量構成的正交向量組為標準正交向量組.定理2.27設是內積空間中的正交向量組,則線性無關.證

令兩邊與做內積,有

利用得又因為非零,所以故有即線性無關.定義2.22

設是內積空間的一個基,且兩兩正交,則稱之為的一個正交基,由單位向量組成的正交基稱為標準正交基.顯然,由定義2.22可知,是內積空間的標準正交基的充要條件為

內積空間定理2.28給出了標準正交基的特性.定理2.28設是內積空間的一個標準正交基,則有下列結論.(1)對任意設向量在基下的坐標為則(2)若在基下的坐標分別為和則(3)對任意設向量在基下的坐標為則證

(1)對兩邊用做內積得

(2)設則

內積空間(3)顯然,由(2)的證明可知結論成立.定理2.29有限維內積空間中必定存在標準正交基.證設是維內積空間的一個基,下面介紹可以把正交規范化的施密特(Schmidt)正交化方法.(1)正交化取由于線性無關,因此為使與正交,即

解得于是

假定已經求出兩兩正交的非零元素令

為使與正交,即內積空間解得從而

可知否則,若則由和上式可知

這與線性無關矛盾.由歸納假設,用上述方法就可構造出的正交基(2)單位化.令

得到的標準正交基上述構造標準正交基的過程就是Schmidt正交化過程.內積空間例2.47在中定義以下內積：

試求的一個標準正交基.解

取的一個基

下面用Schmidt正交化方法將其改造成的一個標準正交基.正交化.令內積空間(2)單位化.因為

所以,令

則就是的一個標準正交基.內積空間下面介紹標準正交基之間的過渡矩陣.定理2.30在酉空間(或歐幾里得空間)中,有以下結論.(1)由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是酉矩陣(正交矩陣).(2)如果兩個基之間的過渡矩陣是酉矩陣(正交矩陣),且其中一個基是標準正交基,則另一個基也是標準正交基.證

(1)設和是維酉空間中的兩個標準正交基,且其中,則有

于是

即故是酉矩陣.內積空間(2)假設和是維酉空間中的兩個基,且有

其中,是酉矩陣.如果是標準正交基,則

即是標準正交基.反之,若是標準正交基,則由于

且仍是酉矩陣,同前可證是標準正交基.內積空間正交子空間定義2.23

設是內積空間的子空間.對于如果對任意都有則稱與子空間正交,記為；對于中的子空間和如果對任意和成立,則稱與正交,記為基本性質如下.

(1)設若

則

(2)若則即是直和.

(3)設是子空間的標準正交基,則的充要條件是

(4)設和分別是子空間和的標準正交基,則的充要條件是

內積空間定理2.31若子空間兩兩正交,則構成直和.證記其是子空間.設

用對上式做內積即得于是表明中零元素的分解唯一,因此

是直和.定義2.24設是內積空間的子空間,稱為的正交補空間,簡稱正交補.定理2.32設是內積空間的子空間,則也是的子空間.證因為即所以非空.對任意都有因此故是的子空間.

內積空間定理2.33設是維內積空間,是的任意子空間,則必存在正交補空間證若則對非零子空間取的一個正交基將其擴充成的正交基令則

由于因此若設則

由于因此即于是這表明故內積空間推論2.3設是內積空間的子空間,則有以下結論.(1)

(2)的正交補空間是唯一的.(3)證

(1)顯然,從定理2.33的證明中可知,因此(2)設和是的正交補空間,則設則有

因為所以

于是故從而,；同理可證(3)由(1)即得.內積空間例2.48歐幾里得空間中的內積定義為

設令求及的一個標準正交基.

解設則

得基礎解系因此的一個基為

內積空間

從而,將和正交化、單位化,得的一個標準正交基為內積空間正交變換與酉變換

在內積空間中有一種特殊的線性變換,它保持向量的內積不變,這種變換稱為酉(正交)變換.定義2.25

設是酉(歐幾里得)空間的線性變換,若對中的任意向量都有

則稱是上的酉(正交)變換.定理2.34設是酉(歐幾里得)空間的線性變換,則下列條件等價.(1)是酉(正交)變換.(2)保持向量的長度不變,(3)若是的一個標準正交基,則也是標準正交基.(4)在的任意標準正交基下的矩陣都為酉(正交)矩陣.內積空間證

(1)

(2)設是酉(正交)變換,則對任意都有

(2)

(1)若為歐幾里得空間的線性變換,保持向量長度不變,則對任意都有

將上式兩邊展開,得

由于代入上式即得即是正交變換.

若是酉空間,同理,分別對和進行討論,則可證明與的實部和虛部分別相等,從而仍有(1)(3)由于

因此是標準正交基.內積空間(3)

(4)設在基下的矩陣為即

則

由是標準正交基得

即(4)

(1)若為酉(正交)矩陣,則由(3)(4)的證明可知

設則有

內積空間

即是酉(正交)變換.例2.49設是階正交矩陣,證明上的線性變換

是正交變換.

證取的標準正交基設注意到

因為正交,所以標準正交,從而,也是的一個標準正交基,由定理2.34知,是正交變換.內積空間向量到子空間的距離與最小二乘法

在解析幾何中,兩個點與之間的距離等于向量的長度.在歐幾里得空間中,同樣引入如下定義.定義2.26

長度稱為向量和的距離,記為

不難證明距離的3條基本性質.(1)(2)當且僅當時等號成立.(3)

內積空間在初等幾何中,知道一個點到一個平面(或一條直線)上所有點的距離以垂線最短.定理2.35可以說明一個給定向量和一個子空間中各個向量之間的距離也是以“垂線最短”.定理2.35設線性空間中的子空間為一給定向量.設且滿足則對任意都有證因為所以由勾股定理可知

故

注定理2.35的幾何意義：向量到的各個向量之間的距離以垂直向量最短.它的一個實際應用是最