《全品選考復(fù)習(xí)方案》第12講萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律1.二十四節(jié)氣是中華民族的文化遺產(chǎn).地球沿橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng),所處四個(gè)位置分別對(duì)應(yīng)北半球的四個(gè)節(jié)氣,如圖所示.下列關(guān)于地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的說(shuō)法正確的是(A)A.冬至?xí)r線速度最大B.夏至和冬至?xí)r的角速度相同C.夏至?xí)r加速度最大D.可根據(jù)地球的公轉(zhuǎn)周期求出地球的質(zhì)量[解析]由開(kāi)普勒第二定律可知地球在近日點(diǎn)運(yùn)行速度最大,在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小,冬至?xí)r地球在近日點(diǎn)運(yùn)行速度最大,A正確;由開(kāi)普勒第二定律可知地球與太陽(yáng)連線相同時(shí)間掃過(guò)的面積相同,因此相同時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)角度不同,角速度不同,B錯(cuò)誤;夏至?xí)r距太陽(yáng)最遠(yuǎn),引力最小,因此加速度最小,C錯(cuò)誤;根據(jù)公式可知地球的質(zhì)量會(huì)被消掉,所以求不出地球的質(zhì)量,D錯(cuò)誤.2.如圖所示,兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動(dòng)能、與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積.下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是(C)A.TA>TB B.EkA<EkBC.SA=SB D.RA3[解析]根據(jù)開(kāi)普勒第三定律知,A、D正確;由GMmR2=mv2R和Ek=12mv2可得Ek=GMm2R,因RA>RB,mA=mB,則EkA<EkB,B正確;根據(jù)開(kāi)普勒第二定律知,同一軌道上的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等,對(duì)于衛(wèi)星A、B,S萬(wàn)有引力及其與重力的關(guān)系3.一物體靜置在平均密度為ρ、半徑為R的星球表面上,以初速度v0豎直向上拋出該物體,則該物體上升的最大高度是(已知引力常量為G)(A)A.3v028πGρRC.3v024πGρR[解析]在星球表面,有GMmR2=mg,又M=43πR3·ρ,解得g=43πρGR,由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律知h=v022g,解得h4.[2020·全國(guó)卷Ⅰ]火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的110,半徑約為地球半徑的12,則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為(BA.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5[解析]在火星表面,F1=GM火mR火2,在地球表面,F2=GM地mR地2,因?yàn)镸火M地=110,R5.如圖所示,有一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的大球體.從中挖去一個(gè)半徑為R2的小球體,并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),引力常量為G,則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力大小為(已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零)(D)A.GMmR2 BC.4GMmR2 D[解析]若將挖去的小球體用原材料補(bǔ)回,可知剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的吸引力等于完整大球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的吸引力與挖去小球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的吸引力之差,挖去的小球體球心與質(zhì)點(diǎn)重合,對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零,則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力大小等于完整大球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力;以大球體球心為中心分離出半徑為R2的球,易知其質(zhì)量為18M,則其余均勻球殼對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零,故剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力大小等于分離出的球體對(duì)其的萬(wàn)有引力,根據(jù)萬(wàn)有引力定律,可得F=G18MmR22=天體質(zhì)量及密度的計(jì)算6.隨著我國(guó)登月計(jì)劃的實(shí)施,我國(guó)宇航員登上月球已不是夢(mèng)想.假如我國(guó)宇航員登上月球并在月球表面附近以初速度v0豎直向上拋出一個(gè)小球,經(jīng)時(shí)間t后回到出發(fā)點(diǎn).已知月球的半徑為R,引力常量為G,則下列說(shuō)法正確的是(B)A.月球表面的重力加速度為vB.月球的質(zhì)量為2C.月球的密度為3D.宇航員在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的繞行周期為Rt[解析]小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng),根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得t=2v0g月,解得g月=2v0t,故A錯(cuò)誤;小球在月球表面上時(shí),重力等于萬(wàn)有引力,有GMmR2=mg月,解得M=2v0R2Gt,故B正確;月球的密度為ρ=MV=2v0R243πR3Gt=3v7.一位愛(ài)好天文的同學(xué)結(jié)合自己所學(xué)設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn):在月球表面附近高h(yuǎn)處以初速度v0水平拋出一個(gè)物體,然后測(cè)量該平拋物體的水平位移為x,通過(guò)查閱資料知道月球的半徑為R,引力常量為G,若物體只受月球引力的作用,則月球的質(zhì)量是(A)A.2?R2v02C.?R2v02[解析]月球表面的物體做平拋運(yùn)動(dòng),在水平方向上有x=v0t,在豎直方向上有h=12gt2,故月球表面的重力加速度g=2?v02x2,由GMmR2=mg,解得月球質(zhì)量8.(多選)[2021·福建卷]兩位科學(xué)家因?yàn)樵阢y河系中心發(fā)現(xiàn)了一個(gè)超大質(zhì)量的致密天體而獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).他們對(duì)一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進(jìn)行了持續(xù)觀測(cè),記錄到的S2的橢圓軌道如圖所示.圖中O為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),橢圓偏心率(離心率)約為0.87.P、Q分別為軌道的遠(yuǎn)銀心點(diǎn)和近銀心點(diǎn),Q與O的距離約為120AU(太陽(yáng)到地球的距離為1AU),S2的運(yùn)行周期約為16年.假設(shè)S2的運(yùn)動(dòng)軌跡主要受銀河系中心致密天體的萬(wàn)有引力影響,根據(jù)上述數(shù)據(jù)及日常的天文知識(shí),可以推出(BCD)A.S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比B.銀河系中心致密天體與太陽(yáng)的質(zhì)量之比C.S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速度大小之比D.S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的加速度大小之比[解析]設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a,兩焦點(diǎn)的距離為2c,則偏心率0.87=2c2a=ca,且由題知,Q與O的距離約為120AU,即a-c=120AU,由此可得出a與c,由于S2圍繞致密天體運(yùn)動(dòng),根據(jù)萬(wàn)有引力定律,由已知條件無(wú)法求出兩者的質(zhì)量之比,故A錯(cuò)誤;根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有a3T2=k,式中k只與中心天體的質(zhì)量M有關(guān),且與M成正比,所以對(duì)S2圍繞致密天體運(yùn)動(dòng)有a3TS22=k致∝M致,對(duì)地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)有r地3T地2=k太∝M太,兩式相比,可得M致M太=a3T地2r地3TS22,因S2的半長(zhǎng)軸a、周期TS2已知,日、地之間的距離r地和地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期T地也已知,故由上式可以求出銀河系中心致密天體與太陽(yáng)的質(zhì)量之比,故B正確已求出,故可以求出S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速