大題02數列及數列求和根據近幾年的高考情況，數列是高考數學中必考題目，高頻考點，解答題小題都會涉及。一般考查內容之是等差等比數列性質的簡單應用。求和部分一般主要考查錯位相減求和，裂項求和以及奇偶項討論分組求和，隨著新課程改革，數列新定義問題也會作為壓軸題的形式出現，主要考查學生對與新概念的認識以及子自主學習能力問題。題型一：數列通項公式及裂項求和1（24-25高三下·四川樂山·期末）設等差數列的前n項和為，且，（為常數）(1)求a的值；(2)求的通項公式；(3)若，求數列的前n項和2（24-25高三下·黑龍江大慶·開學考試）設是等比數列的公比大于0，其前n項和為，是等差數列，已知，，，.(1)求，的通項公式(2)設，數列的前n項和為，求并證明.一般地，如果一個數列的通項公式是分式形式，那么往往可靈活運用“裂項”求和技巧簡捷求解該數列的前n項和．常見的“裂項”結論有：形如當，時，易知形如當，時，易知形如當，時，易知形如當，時，易知1（24-25高二上·浙江舟山·期末）數列滿足：．(1)求數列的通項公式；(2)設，為數列的前項和，若恒成立，求實數的取值范圍．2．（24-25高三下·江蘇揚州·期末）已知數列中，，為數列的前n項和，滿足(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和3．（24-25高三下·湖南·階段練習）已知數列的前項和．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和．題型二：數列通項及錯位相減求和

（貴州省畢節市2024-2025學年高三下學期第二次模擬（3月）數學試題）已知數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)令，記數列的前項和為，求證：.設是等差數列，是公比的等比數列，則數列的前n項和的常規求法是錯位相減法，取巧可這樣做：設，則，其中，.推導過程請參考視頻，x、y的計算公式可不記，記住的形式，取和用待定系數法來算就可以了.1（24-25高三下·山西·階段練習）數列滿足．(1)求證：數列是等比數列；(2)求數列的前項和．2．（24-25高二下·云南玉溪·開學考試）等比數列中，，．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．題型三：數列通項及奇偶項討論問題

1（24-25高三下·廣東惠州·階段練習）已知數列的前項和為，且，(1)證明是等差數列；(2)求；(3)求證：1（24-25高三上·云南昭通·階段練習）設數列的前項和為，已知，且為等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)若，求的前項和.2．（24-25高二下·河南開封·開學考試）已知是等差數列，是各項都為正數的等比數列.且，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數列的前n項和；(3)若，求數列的前2n項和.3．（24-25高三下·廣西·開學考試）已知函數且.(1)計算，；(2)求通項公式；(3)設為數列的前n項和，求；題型四：數列證明類問題1（2025·甘肅蘭州·一模）已知公差不為零的等差數列滿足，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)證明：；(3)若數列滿足，證明：（e為自然對數的底）．1（24-25高三下·福建福州·階段練習）已知為數列的前項和，為數列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)若，求的最大值；2．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）設為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．令，為數列的前n項和．(1)求數列的通項公式；(2)證明：當時，．題型五：數列型定義問題1（2025·江蘇蘇州·模擬預測）設為正整數，數列是首項為，公差為的等差數列，若存在一組正整數，使得能構成等比數列，則稱數列為可拆數列.(1)對任意正整數，判斷數列是否為可拆數列；(2)若對任意正整數，數列是可拆數列，求的所有可能值；(3)若存在無窮多個正整數，使得是等比數列，求的取值范圍.2（2025·山西呂梁·一模）若數列中且對任意的恒成立，則稱數列為“數列”.(1)若數列為“-數列”，寫出所有可能的；(2)若“-數列”中，，求的最大值.新定義問題的求解過程可以模型化，一般解題步驟如下：第一步：提取信息

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對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號，第二步：加工信息

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細細品味新定義的概念、法則，對所提取的信息進行加工，探求解決方法，有時可以用學過的或熟悉的相近知識進行類比，明確它們的共同點和不同點第三步：遷移轉化

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如果是新定義的運算法則，直接按照運算法則計算即可，如果是新定義的性質，一般需要理解和轉化性質的含義，得到性質的等價條件（如等量關系、圖形的位置關系等）第四步：計算，得結論

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結合題意進行嚴密的邏輯推理、計算，得結論1（24-25高三·云南保山·期末）已知表示正整數的最大奇數因數．(1)試求的值；(2)求證：，，其中；(3)記，求．2．（24-25高三·陜西西安·期末）對于數列，稱為數列的一階差分數列，其中.對于正整數，稱為數列的階差分數列，其中.已知數列滿足，數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，證明：..一、解答題1．（2025·山東濟寧·一模）已知數列和滿足．(1)求數列和的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：．2．（24-25高三上·安徽蕪湖·階段練習）已知數列的首項為且.(1)求的通項公式；(2)若求數列的前項和．3．（2025·陜西榆林·模擬預測）數列是公比為的等比數列，且是與的等比中項.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，證明：.4．（24-25高三下·廣東東莞·階段練習）已知等差數列滿足，是關于的方程的兩個根.(1)求；(2)設求數列的前項和．5．（2025·陜西寶雞·二模）已知：數列的前項和為，，當時．(1)求證：數列為等差數列；(2)記表示不超過的最大整數，設，求數列前2025項和．6．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，，對任意都成立，數列的前n項和為．(1)若是等差數列，求k的值；(2)若，，求；(3)是否存在實數k，使數列是公比不為1的等比數列，且任意相鄰三項，，按某順序排列后成等差數列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由．7．（24-25高三上·內蒙古赤峰·期末）對一個給定的數列的相鄰兩項作差，得到一個新數列，，…，，…這個數列稱為的一階差數列．如果記該數列為，其中，再求的相鄰兩項之差，那么稱所得數列，，…，，…為原數列的二階差數列．依此類推，對任意，可以定義數列的p階差數列．如果的p階差數列是一個非零常數列，那么稱它為p階等差數列．特別地，一階等差數列就是我們常說的等差數列，二階及二階以上的等差數列統稱為高階等差數列．(1)數列的通項公式為，證明：數列是二階等差數列．(2)數列的通項公式為，證明：數列的前n項和公式為．(3)設數列是一個三階等差數列，其前面的若干項為1，2，8，22，47，86，…，求數列的通項公式．1．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．2．（2023·全國甲卷·高考真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．3．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．4．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．5．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數．6．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．7．（2021·全國·高考真題）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數列是等差數列：②數列是等差數列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．8．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知數列滿足，（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；（2）求的前20項和.9．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．大題02數列及數列求和根據近幾年的高考情況，數列是高考數學中必考題目，高頻考點，解答題小題都會涉及。一般考查內容之是等差等比數列性質的簡單應用。求和部分一般主要考查錯位相減求和，裂項求和以及奇偶項討論分組求和，隨著新課程改革，數列新定義問題也會作為壓軸題的形式出現，主要考查學生對與新概念的認識以及子自主學習能力問題。題型一：數列通項公式及裂項求和1（24-25高三下·四川樂山·期末）設等差數列的前n項和為，且，（為常數）(1)求a的值；(2)求的通項公式；(3)若，求數列的前n項和【思路分析】（1）利用的關系可求得；（2）由（1）可得（3）由（2）可得，利用裂項相消法可求得.【規范答題】【詳解】（1）當時，，當時，，因為是等差數列，則時也應滿足，即，又，所以，解得；（2）由（1）得（3），2（24-25高二下·黑龍江大慶·開學考試）設是等比數列的公比大于0，其前n項和為，是等差數列，已知，，，.(1)求，的通項公式(2)設，數列的前n項和為，求并證明.【思路分析】（1）利用等差和等比數列的通項公式基本量運算求解即得；（2）利用裂項相消法求和，并利用數列的單調性證明不等式.【規范答題】（1）設的公比，因為，所以，即，解得或（舍），所以.設的公差為d，因為，，所以，，所以，解得，所以．（2），所以，因為n為正整數，所以，所以，又因為數列單調遞減，所以單調遞增，所以，所以.一般地，如果一個數列的通項公式是分式形式，那么往往可靈活運用“裂項”求和技巧簡捷求解該數列的前n項和．常見的“裂項”結論有：形如當，時，易知形如當，時，易知形如當，時，易知形如當，時，易知1（24-25高二上·浙江舟山·期末）數列滿足：．(1)求數列的通項公式；(2)設，為數列的前項和，若恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據的關系，即可作差求解，（2）利用裂項相消法求解，根據單調性可得，進而根據求解即可.【詳解】（1）令又①②由①②得到即：，經檢驗，也成立，故數列的通項公式（2）因為是單調遞增數列，且若恒成立，則，解得或，實數的取值范圍為或．2．（24-25高三下·江蘇揚州·期末）已知數列中，，為數列的前n項和，滿足(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由的關系作差得到，通過構造即可求證；（2）由（1）得到，裂項相消求和即可；【詳解】（1）由題意，當時，，得，，當時，，①，②①-②得，因為，所以則，，，所以是以為首項，3為公比的等比數列.所以，則（2）由，則，所以的前n項和3．（24-25高三下·湖南·階段練習）已知數列的前項和．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數列前項和與的關系求的通項公式.（2）先求出的表達式，再根據其特點進行求和.【詳解】（1）當時：已知，那么，所以.當時：，先展開式子.則，所以.當時，，上式也成立.所以.（2）已知，把代入可得：.可以發現相鄰兩項相加為，除了第一項中的和最后一項中的.所以.題型二：數列通項及錯位相減求和

1（貴州省畢節市2024-2025學年高三下學期第二次模擬（3月）數學試題）已知數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)令，記數列的前項和為，求證：.【思路分析】（1）根據數列的遞推式即可求數列的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求數列的前項和.【規范答題】（1）當時，，當時，，，故.時，上式亦成立.所以數列的通項公式為：（2）因為，所以，所以兩式相減得：，所以：.設是等差數列，是公比的等比數列，則數列的前n項和的常規求法是錯位相減法，取巧可這樣做：設，則，其中，.推導過程請參考視頻，x、y的計算公式可不記，記住的形式，取和用待定系數法來算就可以了.1（24-25高三下·山西·階段練習）數列滿足．(1)求證：數列是等比數列；(2)求數列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）計算，根據等比數列的定義得證；（2）由（1）得，利用分組求和和錯位相減法求和.【詳解】（1）因為，且，所以數列是等比數列．（2）由（1）得數列是等比數列，且公比，所以，故．所以．故,令,,兩式相減得,所以,即.2．（24-25高二下·云南玉溪·開學考試）等比數列中，，．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）結合已知，根據等比數列的基本量運算列式求解首項和公比，然后利用等比數列通項公式求解即可.（2）利用（1）求得，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）等比數列中，，所以公比，又得，所以數列是以4為首項，為公比的等比數列，所以．（2），所以，故，所以，所以題型三：數列通項及奇偶項討論問題

1（24-25高三下·廣東惠州·階段練習）已知數列的前項和為，且，(1)證明是等差數列；(2)求；(3)求證：【思路分析】（1）根據等差數列的定義即可證明.（2）先根據等差數列的定義得出和是等差數列；再根據等差數列的通項公式求出，及；最后利用等差數列的通項公式即可解答.（3）先變形得出；再根據裂項相消求和即可證明.【規范答題】（1）證明：因為在數列中，，，所以，所以是以1為首項，3為公差的等差數列．（2）由（1）可知是以1為首項，3為公差的等差數列,，所以.同理由，可得.又因為，所以是以2為首項，3為公差的等差數列，故，則.所以.（3）證明：因為，所以.因為所以，即.1（24-25高三上·云南昭通·階段練習）設數列的前項和為，已知，且為等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)若，求的前項和.【答案】(1)(2).【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，所以，即，所以，即，當時，，當時，，滿足上式，所以.（2）由（1）知則，所以數列的前項和為.2．（24-25高二下·河南開封·開學考試）已知是等差數列，是各項都為正數的等比數列.且，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數列的前n項和；(3)若，求數列的前2n項和.【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】(1)由等差數列和等比數列的通項公式，解方程可得公差和公比，進而得到所求；(2)由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，可得所求和；(3)由數列的分組求和，結合等差數列和等比數列的求和公式，可得所求和．【詳解】（1）是等差數列，是各項都為正數的等比數列，設公差為d，公比為，由，，，，可得，，解得：負的舍去，則，；（2）數列的前n項和，，兩式相減可得，化為；（3），則數列的前2n項和.3．（24-25高三下·廣西·開學考試）已知函數且.(1)計算，；(2)求通項公式；(3)設為數列的前n項和，求；【答案】(1)；5(2)(3)【詳解】（1）由題意可得：，所以；.（2）因為，當n為奇數，則；當n為偶數，則；所以.（3）由（2）可知，若n為奇數，則，可得：當n為偶數時，；故當n為奇數時；所以.題型四：數列證明類問題1（2025·甘肅蘭州·一模）已知公差不為零的等差數列滿足，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)證明：；(3)若數列滿足，證明：（e為自然對數的底）．【思路分析】（1）由等差數列的通項公式及等比數列的性質即可求解，進而可得通項公式；（2）設，求導，可得的單調性，進而可得結論；（3）由題意需證，由（2）可得，利用放縮法與裂項相消法可證結論.【規范答題】（1）設等差數列公差為成等比數列，則，所以，解得或（舍去），所以；（2）設，當時，單調遞減，，所以，由（1）可知，則有，所以不等式恒立．（3）因為，所以要證，只需證：，根據（2）可知，那么，，所以.1（24-25高三下·福建福州·階段練習）已知為數列的前項和，為數列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)若，求的最大值；【答案】(1)(2)5【詳解】（1）由，得，所以數列為等差數列，所以，所以.又，所以，設的公差為，即解得所以的通項公式是（2）由（1）知，所以令，得，設，則數列是遞增數列.又，所以的最大值為5.2．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）設為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．令，為數列的前n項和．(1)求數列的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，

①，當時，

②由①②得：，即．又時，滿足.（2）由得，.①當n為偶數時，此時，，故②當n為奇數時，綜上，當時，．題型五：數列型定義問題1（2025·江蘇蘇州·模擬預測）設為正整數，數列是首項為，公差為的等差數列，若存在一組正整數，使得能構成等比數列，則稱數列為可拆數列.(1)對任意正整數，判斷數列是否為可拆數列；(2)若對任意正整數，數列是可拆數列，求的所有可能值；(3)若存在無窮多個正整數，使得是等比數列，求的取值范圍.【思路分析】（1）利用可拆數列的定義即可求解；（2）根據定義證明命題等價于是正有理數；（3）利用（2）的結論即可得到結果.【規范答題】（1）根據定義，取，即可得到構成等比數列.所以是可拆數列.（2）先證明一個引理：對任意的正整數，數列包含一個無窮等比數列.證明：由于.故可以取，則此時.從而得到是等比數列.引理證畢，回到原題.①由于包含構成等比數列的三項，故存在非負整數使得，即.從而，這得到一定是正有理數.②若是正有理數，設，則根據引理知數列包含無窮等比數列.所以也包含無窮等比數列，這就意味著對任意正整數，存在使得構成等比數列，從而一定是可拆數列，條件滿足.綜合①②可知，的所有可能值為全體正有理數.（3）①在此條件下，顯然對任意正整數，數列都是可拆數列，根據（2）的結論可知.②若，設，則同樣根據（2）中的引理，知數列包含無窮等比數列.所以也包含無窮等比數列，條件滿足.綜合①②可知，的取值范圍是.2（2025·山西呂梁·一模）若數列中且對任意的恒成立，則稱數列為“數列”.(1)若數列為“-數列”，寫出所有可能的；(2)若“-數列”中，，求的最大值.【思路分析】【分析】（1）利用“數列”的定義，得到關于的不等式組，列出所有滿足條件，即可得解；（2）利用“數列”的定義，推得，進而得到，解得；再取，推得符合題意，由此得解；【規范答題】（1）依題意，因為數列為“數列”，則，注意到，故所有可能的為或或.（2）一方面，注意到：對任意的，令，則且，故對任意的恒成立（★），當時，注意到，得，此時，即，解得，故；另一方面，取，則對任意的，故數列為“數列”，此時，即符合題意.綜上，n的最大值為.新定義問題的求解過程可以模型化，一般解題步驟如下：第一步：提取信息

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對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號，第二步：加工信息

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細細品味新定義的概念、法則，對所提取的信息進行加工，探求解決方法，有時可以用學過的或熟悉的相近知識進行類比，明確它們的共同點和不同點第三步：遷移轉化

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如果是新定義的運算法則，直接按照運算法則計算即可，如果是新定義的性質，一般需要理解和轉化性質的含義，得到性質的等價條件（如等量關系、圖形的位置關系等）第四步：計算，得結論

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結合題意進行嚴密的邏輯推理、計算，得結論1（24-25高三·云南保山·期末）已知表示正整數的最大奇數因數．(1)試求的值；(2)求證：，，其中；(3)記，求．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）顯然7的最大奇數因數為7，從而由于，12的最大奇數因數為3，故．（2）的最大奇數因數顯然是它本身，故，對于，設的最大奇數因數為，并設，則，從而成立．（3）．從而，以下累加，，……，，又從而．2．（24-25高三·陜西西安·期末）對于數列，稱為數列的一階差分數列，其中.對于正整數，稱為數列的階差分數列，其中.已知數列滿足，數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，證明：.【答案】(1)，；(2)證明見解析.（2）根據已知得，應用錯位相減法及等比數列前n項和公式求，即可證結論.【詳解】（1）因為，所以，所以是公差為1的等差數列，所以.因為，所以，所以，即.因為，所以.因為，所以.因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以，即.（2）因為，所以，則，所以，故..一、解答題1．（2025·山東濟寧·一模）已知數列和滿足．(1)求數列和的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：．【答案】(1)；(2)證明見詳解【詳解】（1）因為，可得，即，可知數列為常數列，則，所以；又因為，則有：若，可得；若，則，兩式相減得；且符合上式，所以.（2）由（1）可知：，可得，顯然，所以.2．（24-25高三上·安徽蕪湖·階段練習）已知數列的首項為且.(1)求的通項公式；(2)若求數列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）兩邊同時除以可得則累加可得則經檢驗也適合上式，所以（2）由（1）可知數列的前項和則①②由兩式相減①-②可得：故．3．（2025·陜西榆林·模擬預測）數列是公比為的等比數列，且是與的等比中項.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）依題可得：，即：，解得，所以.（2）證明：設，則，所以，4．（24-25高三下·廣東東莞·階段練習）已知等差數列滿足，是關于的方程的兩個根.(1)求；(2)設求數列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數列的公差為.當時，是方程的兩根，由韋達定理得，①當時，是方程的兩根，由韋達定理得，②由①②，解得；（2）由（1）知，所以，則，對于方程，由韋達定理得，即，所以，所以.5．（2025·陜西寶雞·二模）已知：數列的前項和為，，當時．(1)求證：數列為等差數列；(2)記表示不超過的最大整數，設，求數列前2025項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據題意結合整理可得，即可證等差數列；（2）由（1）可得：，分和兩種情況，結合取整函數的定義求數列的通項公式，進而求和.【詳解】（1）當時，且，可得，整理得，即，且，所以數列為以1為首項，1為公差的等差數列．（2）由（1）可得：，即，由定義可得：，當時，，即，所以；當且時，不是整數，可設，則，則，可得；綜上所述：.在上，，，所以.6．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，，對任意都成立，數列的前n項和為．(1)若是等差數列，求k的值；(2)若，，求；(3)是否存在實數k，使數列是公比不為1的等比數列，且任意相鄰三項，，按某順序排列后成等差數列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，.【分析】（1）根據等差數列性質得，即可得參數值；（2）根據已知得，討論的奇偶性求；（3）由題設有，，，討論不同的等差中項，結合已知求參數值，判斷存在性.【詳解】（1）由題意，數列是等差數列，可得，即，即，故．（2）由時，，即，整理得，故．當n是偶數時，；當n是奇數時，，．綜上，．（3）若是等比數列，則公比，由題意，故，，．①若為等差中項，則，即，，解得（舍去）；②若為等差中項，則，即，．因為，解得，；③若為等差中項，則，即，．因為，解得，，綜上，存在實數k滿足題意，．7．（24-25高三上·內蒙古赤峰·期末）對一個給定的數列的相鄰兩項作差，得到一個新數列，，…，，…這個數列稱為的一階差數列．如果記該數列為，其中，再求的相鄰兩項之差，那么稱所得數列，，…，，…為原數列的二階差數列．依此類推，對任意，可以定義數列的p階差數列．如果的p階差數列是一個非零常數列，那么稱它為p階等差數列．特別地，一階等差數列就是我們常說的等差數列，二階及二階以上的等差數列統稱為高階等差數列．(1)數列的通項公式為，證明：數列是二階等差數列．(2)數列的通項公式為，證明：數列的前n項和公式為．(3)設數列是一個三階等差數列，其前面的若干項為1，2，8，22，47，86，…，求數列的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）數列的通項公式為，設數列的一階差數列為，則，即，所以數列的一階差數列為，所以的1階差數列是一個以為首項，2為等差的等差數列，則的2階差數列是一個以2為首項的常數列，根據二階等差數列定義可知數列是二階等差數列.（2）證明：．∵，∴，∴．證畢．（3）計算的各階等差數列，設的一階差數列為，二階差數列為，三階差數列為，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．∵是一個三階等差數列，∴是一個常數列，．∵，，2，…，∴，∴．同理可解得，故．【點睛】關鍵點點睛：先計算出的各階等差數列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出數列的通項公式1．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數時，，，當時，，因此，當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數時，，當時，，因此，當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.2．（2023·全國甲卷·高考真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據即可求出；（2）根據錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．3．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據二次函數的性質計算可得．【詳解】（1）因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數列．（2）[方法一]：二次函數的性質由（1）可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時，．[方法二]：【最優解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，即有.則當或時，．4．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴5．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設數列的公差為，根據題意列出方程組即可證出；（2）根據題意化簡可得，即可解出．【詳解】（1）設數列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數為．6．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數列是等差數列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數列是以為首項，以為公差等差數列;[方法二]【最優解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數列是以為首項，為公差的等差數列．[方法三]：

由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當時，．故數列是以為首項，為公差的等差數列．[方法四]：數學歸納法

由已知，得，，，，猜想數列是以為首項，為公差的等差數列，且．下面用數學歸納法證明．當時顯然成立．假設當時成立，即．那么當時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數列是以為首項，為公差的等差數列．（2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.7．（2021·全國·高考真題）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數列是等差數列：②數列是等差數列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】證明過程見解析【分析】選①②作條件證明③時，可設出，結合的關系求出，利用是等差數列可證；也可分別設出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關系，對照系數，得到等量關系，進行證明.選①③作條件證明②時，根據等差數列的求和公式表示出，結合等差數列定義可證；選②③作條件證明①時，設出，結合的關系求出，根據可求，然后可證是等差數列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數法+與關系式設，則，當時，；當時，；因為也是等差數列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系數法設等差數列的公差為d，等差數列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立．則有，解得．所以．選①③作條件證明②：因為，是等差數列