人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE32.5.2圓與圓的位置關系課標要求素養要求1.能根據給定的圓的方程判斷圓與圓的位置關系.2.掌握圓與圓的位置關系的代數判定方法與幾何判定方法.3.能利用圓與圓的位置關系解決有關問題.通過圓與圓的位置關系的判定及解決相關問題，進一步提升數學抽象及數學運算素養.新知探究觀察下面這些生活中常見的圖形，感受一下圓與圓之間有哪些位置關系？問題圓與圓之間有幾種位置關系？〖提示〗圓與圓有五種位置關系分別是外離、外切、相交、內切、內含五種.1.兩圓之間的位置關系注意兩圓相切包含兩種情形即外切與內切，解題時一定要分清(1)兩圓相交，有兩個公共點；(2)兩圓相切，包括外切與內切，只有一個公共點；(3)兩圓相離，包括外離與內含，沒有公共點.2.用幾何法判斷圓與圓的位置關系判斷兩圓的位置關系常用幾何法，一般不采用代數法已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).則兩圓C1，C2有以下位置關系：位置關系外離內含相交內切外切圓心距與半徑的關系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2圖示3.用代數法判定圓與圓的位置關系已知兩圓：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，將方程聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.))消去y(或x)得到關于x(或y)的一元二次方程，則(1)判別式Δ>0時，C1與C2相交.(2)判別式Δ＝0時，C1與C2外切或內切.(3)判別式Δ<0時，C1與C2外離或內含.拓展深化〖微判斷〗1.如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，則兩圓外切.(×)〖提示〗只有一組實數解時可能外切也可能內切.2.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(×)〖提示〗當兩圓圓心距小于兩圓半徑之和且大于兩圓半徑之差的絕對值時兩圓相交.3.從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(×)〖提示〗只有兩圓相交時得到的二元一次方程才是公共弦所在的直線方程.〖微訓練〗1.圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為()A.內切 B.相交C.外切 D.外離〖解析〗圓心距d＝eq\r(（－2－2）2＋（0－1）2)＝eq\r(17).由于3－2<d<2＋3.故選B.〖答案〗B2.兩圓x2＋y2＝r2與(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，則r的值是()A.eq\r(10) B.eq\r(5)C.5 D.eq\f(\r(10),2)〖解析〗由題意可知eq\r(（3－0）2＋（－1－0）2)＝2r，∴r＝eq\f(\r(10),2).〖答案〗D〖微思考〗1.當兩圓的方程組成的方程組無解時，兩圓是否一定外離？〖提示〗當兩圓的方程組成的方程組無解時，兩圓可能外離也可能內含.2.在外離、外切、相交、內切和內含的位置關系下，兩圓的公切線條數分別為多少？〖提示〗兩圓外離時有四條公切線，當兩圓外切時有三條公切線，當兩圓相交時有兩條公切線，當兩圓內切時只有一條公切線，當兩圓內含時無公切線.題型一兩圓的位置關系角度1兩圓位置關系的判斷〖例1－1〗(1)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是()A.內切 B.相交C.外切 D.外離(2)已知圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，則這兩個圓的公切線的條數為()A.1或3B.4C.0D.2〖解析〗(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0，))得兩交點分別為(0，0)，(－a，a).∵圓M截直線所得線段的長度為2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋（－a）2)＝2eq\r(2)，又a>0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心為M(0，2)，半徑為r1＝2.又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為N(1，1)，半徑為r2＝1，∴|MN|＝eq\r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴兩圓相交.(2)由圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝eq\f(1,4)，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，r1＝1，r2＝eq\f(1,2)，∴|C1C2|＝eq\r(（2－1）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(2).則r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴圓C1與圓C2相交.故這兩個圓的公切線共2條.〖答案〗(1)B(2)D角度2已知兩圓位置關系求參數〖例1－2〗當a分別為何值時，兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外離？解將兩圓方程化為標準方程，則C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.設兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)當d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－5或a＝2；(2)當1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25時，兩圓相交，此時－5<a<－2或－1<a<2；(3)當d>5，即2a2＋6a＋5>25時，兩圓外離，此時a>2或a<－5.規律方法(1)判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟：①將圓的方程化成標準方程，寫出圓心和半徑.②計算兩圓圓心的距離d.③通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可數形結合.(2)應用幾何法判定兩圓的位置關系或求參數的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系.〖訓練1〗圓(x－4)2＋y2＝9和圓x2＋(y－3)2＝4的公切線有()A.1條 B.2條C.3條 D.4條〖解析〗圓(x－4)2＋y2＝9的圓心為(4，0)，半徑等于3，圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為(0，3)，半徑等于2.兩圓的圓心距等于eq\r(42＋32)＝5＝2＋3，兩圓相外切，故兩圓的公切線的條數為3，故選C.〖答案〗C題型二兩圓相切問題〖例2〗已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________.〖解析〗設圓C的半徑為r，又圓心距d＝eq\r(（4－0）2＋（－3－0）2)＝5，∴當圓C與圓O外切時，r＋1＝5，r＝4，當圓C與圓O內切時，r－1＝5，r＝6，∴圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.〖答案〗(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36規律方法處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內切還是外切兩種情況討論.(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時).〖訓練2〗若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于()A.21 B.19C.9 D.－11〖解析〗C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.∵C1，C2兩圓的圓心分別為(0，0)，(3，4)，∴兩圓圓心距d＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，又兩圓半徑分別為1，eq\r(25－m)，則d＝r1＋r2，即5＝1＋eq\r(25－m)，解得m＝9.〖答案〗C題型三兩圓相交的有關問題〖例3〗已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判斷兩圓的位置關系.解將兩圓方程配方化為標準方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，則圓C1的圓心為(1，－5)，半徑r1＝5eq\r(2).圓C2的圓心為(－1，－1)，半徑r2＝eq\r(10).又∵|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，r1－r2＝5eq\r(2)－eq\r(10)，∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交.〖探究1〗在例3的條件下，求公共弦所在直線方程.解將兩圓方程相減，得公共弦所在直線方程為x－2y＋4＝0.〖探究2〗在例3的條件下，求公共弦的長度.解法一圓C1的圓心為(1，－5)，其到公共弦所在直線x－2y＋4＝0的距離d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq\r(5)，∴公共弦長l＝2eq\r(req\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).法二設兩圓相交于點A，B，則A，B兩點的坐標滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5)，即公共弦長為2eq\r(5).規律方法處理兩圓相交的有關問題的方法(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時，才能如此求解，否則應先調整系數.(2)求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解.〖訓練3〗求圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直線l被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)截得的弦長.解由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2的公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0.又圓C3的圓心坐標為(1，1)，其到直線l的距離為d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，所以所求弦長為2eq\r(\f(25,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(23).一、素養落地1.通過本節課的學習，重點提升數學抽象及數學運算素養.2.判斷兩圓的位置關系的方法：(1)(代數法)由兩圓的方程組成的方程組有幾個實數解確定，這種方法計算量比較大，一般不用.(2)(幾何法)依據圓心距與兩圓半徑長的和或兩半徑的差的絕對值的大小關系.3.若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程.4.求弦長時，常利用圓心到弦所在的直線的距離求弦心距，再結合勾股定理求弦長.二、素養訓練1.兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關系是()A.內切 B.相交C.外切 D.外離〖解析〗圓x2＋y2－1＝0的圓心為C1(0，0)，半徑r1＝1，圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圓心為C2(2，－1)，半徑r2＝3，兩圓心距離d＝|C1C2|＝eq\r(（2－0）2＋（－1－0）2)＝eq\r(5)，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故兩圓相交.〖答案〗B2.圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋(y－3)2＝1的內公切線有且僅有()A.1條 B.2條C.3條 D.4條〖解析〗由圓的方程易知，圓心距為3，半徑之和為2，故兩圓外離，內公切線條數為2.〖答案〗B3.若圓x2＋y2－m＝0與圓x2＋y2－4x－5＝0內切，則m的值是________.〖解析〗把圓x2＋y2－m＝0與圓x2＋y2－4x－5＝0分別化為標準方程得：x2＋y2＝m，(x－2)2＋y2＝9，故圓心坐標分別為(0，0)和(2，0)，半徑分別為R＝eq\r(m)和r＝3.則圓心之間的距離d＝2，|R－r|＝|eq\r(m)－3|，由兩圓內切，得|eq\r(m)－3|＝2，∴m＝1或25.〖答案〗1或254.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2eq\r(3)，則a＝________.〖解析〗將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為y＝eq\f(1,a)，圓心(0，0)到直線y＝eq\f(1,a)的距離為d＝eq\f(1,a)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，所以a＝1.〖答案〗15.已知圓C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求兩圓的公共弦所在直線的方程及弦長.解把圓C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0和圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0的方程相減，可得兩圓的公共弦所在直線的方程為x＋y－3＝0.由于圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即圓C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，故圓心C2(1，1)，半徑r2＝eq\r(2)，求得點C2到公共弦所在的直線的距離d＝eq\f(|1＋1－3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故公共弦的長為2eq\r(req\o\al(2,2)－d2)＝2eq\r(2－\f(1,2))＝eq\r(6).三、審題答題(示范三)圓與圓相交的連心線問題〖典型示例〗(12分)已知圓C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0與圓C2：x2＋y2－6x－y－9＝0.(1)求證：這兩個圓相交①；(2)求這兩個圓公共弦②所在直線的方程；(3)在平面上找一點P，過P點引這兩個圓的切線并使它們的長都等于6eq\r(2).聯想解題看到①想到利用兩圓的圓心距與兩圓半徑大小關系比較，本題只需兩圓圓心距小于兩圓半徑之和，大于兩圓半徑之差的絕對值即可.看到②求兩圓的公共弦所在直線方程，直接利用兩圓方程相減即可.滿分示范(1)證明將圓C1，C2化為標準方程分別為圓C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10，圓C2：(x－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(73,4).∴C1(2，1)，C2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，r1＝eq\r(10)，r2＝eq\f(\r(73),2).2分∵兩圓圓心距|C1C2|＝eq\r(（2－3）3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，4分且eq\f(\r(73),2)－eq\r(10)<eq\f(\r(5),2)<eq\f(\r(73),2)＋eq\r(10)，∴圓C1與圓C2相交.6分(2)解聯立兩個圓的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－2y－5＝0，,x2＋y2－6x－y－9＝0，))相減得這兩個圓公共弦所在直線方程為2x－y＋4＝0.8分(3)解設點P(x，y)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PC1|2－req\o\al(2,1)＝（6\r(2)）2，,|PC2|2－req\o\al(2,2)＝（6\r(2)）2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－2y－5＝（6\r(2)）2，,x2＋y2－6x－y－9＝（6\r(2)）2，))10分解方程組得點P(3，10)或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，－\f(26,5))).12分滿分心得(1)利用這兩個圓的連心線長(圓心距)與這兩個圓的半徑之和、半徑之差的絕對值之間的大小進行證明.(2)將兩圓相減即求得公共弦所在直線的方程.(3)利用圓的切線長公式列方程組求解即可.2.5.2圓與圓的位置關系課標要求素養要求1.能根據給定的圓的方程判斷圓與圓的位置關系.2.掌握圓與圓的位置關系的代數判定方法與幾何判定方法.3.能利用圓與圓的位置關系解決有關問題.通過圓與圓的位置關系的判定及解決相關問題，進一步提升數學抽象及數學運算素養.新知探究觀察下面這些生活中常見的圖形，感受一下圓與圓之間有哪些位置關系？問題圓與圓之間有幾種位置關系？〖提示〗圓與圓有五種位置關系分別是外離、外切、相交、內切、內含五種.1.兩圓之間的位置關系注意兩圓相切包含兩種情形即外切與內切，解題時一定要分清(1)兩圓相交，有兩個公共點；(2)兩圓相切，包括外切與內切，只有一個公共點；(3)兩圓相離，包括外離與內含，沒有公共點.2.用幾何法判斷圓與圓的位置關系判斷兩圓的位置關系常用幾何法，一般不采用代數法已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).則兩圓C1，C2有以下位置關系：位置關系外離內含相交內切外切圓心距與半徑的關系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2圖示3.用代數法判定圓與圓的位置關系已知兩圓：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，將方程聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.))消去y(或x)得到關于x(或y)的一元二次方程，則(1)判別式Δ>0時，C1與C2相交.(2)判別式Δ＝0時，C1與C2外切或內切.(3)判別式Δ<0時，C1與C2外離或內含.拓展深化〖微判斷〗1.如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，則兩圓外切.(×)〖提示〗只有一組實數解時可能外切也可能內切.2.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(×)〖提示〗當兩圓圓心距小于兩圓半徑之和且大于兩圓半徑之差的絕對值時兩圓相交.3.從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(×)〖提示〗只有兩圓相交時得到的二元一次方程才是公共弦所在的直線方程.〖微訓練〗1.圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為()A.內切 B.相交C.外切 D.外離〖解析〗圓心距d＝eq\r(（－2－2）2＋（0－1）2)＝eq\r(17).由于3－2<d<2＋3.故選B.〖答案〗B2.兩圓x2＋y2＝r2與(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，則r的值是()A.eq\r(10) B.eq\r(5)C.5 D.eq\f(\r(10),2)〖解析〗由題意可知eq\r(（3－0）2＋（－1－0）2)＝2r，∴r＝eq\f(\r(10),2).〖答案〗D〖微思考〗1.當兩圓的方程組成的方程組無解時，兩圓是否一定外離？〖提示〗當兩圓的方程組成的方程組無解時，兩圓可能外離也可能內含.2.在外離、外切、相交、內切和內含的位置關系下，兩圓的公切線條數分別為多少？〖提示〗兩圓外離時有四條公切線，當兩圓外切時有三條公切線，當兩圓相交時有兩條公切線，當兩圓內切時只有一條公切線，當兩圓內含時無公切線.題型一兩圓的位置關系角度1兩圓位置關系的判斷〖例1－1〗(1)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是()A.內切 B.相交C.外切 D.外離(2)已知圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，則這兩個圓的公切線的條數為()A.1或3B.4C.0D.2〖解析〗(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0，))得兩交點分別為(0，0)，(－a，a).∵圓M截直線所得線段的長度為2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋（－a）2)＝2eq\r(2)，又a>0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心為M(0，2)，半徑為r1＝2.又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為N(1，1)，半徑為r2＝1，∴|MN|＝eq\r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴兩圓相交.(2)由圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝eq\f(1,4)，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，r1＝1，r2＝eq\f(1,2)，∴|C1C2|＝eq\r(（2－1）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(2).則r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴圓C1與圓C2相交.故這兩個圓的公切線共2條.〖答案〗(1)B(2)D角度2已知兩圓位置關系求參數〖例1－2〗當a分別為何值時，兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外離？解將兩圓方程化為標準方程，則C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.設兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)當d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－5或a＝2；(2)當1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25時，兩圓相交，此時－5<a<－2或－1<a<2；(3)當d>5，即2a2＋6a＋5>25時，兩圓外離，此時a>2或a<－5.規律方法(1)判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟：①將圓的方程化成標準方程，寫出圓心和半徑.②計算兩圓圓心的距離d.③通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可數形結合.(2)應用幾何法判定兩圓的位置關系或求參數的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系.〖訓練1〗圓(x－4)2＋y2＝9和圓x2＋(y－3)2＝4的公切線有()A.1條 B.2條C.3條 D.4條〖解析〗圓(x－4)2＋y2＝9的圓心為(4，0)，半徑等于3，圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為(0，3)，半徑等于2.兩圓的圓心距等于eq\r(42＋32)＝5＝2＋3，兩圓相外切，故兩圓的公切線的條數為3，故選C.〖答案〗C題型二兩圓相切問題〖例2〗已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________.〖解析〗設圓C的半徑為r，又圓心距d＝eq\r(（4－0）2＋（－3－0）2)＝5，∴當圓C與圓O外切時，r＋1＝5，r＝4，當圓C與圓O內切時，r－1＝5，r＝6，∴圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.〖答案〗(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36規律方法處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內切還是外切兩種情況討論.(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時).〖訓練2〗若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于()A.21 B.19C.9 D.－11〖解析〗C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.∵C1，C2兩圓的圓心分別為(0，0)，(3，4)，∴兩圓圓心距d＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，又兩圓半徑分別為1，eq\r(25－m)，則d＝r1＋r2，即5＝1＋eq\r(25－m)，解得m＝9.〖答案〗C題型三兩圓相交的有關問題〖例3〗已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判斷兩圓的位置關系.解將兩圓方程配方化為標準方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，則圓C1的圓心為(1，－5)，半徑r1＝5eq\r(2).圓C2的圓心為(－1，－1)，半徑r2＝eq\r(10).又∵|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，r1－r2＝5eq\r(2)－eq\r(10)，∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交.〖探究1〗在例3的條件下，求公共弦所在直線方程.解將兩圓方程相減，得公共弦所在直線方程為x－2y＋4＝0.〖探究2〗在例3的條件下，求公共弦的長度.解法一圓C1的圓心為(1，－5)，其到公共弦所在直線x－2y＋4＝0的距離d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq\r(5)，∴公共弦長l＝2eq\r(req\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).法二設兩圓相交于點A，B，則A，B兩點的坐標滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5)，即公共弦長為2eq\r(5).規律方法處理兩圓相交的有關問題的方法(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時，才能如此求解，否則應先調整系數.(2)求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解.〖訓練3〗求圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直線l被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)截得的弦長.解由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2的公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0.又圓C3的圓心坐標為(1，1)，其到直線l的距離為d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，所以所求弦長為2eq\r(\f(25,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(23).一、素養落地1.通過本節課的學習，重點提升數學抽象及數學運算素養.2.判斷兩圓的位置關系的方法：(1)(代數法)由兩圓的方程組成的方程組有幾個實數解確定，這種方法計算量比較大，一般不用.(2)(幾何法)依據圓心距與兩圓半徑長的和或兩半徑的差的絕對值的大小關系.3.若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程.4.求弦長時，常利用圓心到弦所在的直線的距離求弦心距，再結合勾股定理求弦長.二、素養訓練1.兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關系是()A.內切 B.相交C.外切 D.外離〖解析〗圓x2＋y2－1＝0的圓心為C1(0，0)，半徑r1＝1，圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圓心為C2(2，－1)，半徑r2＝3，兩圓心距離d＝|C1C2|＝eq\r(（2－0）2＋（－1－0）2)＝eq\r(5)，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故兩圓相交.〖答案〗B2.圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋(y－3)2＝1的內公切線有且僅有()A.1條 B.2條C.3條 D.4條〖解析〗由圓的方程易知，圓心距為3，半徑之和為2，故兩圓外離，內公切線條數為2.〖答案〗B3.若圓x2＋y2－m＝0與圓x2＋y2－4x－5＝0內切，則m的值是________.〖解析〗把圓x2＋y2－m＝0與圓x2＋y2－4x－5＝0分別化為標準方程得：x2＋y2＝m，(x－2)2＋y2＝9，故圓心坐標分別為(0，0)和(2，0)，半徑分別為R＝eq\r(m)和r＝3.則圓心之間的距離d＝2，|R－r|＝|eq\r(m)－3|，由兩圓內切，得|eq\r(m)－3|＝2，∴m＝1或25.〖答案〗1或254.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2eq\r(3)，則a＝________.〖解析〗將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為y＝eq\f(1,a)，圓心(0，0)到直線y＝eq\f(1,a)的距離為d＝eq\f(1,a)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，所以