重難點02規律型問題探究（數式或圖形規律、旋轉問題、

平移或翻滾型、漸變型）

題型解篌?模型構建.?真題強化制練?模擬通關試練

、@時婪解讀

規律性問題的結論不是直接給出，而是給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形，或是給出圖形有

關的操作變化過程，或某一具體的問題情境等，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規律，進而歸納

或猜想出一般性的結論。這類題的解題策略是：由特例觀察、分析、歸納一般規律，然后利用規律解決問

題。具體思維過程是“特殊—一般--特殊”。這類問題體現了“特殊與一般”的數學思想方法，解答時往往

體現“探索、歸納、猜想”等思維特點，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。

o模翅的建

模型01數式或圖形規律

考?而i預T測

數與式、圖形的規律問題該題型主要以選擇、填空形式出現，難度系數不大，需要學生學會分析各式

或圖形中的“變”與“不變”的規律一一重點分析“怎樣變”，應結合各式或圖形的序號進行前后對比

分析。主要考查學生閱讀理解、觀察圖形的變化規律的能力，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規

律，利用規律解決問題.

答?題?技?巧

i.讀懂題意，標序號;

2.根據已有規律模仿或歸納推導隱藏規律，析各式或圖形中的“變”與“不變”的規律一一重點分析“怎

樣變”；

3.猜想規律與“序號”之間的對應關系，并用關于“序號”的式子表示出來；

4.驗證所歸納的結論，利用所學數學知識解答；

［題型不停T

1.（2024?山東）觀察下列等式：7。=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

根據其中的規律可得7。+7】+72+…+72。24的結果的個位數字是.

【答案】1

【分析】本題考查了有理數乘方的規律型問題，根據已知等式正確發現個位數字的變化規律是解題關鍵.

先根據已知等式發現個位數字是以1,7,9,3為一循環，再根據2024+1=4X506+1即可得.

【詳解】因為7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

所以個位數字是以1,7,9,3為一循環，且1+7+9+3=20,

又因為2024+1=4x506+1,506x20+1=10121,

所以7。4-71+72+…+72。24的結果的個位數字是1,

故答案為：1.

）支式

1.按一定規律排列的一組數據：j1-5，白，....則按此規律排列的第10個數是（）

Z521/ZoJ/

AA.---1-9Bc.—21C-.---1-9D.r—21

1011018282

【答案】A

【分析】把第3個數轉化為：高，不難看出分子是從1開始的奇數，分母是4+1,且奇數項是正，偶數項

是負，據此即可求解.

【詳解】原數據可轉化為：357911

5'1017‘26’37

2x1-1

■■-I=(-ILX

12+1

—三=(一1)2+1、筆二,

5'/22+1

5/xQ-L-I2x3—1

—=(-1)3+1X——,

10k732+1

???第”個數為：（T）"+ix署，

???第10個數為：（-1>°+1義注二=-型.

''102+1101

故選：A.

34

2.按一定規律排列的單項式：5a,8a2,na,14a,....則按此規律排列的第n個單項式為.（用

含有"的代數式表示）

【答案】（3n+2）a"

【分析】根據系數和字母的次數與單項式的序號關系寫出即可.

【詳解】解：5a系數為3x1+2=5,次數為1；

8a2系數為3x2+2=8,次數為2；

11。3系數為3x3+2=11,次數為3；

14a4系數為3x4+2=14,次數為4；

二第"個單項式的系數可表示為：3九+2,字母。的次數可表示為："，

.?.第n個單項式為：（3n+2）an.

3.正偶數2,4,6,8,10,按如下規律排列，

2

46

81012

14161820

則第27行的第21個數是.

【答案】744

【分析】由題意知，第"行有"個數，第”行的最后一個偶數為"（”+1）,計算出第27行最后一個偶數,

再減去與第21位之差即可得到答案.

【詳解】由題意知，第〃行有w個數，第"行的最后一個偶數為〃（〃+1）,

???第27行的最后一個數，即第27個數為27x28=756,

.?.第27行的第21個數與第27個數差6位數，即756-2X6=744,

故答案為：744.

4.1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表

稱為“楊輝三角

1（a+by=a+b

1121]（a+b）2=a2+2ab+〃

1331（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641

（。+6）4="+4。36+6/〃+4"3+64

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，（a+6）7展開的多項式中各項系數之和為

【答案】128

【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結果.

【詳解】根據題意得：（a+匕）5展開后系數為：1,5,10,10,5,1,

系數和：1+5+10+10+5+1=32=25,

（a+b）6展開后系數為：1,6,15,20,15,6,1,

系數和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,

（a+b）7展開后系數為：1,7,21,35,35,21,7,1,

系數和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,

故答案為：128.

【答案】B

【分析】分別分析W的規律、〃的規律、q的規律，再找〃、p、q之間的聯系即可.

【詳解】解：根據圖中數據可知：

n=1,2,3,4,.......

p—I2,22,32,42,.......

q=22-1,32-1,42-1,52-1..........

則P=n2,q=（71+1）2—1,

???第n個圖中的q=143,

■,-q=（n+I）2-1=143,

解得：n=11或n=-13（不符合題意，舍去）

2

??P—n=121,

故選：B.

6.下列各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據此規律，x的值為（）

【答案】C

【分析】由觀察發現每個正方形內有：2x2=4,2X3=6,2X4=8,可求解b,從而得到a,再利用a,6,x之

間的關系求解x即可.

【詳解】解：由觀察分析：每個正方形內有：

2x2=4,2X3=6,2x4=8,

???2b=18,

???b=9,

由觀察發現：a=8,

又每個正方形內有：

2x4+1=9,3X6+2=20,4義8+3=35,

???18b+a=x,

?,?%=18x9+8=170.

故選C.

7.如圖，在2x2的網格內各有4個數字，各網格內數字都有相同的規律，。為（）

122436

11310527

A.990B.9900C.985D.9850

【答案】D

【分析】本題主要考查數字規律，根據方格先求的進一步求得b,則可求得c.

【詳解】解：觀察網格圖中的數字可以發現：

a=100+2=50,

b=100-1=99,

c=100Z)-a=100x99-50=9850,

故選：D.

模型02旋轉型問題

潼而荀才....................

該題型也主要以選擇、填空的形式出現，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規律得到

一般的規律（如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱坐標的變化規律等）。主要考查對點

的坐標變化規律，一般我們需要結合所給圖形，找到點或圖形的變化規律或者周期性，最后利用正確

運用數的運算。

答|題|技|巧

1.觀察點或圖形的變化規律，根據圖形的變化規律求出已知關鍵點的坐標；

2.分析變化規律得到一般的規律看是否具有周期性（如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱

坐標的變化規律等）；

3.周期性的求最小周期看余數，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發現規律，根據最后的變化次數或者

運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限，或與哪個關鍵點的橫縱坐標相等；

4.利用有理數的運算解題；

［題型守停I

（2023?四川）如圖所示，矩形A30C的頂點。為坐標原點，BC=2,對角線Q4在第二象限的

角平分線上.若矩形從圖示位置開始繞點0以每秒45。的速度順時針旋轉，則第2025秒時，點A的對應坐

標為（）

A.（2,0）B.（O,2）C.（忘，忘）D.（-72,-72）

【答案】B

【詳解】

解：,??四邊形A30c是矩形，

:.OA=BC=2,

,?,每秒旋轉45。，8次一個循環，2025+8=253……1,

.?.第2025秒時，點A的對應點AO25落在丁軸正半軸上,

.??點/E5的坐標為（。，2）.

故選：B.

＞支式

1.數學家高斯推動了數學科學的發展,被數學界譽為"數學王子”,據傳，他在計算1+2+3+4+-+100時,

用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到1+2+3+4+…+100=人們借助于這樣的

方法，得到1+2+3+4+…+n=硬羅"是正整數）.有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系

列格點4（陽,%）,其中i=1,23…，均…，且冷％是整數.記@n=%7i+yn，如/式0,0）,即的=0,&（1,0）,

即與=1，4（1，-1），即臼=0,…，以此類推.則下列結論正確的是（）

-,-

444

7y

廠141

N4/1/

21

-14一

0—2

lHr1

54%_4

“

3?

d

4-1

一

?一44

-1-5

A.。2023=40B.。2024=43C.。（2九一1）2=2九—6D.a（2n-l'）2=2幾—4

【答案】B

【分析】利用圖形尋找規律4（2方1）2（＞-1，九一1），再利用規律解題即可.

【詳解】解：第1圈有1個點，即a（0,0）,這時的=0；

第2圈有8個點，即出到

第3圈有16個點,即4o到45（2,2）,;

依次類推，第n圈，4（271T產何一1,n-1）;

由規律可知：4023是在第23圈上,且4O25（22,22）,貝1!&O23（2O,22）即02023=20+22=42,故A選項不

正確；

人2024是在第23圈上，且力2024（21,22）,即￡12024=21+22=43,故B選項正確；

第n圈，力（2n-i）z（n—l,n—1）,所以a（2n_】）2=2n—2,故C、D選項不正確；

故選B.

2.如圖是從原點開始的通道寬度為1的回形圖，。2=1,反比例函數y=：與該回形圖的交點依次記為當、

&、B3.......,貝UB2024的坐標為.

【答案】島,507）

【分析】本題考查了在反比例函數圖象上的點坐標的特征，找規律，找出點坐標的規律是解題的關鍵.分

別寫出前三個回形的點坐標，找出規律，得到第九個回形4個點的規律，分別是（nJ）,（-,n）,（-n,-i）,

(-i,-n),然后找出第2024個點在第幾個回形的第幾個點即可算出答案.

【詳解】由題意可知，反比例函數圖象上點坐標為(%,》，觀察圖象，可以發現:

第1個回形有2個點,

第2個回形有4個點，分別是B3(2,》，B4(|,2),B6(-|,-2)

第3個回形有4個點，分別是%(3,》，B8(|,3),59(-3,-|),A。(，-3)

第n(n22)個回形有4個點,分別是(弭》,(^,n),(-n,-

(2024—2)+4=505…2

505+1+1=507

那么第2024個點在第507個回形的第2個點，那么點坐標為(矗,507)

故答案為：(焉，5。7)

3.在直角坐標系中，點4從原點出發，沿如圖所示的方向運動，到達位置的坐標依次為：4(1,0),4

(1,1),4(-1,1),4(-1,-1),A6(2,-1),A7(2,2),....若到達終點An(506,-505),則

n的值為.

5-

415

3

110X

[43由4

【答案】2022

【分析】終點上(506,-505)在第四象限，尋找序號與坐標之間的關系可求n的值.

【詳解】解：???(506,—505)是第四象限的點，

???4(506,-505)落在第四象限.

二在第四象限的點為上(2,-1),&o(3,-2),&J*-3),,4t(506,-505).

,<*6=4X|-1|+2,10=4X|-2|+2，14=4X|-3|+2,18=4x|-4|+2,…，

??-n=4x|-505|+2=2022.

故答案為：2022

3.如圖，四邊形OABCi是正方形，曲線C】C2c3c4c5…叫作”正方形的漸開線”，其中的電，CJQ，C式4,整5,…

的圓心依次按0,4B,G循環.當。4=1時，點C2023的坐標是()

A.(-1,-2022)B.(—2023,1)C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【答案】A

【分析】由題得點的位置每4個一循環，經計算得出C2O23在第三象限，與C7,Ci1，…符合同一規律，

探究出C3,C7,Gi，...的規律即可.

【詳解】解：由圖得C1(O,

1),C2(l,0),C3(-l,-2),C4(-4,0),C5(0,5),C6(5,0),C7(-l,-

6),...

點C的位置每4個一循環，

2023=505x4+3,

.??。2023在第三象限，與。3,。7,61，…

符合規律(―1,-n+l)-

；。2023坐標為(—1)—2022).

故選：A.

4.在平面直角坐標系中，A/lOB為等邊三角形，點4的坐標為(1,0).把AAOB按如圖所示的方式放置，并

將440B進行變換：第一次變換將△40B繞著原點O順時針旋轉60。，同時邊長擴大為44。8邊長的2倍,

得到AaiOBi；第二次旋轉將小人。/繞著原點。順時針旋轉60。，同時邊長擴大為AaiOBi，邊長的2倍,

得到△&0B2，....依次類推，得到△42033。82033，則△42023°B2033的邊長為，點4()23的坐標

為.

小烈a

【答案】22023(22O22,-V3X22022)

【分析】根據旋轉角度為60。，可知每旋轉6次后點4又回到x軸的正半軸上，故點4023在第四象限，且

。/12023=22023,即可求解.

【詳解】解：???△AOB為等邊三角形，點A的坐標為(L0)，

-,-OA=1,

??,每次旋轉角度為60。,

.?.6次旋轉360°,

第一次旋轉后，&在第四象限，。&=2,

第二次旋轉后，42在第三象限，。4=22,

第三次旋轉后，4在X軸負半軸，。4=23,

第四次旋轉后，4在第二象限，。&=23

第五次旋轉后，為在第一象限，。&=25,

第六次旋轉后，兒在為軸正半軸，。4=26,

如此循環，每旋轉6次，點4的對應點又回到x軸正半軸,

???2023+6=337---1,

點4023在第四象限，且。4023=22°23,

如圖，過點人2023作^2023“±X軸于"，

在Rt△O/L42023中，NH。42023=60°,

■■-OH=OA-22023X600=22023xj=22022,

2023COS^HOA2023=cos

42023“=%2023.sinN”042023=22023Xf=V3X22022)

二點4。23的坐標為(22°22,一百X22022).

20222022

故答案為：22023,(2,-V3X2).

模型03平移或翻滾型

浮向而if..................................

該題型主要以選擇、填空的形式出現，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規律得到一

般的規律（如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱坐標的變化規律等）。主要考查對點的坐標變

化規律，一般我們需要結合所給圖形，找到點或圖形的變化規律或者周期性，最后利用正確運用數的運算

求解。這類問題體現了“特殊與一般”的數學思想方法，解答時往往體現“探索、歸納、猜想”等思維特

點，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。

答I題I技I巧

1.觀察點或圖形的變化規律，根據圖形的變化規律得出具體數量的變化規律；

2.分析變化規律得到一般的規律看是否具有周期性（如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱

坐標的變化規律等）；

3.周期性的求最小周期看余數，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發現規律，根據最后的變化次數或者

運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限，或與哪個關鍵點的橫縱坐標相等；

I題型不例

＞哀創1.如圖，NAOfi=60。，點4在射線。4上，且。片=1,過點片作交射線OB于&,

在射線Q4上截取片鳥，使過點鳥作交射線于（，在射線Q4上截取5號

使P2P3=P2K2.按照此規律，線段^023^2023的長為

【答案】百（1+省廣

【解析】解直角三角形分別求得P2K2,P3K3,……，探究出規律，利用規律即可解決問題.

10A,

是直角三角形,

在放中，ZA(9B=60°,。片=1,

66=￡&=?tan60。=百，

P[K[1OA,P2K21OA,

6Kl//P2K2,

:.AOP2K2,

.P2K2_OP]

OA'

P,K,_i+G

F二丁’

:+塔,

同理可得：P3K3=6(1+?，舄長4=百(1+百J,

.?/K“=6(1+百「

…Eo23K2023=(1+'

故答案為：73(i+^)2022.

)支式

1.如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點。逆時針旋轉45。后得到正方形04B】G,依此方式,

繞點。連續旋轉2020次得到正方形OA2020a020C2020,如果點A的坐標為(1,0),那么點B2O2O的坐標為()

A.(-1,1)B.(一應，0)C.(-1,-1)D.(0,0)

【答案】C

【解析】根據正方形的性質和旋轉性質可發現規律：點8旋轉后對應的坐標8次一循環，據此解答即可求

解.

【詳解】解：連接。8,

,??四邊形。ABC是正方形，A的坐標為(1,0),

：.OA=AB=OC=BC=1,AOAB=90°,"OB=45",

：.B(1,1),

由勾股定理得：OB=VOA2+AB2=VI2+I2

由旋轉性質得：OB=OB1=OB2=OB3=...=血,

?將正方形0ABe繞點。逆時針連續旋轉45。，相當于將OB繞點。逆時針連續旋轉45°,

二依次得至(kAOB=NBO&=N&OB2=...=45°,

-'-BI(0,y/2),82(—1,1),82(—-J1,0),Ba(—1,—1),Bs(0,—),BeCl,—1),B7(^2,0),Bs

(1,1),......,

發現規律：點B旋轉后對應的坐標8次一循環，

■,■2020=8x252+4,

.點B2020與點以重合，

二點82020的坐標為(-1,—1),

故選：C.

2.如圖，已知菱形OABC的頂點0(0,0),8(2,2),菱形的對角線的交于點D;若將菱形0ABe繞點。逆時

針旋轉，每秒旋轉45。，從如圖所示位置起，經過60秒時，菱形的對角線的交點。的坐標為()

A.(1,1)B.(-1--1)C.(-1,1)D.(1,-1)

【答案】B

【解析】分別過點。和點B作。EJ_x軸于點E,作所，x軸于點尸，根據菱形的性質以及中位線的性質求

得點。的坐標，進而計算旋轉的度數，7.5周，進而根據中心對稱求得點旋轉后的D坐標

【詳解】如圖，分別過點。和點8作。軸于點E,作時軸于點尸，

-DE//BF,

?.?四邊形。1SC為菱形，

二點。為的中點，

.??點E為O尸的中點，

：.DE=-BF,OE=-OF,

22

￡>(1,1)；

由題意知菱形Q4BC繞點0逆時針旋轉度數為：45。義60=2700。,

菱形CMBC繞點。逆時針旋轉2700。+360。=7.5周，

.?.點。繞點。逆時針旋轉7.5周，

???0(1,1),

旋轉60秒時點D的坐標為(-1,-1).

故選B

3.如圖，直線丫=無+1與X軸、y軸分別相交于點A、B,過點3作使3c=254.將AABC繞

點。順時針旋轉,每次旋轉90。.則第2022次旋轉結束時，點C的對應點。落在反比例函數y=幺的圖象上，

則%的值為（）

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】C

【解析】過點C作CDW軸，垂足為。，則ABCD是等腰直角三角形，根據BC=20，確定點C的坐標，第

一次旋轉的坐標，根據第二次旋轉坐標與點C關于原點對稱，第三次旋轉坐標與第一次坐標關于原點對稱，

確定循環節為4,計算2022+4的余數，確定最后的坐標，利用k=橫坐標x縱坐標計算即可.

【詳解】如圖，過點C作CDly軸，垂足為。，

,直線y=x+l與x軸、丫軸分別相交于點A、B,過點8作3CLAB,使BC=2助，

:A（-1,0）,B（0,1）,AB=&,BC=2近,

■■.OA=OB,/-ABO=Z-BAO=/.CBD=Z.DCB=^5°,

：.DC=BD=2,

??.DC=BD=2,OD=OB+BD=3f

二點C（-2,3）,

第一次旋轉的坐標為（3,2）,第二次旋轉坐標與點C關于原點對稱為（2,-3）,第三次旋轉坐標與第一次

坐標關于原點對稱為（-3,-2）,第四次回到起點，

???循環節為4,

???2022+4=505…2,

???第2022次變化后點的坐標為(2,-3),

???k=-3x2=-6,

故選C.

4.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形04A2的直角邊04在y軸的正半軸上，且。4=44=1，

以為直角邊作第二個等腰直角三角形044,以。4為直角邊作第三個等限直角三角。44,…，依此

規律，得到等腰直角三角形0A202/202］，則點八2021的坐標為-

【答案】(0,-2］。1。)

【解析】根據題意，利用等腰直角三角形的性質，勾股定理，坐標系中點與象限的關系，確定一部分點的

坐標，從坐標中尋找規律，再按規律計算即可.

【詳解】解：?.?等腰直角三角形。44的直角邊。4在y軸的正半軸上，且。4=A*2=1,

■■.AI(0,1),A2(1,1)；

根據勾股定理得：OA2=爐手=啦,

OAs=5/2OA2=2，

：.A3(2,0),A4(2,-2),

根據勾股定理得：04=3+22=2近，

..OAs=5/204=4,

.??4(0,-4),

：.A6(-4,-4),

根據勾股定理得：。4=后。4=4e，

''-OA?^-\/Q.OAs=8,

(-8,0),As(_8,-8),

根據勾股定理得：OA8=6OA7=8也，

-''OAg—■OAs=16,

??Ag(0,16),

???坐標的循環節為8,

???2021+8=252...5,

??A她的坐標與4(0,-4)的規律相同,

-4=-22=,

■-A2O21的縱坐標為一2晉=-21010，

.?工23的坐標為(0,-21010),

故答案為：(0,-21010).

5.如圖，邊長為1的正六邊形ABCDE5放置于平面直角坐標系中，邊A3在無軸正半軸上，頂點廠在丁軸

正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點。順時針旋轉，每次旋轉60。，那么經過第2022次旋轉后，頂

點D的坐標為.

【答案】(|,唐)

【解析】連接AD、BD,由勾股定理可得BD,求出/。外=30。，得到。A的值，進而求得。B的值，得到點。

的坐標，由題意可得6次一個循環，即可求出經過第2022次旋轉后，頂點。的坐標.

【詳解】解：如圖，連接AD,BD,

在正六邊形A8CDEF中，AB=1,AD=2,ZABD=90°

BD=>JAD2-AB2=倉――=y/3，

在HAAOF中，AF=I,ZOAF=60°,

■■ZOFA=30°,

.-.OA=-AF=-,

22

3

/.OB=OA+AB=—

2

?將正六邊形ABCDEF繞坐標原點。順時針旋轉，每次旋轉60。，

■??6次一個循環，

???2022+6=337,

???經過第2022次旋轉后，頂點D的坐標與第一象限中。點的坐標相同,

故答案為：g,回

而［而［Mi洞........模..型.0.4..漸.變.型......................

漸變型變化規律題是指在一定條件下，探索發現有關圖形所具有的規律性或不變性的問題，它往往給出了

一組變化了的圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規律，它體現了“特殊到一般”

的數學思想方法，考查了學生分析、解決問題的能力，觀察、聯想、歸納的能力，以及探究能力和創新能

力，題型可涉及填空、選擇或解答。

答|題|技|巧

觀察幾何圖形、根據題中的變化規律進行分析，猜想下面所沒有給出的圖形變化情況、探究圖形的變

化和所求的結果、歸納總結發現規律。

|題型

＞哀倒14.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,連接AC,過點D作DCiLAC于點Ci,以CiA,

CiD為鄰邊作矩形AA1DC1,連接AiCi,交AD于點Oi,過點D作DCzLAiCi于點C2,交AC于點Mi,

以C2A1,C2D為鄰邊作矩形A1A2DC2,連接A2c2,交AiD于點O2,過點D作DC3，A2c2于點C3,交AiCi

于點M2；以C3A2,C3D為鄰邊作矩形A2A3DC3,連接A3c3,交A2D于點O3,過點D作DC4，A3c3于點

C4,交A2c2于點M3…若四邊形AO1C2Ml的面積為S1,四邊形AQ2c3M2的面積為S2,四邊形A2O3C4M3

的面積為S3…四邊形An-10nCn+lMn的面積為Sn,則Sn=.（結果用含正整數n的式子表示）

.43

9x4~i

【答案】5〃+i

【解析】根據四邊形ABCD是矩形，可得AC=正，運用面積法可得DCl=i^=@，進而得出

3手得出吹…“■』（￥『—等?

【詳解】,??四邊形ABCD是矩形，

：.ZB=90°,AD//BC,AD=BC=2,CD=AB=1,

???AC=7AB12+BC2=&+22=75，

VDCfAC=AB*BC,

AB-BC1x22J5

???DCi=------------=F=',

AC5

同理，DC2=*DCI=（氈）2,

55

DC3=（撞）3,

5

（偵）n

DCn=

5

DCIAD

=tanNACD

cqCD

1J5

/.CCi=—DCi=—

25

DC,CD_1

：

tan/CAD=~AD^2

4J5

.,.AiD=ACi=2DCi=—,

5

133A/5

.\AMI=ACI-CiMi=2DCi——DCi=-XDCi=,

225

3

同理，A1M=-XDC,

222

3

A2M3=—XDC3,

2

An-lMn=—XDCn,

2

???四邊形AAiDCi是矩形,

0IA=0ID=0IAI=0ICI=1,

同理；DC2?AICI=AID?DCI,

4A/52S/5

AQ.DC]x4

；.DC2=

AG5-----55

2

在RtADOiC2中，OiC2=“A—℃2=J]2一q)2=|=|DC2,

3

同理，02c3=-DC3,

4

3

03c4=-DC*

4

OnCn+l=-DCn+1,

4

??Si=S四邊形AO?必=‘ADM_S&O[DC2

——XAMiXDCi_—XO1C2XDC2

22

=2DC：

201

9

"25)

9,

同理，S=S,-S=一DC

z2△jDyiMvi20DC20z2

9、/,2^4—9x4

S3=92s6—9x42

^DC；

20'554

9X4“T

5例

＞委K

1.如圖，△。耳4，△4鳥人，…，△A-紇都是一邊在％軸上的等邊三角形，點四,

B2,B3,紇都在反比例函數丁=走（%>0）的圖象上，點A，4,A3,…，An,都在X軸上，則4

X

【解析】如圖，過點&作BiCLx軸于點C,過點B2作B2D，x軸于點D,過點B3作BsELx軸于點E,

AZBiOC=60°,

BC

tanZB,OC=^—=A/3,BiC=J3OC,

OC

設OC的長度為X,則Bl的坐標為（X,氐），代入函數關系式可得：=6

解得，x=l或x=-l(舍去),

.,.OAi=2OC=2,

AAi(2,0)

設AiD的長度為y,同理，BzD為&y,B2的坐標表示為（2+,

代入函數關系式可得（2+,

解得：丫=血-1或丫=-行-1（舍去）

?*,AiD=5/2—1'A-iA?=2-^2—2>OA2=2+2A/2—2=2-\/2

/.A2（2直，0）

設A2E的長度為z,同理，B正為6z,B3的坐標表示為（20+z,gz）,

代入函數關系式可得（2行+z）、Qz=6,

解得：z=V3-V2sKz=-V3-V2（舍去）

：.A正=6-五，A2A3=26-2拒，OA3=2A/2+2A/3-2V2=273

:4（26，0）,

綜上可得：An（2&,0）,

故答案為:（2?案卜

2.如圖，點Bi在直線1：y=《x上，點Bi的橫坐標為2,過點Bi作BiA」l,交x軸于點Ai,以A1B1為

2

邊，向右作正方形A1B1B2C1,延長B2cl交x軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3c2,延長B3c2

交X軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4c3,延長B4c3交X軸于點A4；…；照這個規律進行下

去，則第n個正方形AnB?Bn+iCn的邊長為（結果用含正整數n的代數式表示）.

【解析】設直線y=/x與x軸夾角為a,過Bi作BiHLx軸于H,由點Bi的橫坐標為2,點Bi在直線1：

y=/x上，可得OH=2,BiH=l,OBi二"/+B但2=巡，tana=-^-=J,R〃\AiBiO中，求得AiBi

=OB「tana=Y5,即第1個正方形邊長是Y5,在RtaAzBzO中，求得第2個正方形邊長是逅X孑，在

2222

□△A3B3O中，求得第3個正方形邊長是逅X9=逅義（旦）2,在Rt^A4B4O中，求得第4個正方形邊

2422

長是逅43,……觀察規律即可得：第n個正方形邊長是返X（，1.

282222

解：設直線y=/x與x軸夾角為a,過Bi作BiHLx軸于H,如圖:

???點Bi的橫坐標為2,點Bi在直線1：y=*x上，令x=2得y=l,

?，?OH=2,BiH=1,OBi=y10+B?H=?\/5j

BiH1

tana=-i—

OH2

RtZ\AiBQ中，AiBi=OBi?tana=Y5,即第1個正方形邊長是Y5,

22

+=X3

.".OB2=OBI+BIB2=V5^7-^>

RtZiAzBzO中，A2B2=OB2?tana=Y5X3X」=Y5X3,即第2個正方形邊長是逅X^,

222222

.,.OB3=OB2+B2B3=Y^X3+Y^><3=Yix9,

22222

RtZ\A3B3。中，A3B3=OB3*tana=^-X—X—=J^-X—,即第3個正方形邊長是逅X@=逅義(―)

222242422

.,.OB4=OB3+B3B4=^-X—+2Z§.X—=^.X—,

222424

RtZVuBdO中，A4B4=OB4*tana==J^-X—X—=^-X—,即第4個正方形邊長是逅工=Y5x

24228282

觀察規律可知：第n個正方形邊長是喙xc|)n1

故答案為:夸xg)n-l.

3.如圖，直線/：y=[x+6與X軸相交于點A,與y軸相交于點B,過點8作3G交X軸于點C-

過點作用_Lx軸交/于點用，過點與作片。2_L/交X軸于點。2，過點。2作52c2_Lx軸交/于點與…,

按照如此規律操作下去，則點^2022的縱坐標是.

z.、2022

【答案】g百

【解析】先根據30°的特殊直角三角形，如AAOB,ABAG，ABOCI,片求出B點，Bi點的縱

坐標，發現規律，即可

?；/：y=3X+百

-3

當y=。時，x=—3

當％=0時，y

故A(-3,0),B(0,6)

.??△AOB為30°的直角三角形

：.ZBAO=30°

?：BQ±I

.?.△5AC]為30°的直角三角形

NOC]B=60°

△30C]為30°的直角三角形

2

BC[=OB

耳

'：BC_Lx軸

51cl//BO

：.NBgB=NC]BO

為30°的直角三角形

同理:

OB

w

z\2022zX2022

故：^2022^2022=[gjOB=Jg

z.、2022

故答案為：(—jA/3

4.如圖，一次函數y=x與反比例函數y=2(x>0)的圖象交于點A,過點A作AB_LOA,交x軸于點B；

x

作BAi〃OA,交反比例函數圖象于點Ai；過點Ai作AiBi_LAiB交x軸于點B；再作BIA2〃BAI,交反比

例函數圖象于點A2,依次進行下去，…，則點A2021的橫坐標為.

【答案]42022+42021?

【解析】由一次函數y=x與反比例函數y=.(x>0)的圖象交于點A,可得A(1,1)；易得aOAB是

等腰直角三角形，則OB=2；分別過點A,Ai,A2,作x軸的垂線，垂足分別為C,D,E,則4ABD是等

腰直角三角形，設BD=m,則AiD=m,則Ai(m+2,m),點Ai在反比例函數y」上，可得m的值，求

出點Ai的坐標，同理可得A2的坐標，以此類推，可得結論.

如圖，分別過點A,Ai,A2,作x軸的垂線，垂足分別為C,D,E,

???一次函數y=x與反比例函數y=2(x>0)的圖象交于點A,

x

"y=x

???聯立|1，解得A(1,1),

y-X

??.AC=OC=1,ZAOC=45°,

VAB±OA,

???△OAB是等腰直角三角形，

???OB=2OC=2,

VA1B/7OA,

AZAiBD=45°,

設BD=m,則AiD=m,

.".Ai(m+2,m),

???點Ai在反比例函數y=」上，

x

Am(m+2)=1,解得m=T+(m=-1-負值舍去),

?'?Ai(-^2+1,

VAiBilAiB,

???BBi=2BD=2加-2,

/.061=2^^2-

?.?B1A2〃BA1,

AZA2BIE=45°,

設BiE=t,則A2E=t,

.*.A2(t+2后，t),

丁點A2在反比例函數y=—±,

x

???t(t+2&)=1,解得t=-后+愿，(t=-0-負值舍去),

；.A2他,退-亞），

同理可求得A3（2+J5，2-虎），

以此類推，可得點A202I的橫坐標為12022+42021?

故答案為："2022+42021?

?虞岐煉

1.（2023?湖南）觀察下列等式：7°=L7i=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…，根據其中的

規律可得7°+7〔+7?+…+72°19的結果的個位數字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【解析】

...7°=17=77=49,73=343,7,=24017=16807,…，

個位數4個數一循環，

.（2019+1）-4=505

??，

?-1?+7+9+3=20，

7°+71+7?+…+72°19的結果的個位數字是：0.

故選A.

2.（2022.河南）我們將如圖所示的兩種排列形式的點的個數分別稱作“三角形數”（如1,3,6,10…）和“正

方形數”（如1,4,9,16...）,在小于200的數中，設最大的“三角形數”為m,最大的“正方形數”為n,則

m+n的值為（）

三角形數

A.33B.301C.386D.571

【答案】C

【解析】

由圖形知第n個三角形數為l+2+3+...+n=2,第n個正方形數為

n\ii+1）“（"+1）

當n=19時，2=190<200,當n=20時，2=210>200,

所以最大的三角形數m=190；

當n=14時，n2=196<200,當n=15時，n2=225>200,

所以最大的正方形數n=196,

則m+n=386,

故選C.

3.（2019?甘肅）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第2019個圖

形中共有個O.

O