第1章二次函數

1.1二次函數

教學目標教學反思

1.理解二次函數的概念，體會二次函數的意義.

2.經歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數關系的過程，進一步體

驗如何用數學的方法描述變量之間的數量關系.

教學重難點

重點：經歷探索和表示二次函數關系的過程，獲得二次函數的一般形式.

難點：能夠表示簡單變量之間的二次函數關系.

教學過程

知識回顧

師：大家還記得我們學過哪些函數嗎？

生：正比例函數、一次函數、反比例函數.

一次函數〉=依+5（其中公。是常數，且左W0）,

正比例函數y=Ax（其中左是常數，且左#0）,

反比例函數y=4（其中左是常數，且左W0）.

尤

師：學習這些函數的時候，大家還記得我們是從哪幾個方面探究的嗎？

生：定義、函數的一般形式、函數的圖象和性質、函數在實際問題中的應

用、函數與方程和不等式的關系等.

師：很好，從上面的幾種函數來看，每一種函數都有一般的形式，本節課

我們將再學習一種新的函數.

設計意圖：由復習回顧舊知識入手，通過回顧已經學過的函數的相關知識，

對要探究的新的函數有個明確的方向，讓學生從舊知識中尋找新知識的生長點，

符合認識新事物的規律，由淺入深，由表及里，逐漸深化.

導入新課

多媒體展示圖片.

籃球入框、公園里的噴泉、雨后的彩虹都會形成一條曲線，這些曲線能否

用函數關系式表示？

探究新知

一、預習新知

多媒體展示本節開始的問題

教學反思

某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結600個橙子.現準備多種一些橙子

樹以提高果園產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的

陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子.

師：問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？

生：變量：橙子樹的棵數、橙子樹之間的距離、橙子樹接受陽光的多少、

橙子的個數、橙子的質量等；自變量：橙子樹的棵數、橙子樹之間的距離、橙

子樹接受陽光的多少等；因變量：橙子的個數、橙子的質量等.

師：假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每

棵樹結多少個橙子？

生：如果設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有(100+x)棵橙子樹，平均每

棵樹結(600-5x)個橙子.

師：如果果園橙子的總產量為y個，那么請你寫出y與x之間的關系式.

生：果園橙子的總產量y與x之間的關系式為y=(x+100)(600-5%)=

-5^+100x+60000.

教師引導學生觀察關系式y=-5f+100x+60000中的y是不是x的函數，并

對比所學的函數，感受它們的相同點和不同點.根據函數的定義，y是尤的函數,

自變量x的最高次數是2,所以通過類比，猜想此函數為二次函數.

多媒體展示課本做一做

設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x,一年到期后，銀行將本金和利息自

動按一年定期儲蓄轉存.如果存款額是100元，那么請你寫出兩年后的本息和

y(元)的表達式.

教師讓學生回憶與存款有關的知識：

利息=本金x利率x期數(時間).

本息和=本金+利息.

根據上面的回憶，學生獨立完成，然后小組交流，小組代表展示成果.

y=100(x+1)2=100%2+200x+100.

設計意圖：利用學生熟悉的身邊情境，提出問題逐步引導學生分析題目，

列出關系式，提高學生分析問題的能力，同時培養學生的建模能力.

二、合作探究

課本想一想

問題：兩數的和是20,設其中一個數是x,你能寫出這兩數之積y的表達

式嗎？

讓學生先獨立解答，然后小組討論.

生：y=x(20-無)=-f+20x.

由學生先獨立解決，再小組交流，最后代表展示成果.

讓學生觀察三個式子的共同點：(l)y=-S^+lOOx+eO000；(2)y=

100^?+200^+100；(3)y—~x2+20x.

學生獨立觀察思考后，小組討論，小組代表闡述本組觀點.

共同特點是：這些式子都是自變量的二次多項式.

教師引導學生類比一次函數與反比例函數的表達式，歸納出二次函數的定

教學反思

義及一般形式.

學生總結，教師點評：一般地，若兩個變量無，y之間的對應關系可以表示

成丫=加+法+或。，6,c是常數，aWO)的形式，則稱y是x的二次函數.

教師重點強調幾個注意的問題：(1)等號左邊是變量y,右邊是自變量的

二次多項式；(2)a,b,c為常數，且aWO；(3)等式的右邊最高次數為2,

可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項；(4)》的取值范圍是任意實數.

設計意圖：讓學生通過思考、分析等數學活動，從不同實際背景的實例中

抽象出函數表達式，然后通過觀察共同特征使之經歷概念的形成過程，培養其

抽象思維和歸納概括的能力，感受從特殊到一般的數學思想方法，從而突破本

節課的難點.

典型例題

2

【例】已知關于X的函數是二次函數，求機的值.

【問題探索】已知含參函數的表達式為二次函數，那么二次函數的自變量

及各項系數應該滿足哪些條件？

[m2—m=2,

【解】由題意，得「八解得m=2.

[7/I十1^09

即m的值為2.

【總結】y=cuc-+bx+c為二次函數的前提是且自變量x的最高次數

為2,注意不要忽略二次項系數不為0這一隱含條件.

課堂練習

1.下列表達式中，一定為二次函數的是()

A.y=x-lB.y=a^+bx+c

2

C.s=2a-2什3D.y=—+—

x

2.下列關系中，是二次函數關系的是()

A.當距離s一定時，汽車行駛的時間/與速度u之間的關系

B.在彈性限度內，彈簧的長度y與所掛物體的質量x之間的關系

C.圓的面積S與圓的半徑一之間的關系

D.正方形的周長C與邊長a之間的關系

3.在函數①丁=加+/?%+。，②尸(xT)2-x2,③y=5p3，④y=-f+2中,

x

是y關于1的二次函數的有.(填寫序號)

4.已知函數y=(m2-m)N+(m-1)x+2-2m.

(1)若這個函數是二次函數，求機的取值范圍.

(2)若這個函數是一次函數，求機的值.

(3)這個函數可能是正比例函數嗎？為什么？

參考答案

1.C

2.C

3.@

4.【解】(1)函數y=(m2-m)x2+(m-1)x+2~2m,

若這個函數是二次函數，則源-mWO,解得MWO且加W1.

(2)若這個函數是一次函數，

則加2—7"=0,機-1W0,解得偌=0.教學反思

(3)這個函數不可能是正比例函數，

因為當此函數是一次函數時，機=0,而此時2-2機/0.

課堂小結

布置作業

教材第4頁習題第1,2,3,4題.

板書設計

第1章二次函數

1.1二次函數

1.二次函數的一般形式：y=a^+bx+c{a,b,c是常數，aWO).

2.特殊形式:(l)y=Qf(aWO,b=0,c=0)；(2)y=axL+c(aWO,b=0,c

WO)；(3)y=〃f+Zzx(〃W0,bWO,c=0).

理解二次函數概念的注意事項：(1)表達式是自變量的二次多項式；(2)常數

aWO.

第1章二次函數

1.2二次函數的圖象與性質

第1課時二次函數y=a￡(a>0)的圖象與性質

教學目標教學反思

1.能夠用描點法作出函數丫=。/(a>0)的圖象，并根據圖象認識和理

解其性質.

2.經歷探索二次函數y=ajc2(a>0)的圖象和性質的過程，體會數形結

合的思想和方法.

教學重難點

重點：掌握函數>=加(a>0)的圖象的畫法，認識函數(a>0)

的圖象與性質.

難點：用描點法準確地畫出函數(a>0)的圖象，掌握其性質

特征.

教學過程

導入新課

師：一次函數的圖象是什么？

生：是一條直線.

師：畫函數的圖象的步驟是什么？

生：列表、描點、連線.

師：二次函數的一般形式是什么？

生：y=a>^+bx+c(a,b,c是常數，aWO).

思考下面的問題：

在二次函數中，y隨尤的變化而變化的規律是什么？你想直觀地了解它

的性質嗎？我們先來研究最簡單的二次函數.

教師引導學生復習一次函數與反比例函數中y隨x的變化而變化的規律

及其性質.

可以讓學生先猜想二次函數的圖象及其性質，并與其他同學進行交流.

設計意圖：開門見山，直入正題，既揭示了本節課的主題，又通過對舊

知識的復習，明確了本節課的探究任務.

探究新知

一、預習新知

課前給學生準備好坐標紙

教師引導學生按照畫函數圖象的步驟，在坐標紙中畫出函數的

圖象.

1.列表：觀察的表達式，選擇合適的無值，并計算相應的y值,

填寫下表：

X

y

.描點：在給的坐標紙中描點.

2教學反思

3.連線：用光滑的曲線連接各點.

然后教師展示不同學生所畫的圖象，師生共同總結畫圖過程中出現的錯誤.

教師用多媒體展示函數>=好的圖象.

對于二次函數的圖象提出下列問題：

(1)你能描述圖象的形狀嗎？與同伴進行交流.

(2)圖象與x軸有交點嗎？如果有，交點坐標是什么？

(3)當尤<0時，隨著x值的增大，y的值如何變化？當x>0時呢？

(4)當x取什么值時，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

(5)圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請你找出幾對

對稱點，并與同伴進行交流.

教師要求學生先認真觀察圖象，然后分組完成5個問題，最后小組代表

依次發言.

學生總結，教師點評：二次函數的圖象是一條拋物線，它的開口

方向向上，且關于y軸對稱，圖象與x軸的交點是原點，也是拋物線的頂點，

它是圖象的最低點，坐標為(0,0),當x取。時，y的最小值是0,當x<0

時，y隨尤的增大而減小，當尤>0時，y隨尤的增大而增大.

設計意圖：讓學生結合圖象回答問題，在圖象中找出答案，有助于理解

和記憶，體會數形結合思想.止匕外，通過小組交流解決問題，進一步培養團

結協作能力.

二、合作探究

在坐標紙中畫出函數y=2K的圖象.

要求學生獨立完成，同伴相互檢查，教師巡視，對基礎比較薄弱的學生

進行指導，教師多媒體展示圖象供學生參考.

學生分組討論這三個函數圖象的異同.

總結：(1)都是拋物線，開口方向相同，都向上；(2)對稱軸都是y

軸(或直線尤=0)；(3)頂點都是原點，坐標為(0,0)；(4)當尤<0時，y值

隨x值的增大而減小，當x>0時，y值隨x值的增大而增大；(5)都有最低

點，即原點，函數都有最小值，最小值為0.

典型例題

教學反思

【例】函數是關于x的二次函數.

(1)求滿足條件的m的值；

(2)當初為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點以及當x為何值

時，y隨尤的增大而增大？

【問題探索】要求機的值只需要根據二次函數的性質分情況討論即可.

【解】⑴根據題意,得依|+1=2,解得加=1,刊2=-1,所以滿足條件

的m的值為±1.

(2)當相=1時，拋物線表達式為>=一,拋物線有最低點，為(0,0),

當x>0時，y隨x的增大而增大.

【總結】熟練掌握二次函數的性質是解決本題的關鍵.

課堂練習

1.已知二次函數>=記的圖象過點(小6),則它必過的另一點是()

A.(a,-b)B.(-a,b)

C.(~a,-Z?)D.(b,a)

2.已知a<-l,點3T,yi),(a,j2),(a+1,”)都在函數的圖象上,

貝久)

A.yi<j2<j3B.yi%勺2

C.〉3勺2勺1D"勺1勺3

3.如圖，觀察函數y=(上3)%2的圖象，則k的取值范V

圍是——.?、

4.已知拋物線y=]N經過點(a,4.5)和(-a,yi),則yiVop

的值是.

5.(1)y=3N的圖象是

(2)的圖象是.

參考答案

1.B

2.C

3.k>3

4.4.5

5.(1)②，⑵①

課堂小結

布置作業教學反思

教材第7頁練習第1,2題.

板書設計

1.2二次函數的圖象與性質

第1課時二次函數>(a>Q)的圖象與性質

y=x2,y=-^x2,三個函數圖象的共同點：

(1)都是拋物線，開口方向相同，都向上；

(2)對稱軸都是y軸(或直線x=0)；

(3)頂點都是原點，坐標為(0,0)；

(4)x<0時，y值隨x值的增大而減小，尤>0時，y值隨x值的增大而

增大；

(5)都有最低點，即原點，函數都有最小值.

第1章二次函數

1.2二次函數的圖象與性質

第2課時二次函數y=o?(a<0)的圖象與性質

教學目標教學反思

1.能夠用描點法作出函數丫=。/(a<0)的圖象，并根據圖象認識和理

解其性質.

2.經歷探索二次函數y=ajc2(a<0)的圖象和性質的過程，體會數形結

合的思想和方法.

教學重難點

重點：掌握函數>=加(a<0)的圖象的畫法，認識函數(a<0)

的圖象與性質.

難點：用描點法準確地畫出函數(a<0)的圖象，掌握其性質

特征.

教學過程

導入新課

師：一次函數的圖象是什么？

生：是一條直線.

師：畫函數的圖象的步驟是什么？

生：列表、描點、連線.

師：二次函數的一般形式是什么？

生：y=a>^+bx+c(a,b,c是常數，aWO).

思考下面的問題：

在二次函數中，y隨尤的變化而變化的規律是什么？你想直觀地了解它

的性質嗎？我們先來研究最簡單的二次函數.

教師引導學生復習一次函數與反比例函數中y隨x的變化而變化的規律

及其性質.

可以讓學生先猜想二次函數的圖象及其性質，并與其他同學進行交流.

設計意圖：開門見山，直入正題，既揭示了本節課的主題，又通過對舊

知識的復習，明確了本節課的探究任務.

探究新知

預習新知

二次函數y=5的圖象是什么形狀？先想一想，然后畫出它的圖象，

它與二次函數>=爐的圖象有什么關系？與同伴進行交流.

要求學生類比畫y=r圖象的操作步驟，在坐標紙上獨立地畫出函數y

=-/的圖象，教師巡視，對于畫的好的學生給予表揚，對于畫的不標準的

學生給予糾正并鼓勵，教師展示圖象，最后比較兩個圖象.

總結:⑴二次函數的圖象與二次函數尸-x2的圖象關于x軸對稱；

(2)如果把兩個圖象看成一個圖形，這個圖形是中心對稱圖形，對稱中心是

坐標原點.

跟蹤練習

拋物線y=/與yn-x2的關系是（）教學反思

A.開口方向不同,頂點相同，對稱軸相同

B.開口方向不同,頂點不同，對稱軸相同

C.開口方向相同,頂點相同，對稱軸相同

D.開口方向相同,頂點不同，對稱軸不同

答案：A

合作探究

在坐標紙中畫出函數>=2/的圖象.

要求學生獨立完成，同伴相互檢查，教師巡視，對基礎比較薄弱的學生

進行指導，教師多媒體展示圖象供學生參考.

學生分組討論這三個函數圖象的異同.

總結：（1）都是拋物線，開口方向相同，都向上；（2）對稱軸都是y

軸（或直線x=0）;（3）頂點都是原點，坐標為（0,0）；（4）當了<0時，y值

隨x值的增大而減小，當x>0時，y值隨x值的增大而增大；（5）都有最低

點，即原點，函數都有最小值，最小值為0.

練一練:在同一坐標系中畫出函數丫=二苫2的圖象.（仿

照上面合作探究的實施過程）

比較函數y=-y=-gf,y=-2x2的圖象，找出它們的異同點.

提出問題：通過觀察同一坐標系的圖象，你能總結出二次函數>=加（。

W0）中，二次項系數a的作用嗎？

學生獨立思考后，小組討論，教師參與到學生的討論中去.

（學生總結，教師點評）二次函數>=加3/0）中，二次項系數。的作

用：（1）。確定了拋物線的開口方向：①a>0時，開口向上；②a<0時，開

口向下.（2）a確定了拋物線的開口大小：①IaI越大，開口越小，函數

值變化得越快；②IaI越小，開口越大，函數值變化得越慢.

典型例題

【例1】函數y=g同+1是關于x的二次函數.

（1）求滿足條件的機的值；

（2）當機為何值時，函數有最大值？求出這個最大值以及當x為何值時，

y隨尤的增大而減小？

【問題探索】要求根的值只需要根據二次函數的性質分情況討論即可.

【解】⑴根據題意，得的|+1=2,解得加i=l,〃Z2=T，所以滿足條件

的m的值為±1.

（）當時，拋物線表達式為拋物線開口向下，所以函

2ZM=Ty=-f,教學反思

數有最大值，最大值是0,當x>0時，y隨x的增大而減小.

【總結】熟練掌握二次函數的性質是解決本題的關鍵.

【例2】畫二次函數的圖象.

利用對稱性畫出y軸左邊的部分.

課堂練習

1.已知aWO,在同一直角坐標系中，函數y=以與>=辦2的圖象有可能

它們的共同特點是（）

A.都關于尤軸對稱，拋物線開口向上

B.都關于原點對稱，頂點都是原點

C.都關于y軸對稱，拋物線開口向下

D.都關于y軸對稱，頂點都是原點

3.如圖，觀察函數廣=（右3）N的圖象，則上的取值范圍是.

4.若拋物線(QWO),過點(-1,-2).

(1)則。的值是;教學反思

(2)對稱軸是,開口；

(3)頂點坐標是,頂點是拋物線上的最____值，拋物線在x

軸的方(除頂點外)；

(4)若A(xi,力)，2(尤2,竺)在這條拋物線上，且xi<X2<0,則yiy2.

參考答案

l.C2.D3.k<3

4.(1)-2；(2)y軸向下；(3)(0,0)大下方；(4)<.

課堂小結

4^]■?麗歌颼為中心

二次函數

圖象拋物線軸對稱圖形]

y=ax1(a<0)-IIfI—I

的圖象及

性質|開口向下|

-I性質卜|對稱軸U軸|

|頂點坐標(畫

力<0,4值隨MS的增大而增大,

x>0,2/值隨4值的增大而減小

布置作業

教材第10頁練習第1,2題.

板書設計

第2課時二次函數(fl<0)的圖象與性質

1.二次函數(fl<0)的圖象與性質：

(1)圖象開口向下.

(2)對稱軸是y軸(或直線x=0).

(3)頂點是原點，坐標為(0,0).

(4)x<0時，y值隨x值的增大而增大；

x>0時，y值隨x值的增大而減小.

(5)當x=0時,y最大=0.

2.(1)⑷越大，開口越小；(2)㈤越小，開口越大.

第1章二次函數

1.2二次函數的圖象與性質

第3課時二次函數y=ax2+c和y=a(x-/z)2的圖象與性質

教學目標教學反思

1.能夠畫出二次函數>=。必+。和、=。(k力2的圖象，并通過觀察圖象掌

握其性質.

2.經歷由函數y=ax2的圖象平移得到函數y=axi+c和y=a(x~h)2的圖

象的過程，探究它們之間的聯系.

教學重難點

重點：通過觀察函數尸五+c和尸a(尸/z)2的圖象，掌握其圖象和性質.

難點：函數y=a/與函數y=a(xV)2的聯系.

教學過程

知識回顧

回憶二次函數>=它的圖象與性質:

y=ax1a>0a<0

圖象Tfr

圖象在X軸上方，開口向上圖象在X軸下方，開口向下

位置與開口

。的絕對值越大，開口越小

對稱性關于y軸對稱，對稱軸是直線x=0

頂點是原點(0,0)

頂點、最值

當x=0時，y最小值=0當x=0時，y最大值=0

在對稱軸左側遞減，在對稱軸左側遞增，

增減性

在對稱軸右側遞增在對稱軸右側遞減

教師提出問題：通過前面的探究我們知道了二次函數y=a尤2的圖象與性

質，那么二次函數>=混+。和y=a(x~7?)2的圖象與性質又是怎樣的呢？

學生自主解答y=a尤2的圖象與性質，教師根據學生的回答做好總結，同

時提出問題，從而引出本節要研究的課題.

設計意圖：通過復習二次函數>=混的圖象及其性質，進一步鞏固舊

知，同時又為學習新知打好基礎，做好鋪墊.

探究新知

一、根據上節課的探究，教師要求學生在同一直角坐標系內作出函

數>=2/與y=22+l的圖象.

學生活動

1.選擇合適的尤值，并計算相應的y值，填寫下表：

X教學反思

y

2.描點：在所給的坐標紙中描點.

3.連線：用光滑的曲線連接各點.

要求學生獨立完成，同伴相互檢查，教師巡視，對基礎比較薄弱的學生

進行指導，然后教師多媒體展示圖象.

師：結合圖象觀察二次函數y=2/+l的圖象是什么形狀？

生：拋物線.

師：兩個函數圖象有什么相同點和不同點？

生1：相同點：(1)它們的圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向都向

上；(2)它們都是軸對稱圖形，且對稱軸都是y軸；(3)在y軸左側，y隨尤的

增大而減小，在y軸右側，y隨尤的增大而增大；(4)都有最低點，y都有最

小值.

生2：不同點：(1)它們的頂點不同，函數y=*的圖象的頂點在原點，頂

點坐標為(0,0),函數>=2^+1的圖象的頂點在y軸上，頂點坐標為(0,1).

(2)最小值不同，y=2x?的最小值為0,y=2f+l的最小值為1.

然后仿照上面的探究過程，探索函數的圖象與函數y=-2f+l

的圖象有什么相同點和不同點.

提出問題：由這兩個探究過程，你能類比歸納出二次函數>=加與y

=a^+c的圖象及性質的相同之處和不同之處嗎？

先讓學生獨立思考，然后小組討論，教師巡視參與到學生的討論中，給

學生及時指導，最后小組代表闡述本組觀點.

師生共同總結:

點

頂

坐

函數開口方向對稱軸標增減性最值

當a>0時，(1)a>0：當x>0a>0,

時，y隨x的增

開口向上；y最小值=0；

尸y軸(0,0)

ax2當a<0時,大而增大；當a<0,

x<0時，y隨x

開口向下y最大值=0

的增大而減小.

(2)?<0：當

當a>0時,x>0時，y隨xa>0f

開口向上；y最小值=c；

尸y軸(0,C)的增大而減

當。<0時，小；當尤<0時，a<0,

開口向下y隨x的增大而y最大值=c

增大

設計意圖：讓學生作出完整的二次函數圖象，通過類比學習，進一步體

會二次函數的系數對圖象的影響.

二、多媒體出示：畫二次函數y=2(%T)2的圖象.

(1)完成下表：教學反思

X-4-3-2-101234

y=2x1

尸2(獷1)2

觀察上表，比較y=2f與y=2(x-l)2的值，它們有什么樣的關系？

(2)要求學生作出＞=2(尤-1)2的圖象.

要求獨立完成，同伴相互檢查.教師巡視，對作圖能力差的學生進

行指導.

教師多媒體展示所畫圖象，解決下列問題：

二次函數y=2(x-l)2的圖象與二次函數y=2?的圖象有什么關系？它的

開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么？當x取哪些值時，y的值隨x值

的增大而增大？當尤取哪些值時，y的值隨尤值的增大而減小？

學生先獨立觀察，再小組討論，然后小組代表闡述觀點，最后總結：

二次函數y=2(x-l)2的圖象也是拋物線.

生1：(1)開口方向相同，開口大小相同.

(2)在對稱軸的左側，都是y值隨x值的增大而減小；在對稱軸的右側，

都是y值隨尤值的增大而增大.

(3)都有最低點，即函數都有最小值.

生2：(1)對稱軸:y=2f的圖象的對稱軸是y軸(或直線尤=0),y=2(x-l)2

的圖象的對稱軸是直線尤=1.

(2)頂點坐標：y=2f的圖象的頂點坐標是(0,0),y=2(k1)2的圖象的

頂點坐標是(1,0).

(3)最值：＞=2^，當彳=0時，y最小值=0,而y=2(xT)2,當x=l時，

y最小值=0?

生3：二次函數y=2(kIp的圖象是由二次函數y=2f的圖象向右平移

1個單位長度得到的.

提出問題：類似地，你能發現二次函數y=2(x+l)2的圖象與二次函

數＞=2爐的圖象有什么關系嗎？

學生自己動手畫出二次函數y=2(x+l)2的圖象后，教師多媒體出示圖

象，供學生參考.

學生通過觀察，類比總結二次函數y=2(尤+1＞的圖象與二次函數＞=2/

的圖象之間的關系.

總結：二次函數＞=°(獷〃)2的圖象與y=o?的圖象的關系.

學生小組交流后，代表發言，教師多媒體展示表格，幫助學生記憶.

頂點

函數開口方向對稱軸增減性最值

坐標

⑴9：當A＞0時，y隨

x的增大而增大；當x＜0

當a＞0時,。＞0,

時,y隨x的增大而減小.

開口向上；y最小值=0；

y=a^y軸(0,0)(2)?＜0：當x＞0時，y

當a＜0時,。＜0,

隨X的增大而減小；當

開口向下y最大值=0

x＜0時，y隨尤的增大

而增大

。>：當x>h時，y

(1)0教學反思

隨X的增大而增大;當

當a>0時,x<h時，y隨尤的增大a>0,

尸開口向上；直線而減小.y最小值=0；

①，0)

a(kh)2當a<0時,x=h(2)?<0：當x>h時，ya<0,

開口向下隨X的增大而減小；當y最大值=0

x<h時，y隨尤的增大

而增大

y=a^x-h)1的圖象可以看作是由y=ax2的圖象整體左

y=a(x-h)2與y=ax2右平移得到的，當/介。時，向右平移同個單位長度，

的圖象的關系當/K0時，向左平移網個單位長度，平移規律：“左加

右減”

設計意圖：讓學生經歷獨立畫圖、觀察、探究的完整過程，能加深學生

對函數性質的理解，培養學生的動手能力、探究能力、抽象歸納能力.

典型例題

【例1】二次函數y=-3f+l的圖象是將()

A.拋物線>=-3/向左平移3個單位長度得到的

B.拋物線>=-3/向左平移1個單位長度得到的

C.拋物線y=3f向上平移1個單位長度得到的

D.拋物線y=-3V向上平移1個單位長度得到的

【問題探索】二次函數>=-3爐+1的圖象是將拋物線y=-3/向上平移1

個單位長度得到的.

【答案】D

【總結廊記二次函數尸加(。=0)圖象平移得到尸加+c圖象的規律:

上加下減.

【例2】已知二次函數>=3-2*+〃-2圖象的最高點的坐標為(0,2),

求a的值.

【問題探索】二次函數圖象的最高點的坐標為(0,2),那么它的二次項

系數、常數項分別應該滿足什么條件？

【解】1.*二次函數y=3-2)/+02-2圖象的最高點的坐標為(0,2),

.(a-2<0,

.?[a2-2=2,

解得a=-2.

【總結】如果二次函數yu加+c的圖象有最高點，那么。<0；最高點

的縱坐標為c,即最高點的坐標為(0,c).

課堂練習

1.將二次函數y=-2/T的圖象向下平移5個單位長度得到的拋物線的

頂點坐標為()

A.(0,-6)B.(0,4)

C.(5,-1)D.(-2,-6)

2.要得到拋物線y=-(x-4>,可將拋物線y=-f()

A.向上平移4個單位長度B.向下平移4個單位長度

C.向右平移4個單位長度D.向左平移4個單位長度

3.如果將拋物線>=爐+2向下平移1個單位長度，那么所得拋物線的表

達式是()

A.y=x2-!C.y=f+1D.y—x^+S

教學反思

4.若［-3,必］（一3乂）為二次函數y=（%-2）2圖象上的三點,

貝Uyi，yi，ys的大小關系為.

5.對于二次函數丁=-g（x-4）2,請回答下列問題：

（1）把二次函數y=的圖象作怎樣的平移變換，就能得到二次函

數y=—1(x—4)2的圖象.

（2）說出函數-4）2的圖象的頂點坐標和對稱軸.

參考答案

l.A2.C3.C4.刀>">為

5.【解】（1）把二次函數y=-gd的圖象向右平移4個單位長度得到

二次函數y=——（X—4）2的圖象.（2）二次函數y=——（.x—4）2

的圖象的頂點坐標為（4,0）.

課堂小結

開口方向1?>0,圖象開口向上,

G<0,圖象開口向下

I對稱軸：直線互

性

質|頂點坐標：（h,0）|

U增減性?

二次函數4=

的-研的圖象

及性質向右色>0）或

向左傳<。）平

移同個單位

~|“=止|長度-------------y=a（x-K）2\

布置作業

教材第12頁練習第1,2題

板書設計

第3課時二次函數y=ax2+c和y=a（x-/i）2的圖象與性質

1.二次函數尸加+式。》。）和二次函數了二渥①/。）的圖象的相同點和

不同點.

2.二次函數丫二依可其。。。）的圖象可以看作是把了二加他!》。）的圖象向

上（c>0）或向下（c<0）平移|c|個單位長度得到的.簡記為：“上加下減”.

3.二次函數y=a（x-/i）2的圖象可以看作是把丫=加（°*0）的圖象向右1

>0）或向左（九<0）平移㈤個單位長度得到的.簡記為：“左加右減”.

第1章二次函數

1.2二次函數的圖象與性質

第4課時二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質

教學目標教學反思

1.能夠畫出函數y=a(『/i)2+上的圖象，并能理解它們與丫=加的圖象的

關系，理解a,//和左對二次函數圖象的影響.

2.能正確說出函數y=a(x-/z)2+左的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

3.探索函數尸始-4+上的圖象與二次函數尸加的圖象的關系，理解

拋物線的平移規律.

教學重難點

重點：能夠作出函數y=a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與函數y=ax2

的圖象的關系，理解〃，人和人對二次函數圖象的影響.

難點：理解y=a(x-〃)2+Z與＞=加的圖象之間的關系.

教學過程

探究新知

合作探究

師：由二次函數y=2d的圖象，你能得到二次函數＞=2》2一：，＞=

2(X+3)2,y=2(x+3『的圖象嗎？你是怎樣得到的？與同伴進行交流.

教師引導學生根據前面的探究過程，先獨立思考，再分組討論，最后由

學生代表發言.

生1：將二次函數y=2f的圖象向下平移g個單位長度，就得到二次函

數y=2d-J■的圖象.

2

生2：將二次函數y=2f的圖象向左平移3個單位長度，就得到二次函

數y=2(x+3＞的圖象.

生3：將二次函數y=2f的圖象先向下平移g個單位長度，再向左平移

3個單位長度(或先向左平移3個單位長度，再向下平移工個單位長度)，就

2

得到二次函數y=2(x+3)2—g的圖象.

師：探究了上面幾個函數后，現在思考二次函數y=a(廠協2+左與＞=加

的圖象有什么關系？

學生小組討論，然后小組代表發言，對于回答正確的小組給予表揚，回

答不完整的小組教師及時補充.

師生共同總結：

教學反思

一般地，平移二次函數>=收的圖象便可以得到二次函數y^a(x-h)2+k

的圖象，因此，二次函數尸破丁〃)2+左的圖象是一條拋物線，它的開口方向、

對稱軸和頂點坐標與a,h,左的值有關.

二次函數〉=(?(獷〃)2+上的圖象與性質:

y=a(x-h)2+ka>0a<0

頂點坐標(h,k)

對稱軸直線x=h

開口方向向上向下

在對稱軸的左側，y隨著在對稱軸的左側，y

X的增大而減小；隨著X的增大而增大；

增減性

在對稱軸的右側，y隨著在對稱軸的右側，y

X的增大而增大隨著X的增大而減小

最值當x=h時，y最小值=左當x=/z時，y最大值=左

設計意圖：讓學生通過類比學習，利用數形結合進一步體驗二次函數的

系數對圖象的影響，加強對二次函數性質的鞏固，從圖象直觀理解函數圖象

之間的平移關系，培養學生的動態思維和自主學習的意識.

拓展:

--------------7|當〃>o時，向右平移固個單位長度2

1.y=ax-當時，向左平移?川個單位長度，y=a(x-h)

當女>0時，向上平移因個單位長度2

當&<0時，向下平移因個單位長度->y=a(x-h)+k

2.y=a(x-/z)2+4被稱之為“頂點式”.

3.平移規律：上加下減，左加右減.

典型例題

【例】已知拋物線y=a(x-h^+k,將它沿尤軸向右平移3個單位長度后，

又沿y軸向下平移2個單位長度，得到拋物線的表達式為>=-2(尤+1)2-4,

則原拋物線的表達式為.

【問題探索】拋物線y=-2(x+l)2-4的頂點坐標為(-1,-4),它是由原

拋物線向右平移3個單位長度，向下平移2個單位長度而得到的，所以把現

在拋物線的頂點向相反方向移動就可得到原拋物線頂點坐標為(-4,-2).故

原拋物線的表達式為y=-2(x+4)2-2.

【答案】y=-2(x+4)2~2

【總結】拋物線平移不改變形狀及大小，所以a的值不變，解題時抓住

關鍵：頂點的變化.

課堂練習

1.對于拋物線y=-(x+2)2+3,下列結論中正確的個數為()

①拋物線的開口向下；②對稱軸是直線尤=-2；③圖象不經過第一象

限；④當尤>2時，y隨x的增大而減小.

A.4B.3C.2D.1

2.將拋物線向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度后，

所得拋物線的表達式為()

A.y=-(無+3>+4B.y=-(x-3)2+4

C.y=-(x+3)2-4D.y=-(x-3)2-4

3.已知二次函數y=-2(尤-3)2+1,若y隨x的增大而增大，則尤的取值范

教學反思

圍是?

4.已知將二次函數y=a(尤-02+左的圖象先向左平移2個單位長度，再向

上平移4個單位長度，得到拋物線y=[(x+l)2+3.

(1)試確定〃，h,%的值；

(2)指出二次函數y=〃a-〃)2+左圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

參考答案

1.A

2.B

3.%<3

4.【解】⑴拋物線y=*(無+1>+3的頂點坐標為(T,3),把點(-1,3)

先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度得到點(1,-1),

原二次函數的表達式為〉=-；(『1)2-1,

a=-9/z=1,%=-1.

2

(2)Vy—a(x-h)2+k-—g(x-l)2-l,

???函數圖象的開口方向向下，對稱軸為直線x=L頂點坐標為(1,7).

課堂小結

(學生總結，老師點評)

1.會畫二次函數y=a(x-/z)2和y=a(x-hY+k的圖象.

2.理解二次函數y=a(x-/i)2+/的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標與

a,h,4之間的關系.

3.二次函數圖象之間的平移規律.

布置作業

教材第15頁練習第1,2,3題

板書設計

第4課時二次函數y=a(x-?2+%的圖象與性質

1.二次函數y=a(xV)2+Z的圖象與性質:

y=a(x-h)2+k。>0〃<0

頂點坐標(h,k)

對稱軸直線x=h

開口方向向上向下

在對稱軸的左側，y隨著在對稱軸的左側，y

X的增大而減小；隨著X的增大而增大；

增減性

在對