高考數學高考數學勤思篤學勤思篤學勤思篤學勤思篤學專題01集合新定義問題解決圓錐曲線的新定義問題的關鍵在于理解新定義的本質，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規的數學背景中，運用相關的數學公式、定理、性質進行解答題型一新定義圖形【例1】阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學家，數學家和天文學家，并享有“數學之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點處的切線交于點，則為“阿基米德三角形”，且當線段經過拋物線的焦點時，具有以下特征：（1）點必在拋物線的準線上；（2）；（3）．若經過拋物線的焦點的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點在直線上，則直線的方程為（

）A．B．C． D．【解析】根據題意，可知點在拋物線的準線上，又點在直線上，所以，又，所以，因為，所以，所以直線的方程為，即.故選：A.【跟蹤訓練】橢圓中，點為橢圓的右焦點，點A為橢圓的左頂點，點B為橢圓的短軸上的頂點，若，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】設為橢圓的半焦距，由題意可得，由對稱性可設,則,因為，所以,所以,即,解得或（舍）.故選:B.題型二新定義曲線【例2】中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側面，也是數學奧秘的游戲呈現.它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結對應著數學曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結論正確的是（

）A．曲線的圖象關于原點對稱B．曲線經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）C．曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3D．若直線與曲線只有一個交點，則實數的取值范圍為【解析】把代入得，所以曲線的圖象關于原點對稱，故A正確；令解得，或，即曲線經過，結合圖象，，令，得，令，得，因此結合圖象曲線只能經過3個整點，，故B錯誤；可得，所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，即都不超過3，故C正確；直線與曲線一定有公共點，若直線與曲線只有一個交點，所以，整理得無解，即，解得，故D正確.故選：ACD.【跟蹤訓練】在平面直角坐標系xOy中，點M不與原點О重合，稱射線OM與的交點N為點M的“中心投影點”，曲線上所有點的“中心投影點”構成的曲線長度是【解析】曲線的漸近線方程為：，設漸近線與圓的交點分別為,如下圖：則曲線上所有點的“中心投影點”構成的曲線為圓弧由題意，所以，所以,則，題型三新定義方法【例3】古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓C的面積為，分別是橢圓C的兩個焦點，過的直線交橢圓C于A，B兩點，若的周長為8，則橢圓C的離心率為．【解析】由題意可知：，解得，，又，∴，∴.【跟蹤訓練】定義：點為曲線外的一點，為上的兩個動點，則取最大值時，叫點對曲線的張角.已知點為拋物線上的動點，設對圓的張角為，則的最小值為.【解析】如圖，，要使最小，則最大，即需最小.設，則，∴當，即時，，，此時或，1．若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由“對偶橢圓”定義得：短半軸長b與半焦距c相等的橢圓是“對偶橢圓”，對于A，，即，A是“對偶橢圓”；對于B，，即，B不是“對偶橢圓”；對于C，，即，C不是“對偶橢圓”；對于D，，即，D不是“對偶橢圓”，故選A2.加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（

）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18【答案】D【解析】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；當長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和4，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為，圓方程為，B正確；設矩形的邊長分別為，因此，即，當且僅當時取等號，所以長方形的面積的最大值是20，此時該長方形為正方形，邊長為，C正確，D錯誤．故選：D．3.某數學愛好者以函數圖像組合如圖“愛心”獻給在抗疫一線的白衣天使，向他們表達崇高的敬意！愛心輪廓是由曲線與構成，若a，，c依次成等比數列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由“愛心”圖知經過點，即，．由“愛心”圖知必過點與，所以，得，，若a，，c，依次成等比數列，則，從而，所以．故選:A．4.曲率半徑是用來描述曲線上某點處曲線彎曲變化程度的量，已知對于曲線上點處的曲率半徑公式為，則下列說法：①對于半徑為R的圓，其圓上任一點的曲率半徑均為R②橢圓上一點處的曲率半徑的最大值為a③橢圓上一點處的曲率半徑的最小值為④對于橢圓上點處的曲率半徑隨著a的增大而減小其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【解析】①由題設知，圓的方程可寫，所以圓上任一點處的曲率半徑為，正確；②③由彎曲最大處為，最小處為，所以在處有，在處有，即，故②錯誤，③正確；④由題意，處的曲率半徑，而，所以，令，則在上有恒成立，故R在上隨著a的增大而增大，錯誤.故選：A5．（多選）在平面內，若曲線上存在點，使點到點，的距離之和為10，則稱曲線為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（

）A． B．C． D．【解析】設點的坐標為，因為點到點，的距離之和為10，由橢圓的定義可得點的軌跡方程為：，對A，由整理得，因此曲線上存在點滿足條件，所以是“有用曲線”，故A正確；對B，因為曲線在曲線的內部，無交點，所以不是“有用曲線”，故B錯誤；對C，曲線與有交點與，所以是“有用曲線”，故C正確；對D，曲線與也有交點，所以是“有用曲線"，故D正確.故選：ACD.6．（多選）已知曲線C的方程為，集合，若對于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線C為Σ曲線.下列方程所表示的曲線中，是Σ曲線的有（

）A． B． C． D．【解析】A：的圖象既關于x軸對稱，也關于y軸對稱，且圖象是封閉圖形.所以對于任意的點，存在著點Q（x2，y2）使得，所以滿足；B：的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為±1，所以漸近線將平面分為四個夾角為90°的區域，當P，Q在雙曲線同一支上，此時，當P，Q不在雙曲線同一支上，此時，所以不滿足；C：的圖象是焦點在x軸上的拋物線，且關于x軸對稱，設P為拋物線上一點，過O點作OP的垂線，則垂線一定與拋物線交于Q點，所以，所以D：取P（0，1），若，則有顯然不成立，所以此時不成立，故選：AC7.在平面直角坐標系中，，，若在曲線C上存在一點P，使得∠APB為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點”，下列曲線中，有“鈍點”的曲線為．（填序號）①；②；③；④；⑤．【答案】①④⑤【解析】設點的坐標為，若∠APB為鈍角，則，所以，且不共線，所以，且，化簡可得，反之若，則∠APB為鈍角，對于曲線，取曲線上的點，因為，所以為鈍角，故曲線為有“鈍點”的曲線；對于曲線，若曲線上的點為“鈍點”，則，，所以，矛盾所以曲線不是有“鈍點”的曲線；對于曲線，若曲線上點為“鈍點”，則，，所以，矛盾所以曲線不是有“鈍點”的曲線；對于曲線，取曲線上的點，因為，所以為鈍角，故曲線為有“鈍點”的曲線；對于曲線，取曲線上的點，因為，所以為鈍角，故曲線為有“鈍點”的曲線.所以曲線①④⑤為有“鈍點”的曲線.8．城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不能沿直線到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.在平面直角坐標系中，定義為兩點、之間的“出租車距離”.給出下列四個結論：①若點，點，則；②到點的“出租車距離”不超過的點的集合所構成的平面圖形面積是；③若點，點是拋物線上的動點，則的最小值是；④若點，點是圓上的動點，則的最大值是.其中，所有正確結論的序號是.【答案】①③④【解析】對于①，，①對；對于②，設點滿足，即.對于方程，當，時，；當，時，；當，時，；當，時，.作出集合所表示的平面區域如下圖中的陰影部分區域所表示：平面區域是邊長為的正方形，該區域的面積為，②錯；對于③，設點，則，令.當時，，當時，；當時，；當時，.綜上所述，，③對；對于④，設點，則，所以，的最大值是，④對.9.給定橢圓C：(a>b>0)，稱圓心在原點O，半徑為的圓為橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為.（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程；（2）若點P是橢圓C的“準圓”上的動點，過點P作橢圓的切線l1，l2交“準圓”于點M，N.證明：l1⊥l2，且線段MN的長為定值．（1）橢圓方程為，“準圓”方程為x2＋y2＝4；（2）證明見解析.【解】（1）∵橢圓C的一個焦點為其短軸上的一個端點到F的距離為.∴，∴，∴橢圓方程為，∴“準圓”方程為x2＋y2＝4.（2）證明：①當直線l1，l2中有一條斜率不存在時，不妨設直線l1斜率不存在，則l1：x＝±，當l1：x＝時，l1與“準圓”交于點(，1)，(，－1)，此時l2為y＝1(或y＝－1)，顯然直線l1，l2垂直；同理可證當l1：x＝－時，直線l1，l2垂直．②當l1，l2斜率存在時，設點P(x0，y0)，其中.設經過點P(x0，y0)與橢圓相切的直線為y＝t(x－x0)＋y0，∴由得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.由Δ＝0化簡整理，得(3－)t2＋2x0y0t＋1－＝0，∵，∴有(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0.設l1，l2的斜率分別為t1，t2，∵l1，l2與橢圓相切，∴t1，t2滿足上述方程(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0，∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．綜合①②知，l1⊥l2.∵l1，l2經過點P(x0，y0)，又分別交其“準圓”于點M，N，且l1，l2垂直．∴線段MN為“準圓”x2＋y2＝4的直徑，|MN|＝4，∴線段MN的長為定值．10.．焦距為2c的橢圓（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求的值；(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．【解析】（1）因為橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，所以2b=a+c，所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化簡得．（2）過定點（0，±10），理由如下：由得，由得，橢圓方程為：，所以A（0，8），設P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），所以直線AP的方程為：，令y=0，得，所以，同理可得，所以以MN為直徑的圓的方程為，結合，化簡得，令x=0，得y=±10，所以該圓恒過定點（0，±10）．11.中國結是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結”對應著數學曲線中的伯努利雙紐線.在平面上，我們把與定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個焦點.數學家雅各布?伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究.已知曲線是一條伯努利雙紐線.(1)求曲線C的焦點，的坐標；(2)試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A，B（異