經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊作業(yè)4參考答案?一、單項選擇題1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，則\(A+B=\)（）A.\(\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}5&8\\10&12\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}6&10\\8&12\end{pmatrix}\)答案：A解析：矩陣相加，對應(yīng)元素相加，\(A+B=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)。2.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(2A=\)（）A.\(\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&4\\3&8\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&2\\3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2\\6&8\end{pmatrix}\)答案：A解析：數(shù)乘矩陣，用該數(shù)乘以矩陣的每一個元素，\(2A=2\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1&2\times2\\2\times3&2\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\)。3.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}\)，則\(AB=\)（）A.\(\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}31&34\\73&82\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}23&26\\55&64\end{pmatrix}\)答案：A解析：矩陣相乘，\(AB=\begin{pmatrix}1\times7+2\times9+3\times11&1\times8+2\times10+3\times12\\4\times7+5\times9+6\times11&4\times8+5\times10+6\times12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}\)。4.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(A^2=\)（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)答案：A解析：\(A^2=AA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1+0\times0&1\times0+0\times(1)\\0\times1+(1)\times0&0\times0+(1)\times(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)。5.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，其伴隨矩陣\(A^*\)=（）A.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)答案：A解析：對于二階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，伴隨矩陣\(A^*=\begin{pmatrix}d&b\\c&a\end{pmatrix}\)，所以對于\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(A^*=\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)。6.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=\)（）A.\((2)^{n+1}\)B.\((2)^n\)C.\(2^{n+1}\)D.\(2^n\)答案：C解析：\(\vert2A\vert=(2)^n\vertA\vert=(2)^n\times2=2^{n+1}\)。7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)是非零常數(shù)，則\(\vertkA\vert=\)（）A.\(k\vertA\vert\)B.\(\vertk\vert\vertA\vert\)C.\(k^n\vertA\vert\)D.\(\vertk\vert^n\vertA\vert\)答案：C解析：\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)。8.設(shè)矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(A\)中所有\(zhòng)(r+1\)階子式都不為零B.\(A\)中可能有等于零的\(r\)階子式C.\(A\)中所有\(zhòng)(r\)階子式都不為零D.\(A\)中所有低于\(r\)階子式都不為零答案：B解析：矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中至少有一個\(r\)階子式不為零，所有高于\(r\)階的子式都為零，可能有等于零的\(r\)階子式。9.設(shè)線性方程組\(AX=0\)只有零解，則\(A\)的秩（）A.小于未知數(shù)的個數(shù)B.等于未知數(shù)的個數(shù)C.大于未知數(shù)的個數(shù)D.等于零答案：B解析：線性方程組\(AX=0\)只有零解，則系數(shù)矩陣\(A\)滿秩，即\(A\)的秩等于未知數(shù)的個數(shù)。10.設(shè)線性方程組\(AX=b\)有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組\(AX=0\)（）A.無解B.有非零解C.只有零解D.解不能確定答案：C解析：線性方程組\(AX=b\)有唯一解，則系數(shù)矩陣\(A\)滿秩，那么相應(yīng)的齊次方程組\(AX=0\)只有零解。二、填空題1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，則\(AB=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)2.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(A^3=\)______。答案：\(A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)3.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)，則\(A\)的秩\(r(A)=\)______。答案：對矩陣\(A\)進(jìn)行初等行變換，\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_24r_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&3&6\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_2\div(3)}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_12r_2}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}\)，所以\(r(A)=2\)。4.設(shè)線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1x_2=2\end{cases}\)，其增廣矩陣為______。答案：\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}\)5.設(shè)線性方程組\(AX=b\)有解，\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，則\(r(A)=r(\overline{A})\)，其中\(zhòng)(\overline{A}\)是______。答案：增廣矩陣\((A\vertb)\)6.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=3\)，則\(\vertA^{1}\vert=\)______。答案：因為\(\vertA^{1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)，所以\(\vertA^{1}\vert=\frac{1}{3}\)。7.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，其逆矩陣\(A^{1}=\)______。答案：先求行列式\(\vertA\vert=1\times42\times3=2\)，伴隨矩陣\(A^*=\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^*=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。8.設(shè)線性方程組\(AX=0\)的基礎(chǔ)解系含有\(zhòng)(3\)個解向量，則\(r(A)=\)______（其中\(zhòng)(A\)是系數(shù)矩陣，且為\(n\)階方陣）。答案：根據(jù)\(nr(A)\)等于基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)，已知基礎(chǔ)解系含有\(zhòng)(3\)個解向量，所以\(nr(A)=3\)，則\(r(A)=n3\)。9.設(shè)線性方程組\(\begin{cases}x_1+2x_2=3\\2x_1+4x_2=6\end{cases}\)，其系數(shù)矩陣\(A=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)10.設(shè)線性方程組\(AX=b\)有解，且\(r(A)=r(\overline{A})=r\ltn\)（\(n\)為未知數(shù)的個數(shù)），則方程組的解______。答案：有無窮多解三、解答題1.計算\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)解：\[\begin{align*}\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}&=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\&=1\times(5\times96\times8)2\times(4\times96\times7)+3\times(4\times85\times7)\\&=1\times(4548)2\times(3642)+3\times(3235)\\&=1\times(3)2\times(6)+3\times(3)\\&=3+129\\&=0\end{align*}\]2.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，求\((A+B)^T\)。解：先求\(A+B\)，\(A+B=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)，則\((A+B)^T=\begin{pmatrix}6&10\\8&12\end{pmatrix}\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}\)，求\(AB\)。解：\[AB=\begin{pmatrix}1\times7+2\times9+3\times11&1\times8+2\times10+3\times12\\4\times7+5\times9+6\times11&4\times8+5\times10+6\times12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}\]4.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&