選修2-3教案1.3.1二項式定理?一、教學目標1.知識與技能目標理解二項式定理及其推導過程。掌握二項展開式的通項公式，并能運用通項公式解決與二項展開式有關的簡單問題。2.過程與方法目標通過對二項式定理的探究，培養學生觀察、分析、歸納、概括的能力。體會從特殊到一般的數學思維方式，提高學生的邏輯推理能力。3.情感態度與價值觀目標通過對二項式定理的學習，感受數學的對稱美、和諧美，激發學生學習數學的興趣。培養學生勇于探索、敢于創新的精神，增強學生的數學應用意識。二、教學重難點1.教學重點二項式定理的內容及應用。二項展開式的通項公式的應用。2.教學難點二項式定理的推導過程。用二項式定理解決一些與二項展開式有關的綜合性問題。三、教學方法講授法、討論法、探究法相結合四、教學過程（一）新課導入1.情境引入展示圖片：楊輝三角提問：同學們，我們在初中學習了多項式的乘法，比如\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)。那么\((a+b)^n\)（\(n\inN^*\)）展開后是什么形式呢？這就是我們今天要學習的內容二項式定理。2.回顧舊知多項式乘法法則：\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)。引導學生思考\((a+b)^n\)展開式的項數與各項的形式。（二）探究新知1.探究\((a+b)^n\)的展開式讓學生計算\((a+b)^4\)學生可能會通過逐步展開\((a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\)來計算。教師引導學生觀察展開過程：展開式中每一項都是從每個\((a+b)\)中選一個字母相乘得到的。那么得到\(a^4\)是從4個\((a+b)\)中都選\(a\)，即\(C_{4}^0a^4b^0\)。得到\(a^3b\)是從4個\((a+b)\)中選3個\(a\)和1個\(b\)，即\(C_{4}^1a^3b^1\)。得到\(a^2b^2\)是從4個\((a+b)\)中選2個\(a\)和2個\(b\)，即\(C_{4}^2a^2b^2\)。得到\(ab^3\)是從4個\((a+b)\)中選1個\(a\)和3個\(b\)，即\(C_{4}^3a^1b^3\)。得到\(b^4\)是從4個\((a+b)\)中都選\(b\)，即\(C_{4}^4a^0b^4\)。所以\((a+b)^4=C_{4}^0a^4+C_{4}^1a^3b+C_{4}^2a^2b^2+C_{4}^3ab^3+C_{4}^4b^4\)。2.歸納二項式定理引導學生類比\((a+b)^4\)的展開式，思考\((a+b)^n\)的展開式。對于\((a+b)^n=C_{n}^0a^n+C_{n}^1a^{n1}b+C_{n}^2a^{n2}b^2+\cdots+C_{n}^ra^{nr}b^r+\cdots+C_{n}^nb^n\)（\(n\inN^*\)）。其中\(C_{n}^r\)（\(r=0,1,2,\cdots,n\)）叫做二項式系數，上式叫做二項式定理。強調二項式定理的特點：展開式共有\(n+1\)項。各項的次數都等于二項式的次數\(n\)。字母\(a\)的次數從\(n\)遞減到\(0\)，字母\(b\)的次數從\(0\)遞增到\(n\)。3.證明二項式定理（用數學歸納法）（1）當\(n=1\)時，\((a+b)^1=C_{1}^0a^1+C_{1}^1b^1=a+b\)，等式成立。（2）假設當\(n=k\)（\(k\inN^*\)）時，等式\((a+b)^k=C_{k}^0a^k+C_{k}^1a^{k1}b+C_{k}^2a^{k2}b^2+\cdots+C_{k}^ka^0b^k\)成立。（3）當\(n=k+1\)時，\((a+b)^{k+1}=(a+b)^k(a+b)\)\(=(C_{k}^0a^k+C_{k}^1a^{k1}b+C_{k}^2a^{k2}b^2+\cdots+C_{k}^ka^0b^k)(a+b)\)\(=C_{k}^0a^{k+1}+C_{k}^1a^kb+C_{k}^2a^{k1}b^2+\cdots+C_{k}^ka^1b^k+C_{k}^0a^kb+C_{k}^1a^{k1}b^2+\cdots+C_{k}^ka^0b^{k+1}\)合并同類項得：\(C_{k}^0a^{k+1}+(C_{k}^1+C_{k}^0)a^kb+(C_{k}^2+C_{k}^1)a^{k1}b^2+\cdots+(C_{k}^k+C_{k}^{k1})a^0b^{k+1}\)由組合數性質\(C_{k+1}^r=C_{k}^r+C_{k}^{r1}\)可得：\((a+b)^{k+1}=C_{k+1}^0a^{k+1}+C_{k+1}^1a^kb+C_{k+1}^2a^{k1}b^2+\cdots+C_{k+1}^{k+1}b^{k+1}\)所以當\(n=k+1\)時等式也成立。由（1）（2）（3）可知，對于任意\(n\inN^*\)，二項式定理都成立。（三）知識講解1.二項展開式的通項公式二項展開式\((a+b)^n=C_{n}^0a^n+C_{n}^1a^{n1}b+C_{n}^2a^{n2}b^2+\cdots+C_{n}^ra^{nr}b^r+\cdots+C_{n}^nb^n\)中，第\(r+1\)項\(T_{r+1}=C_{n}^ra^{nr}b^r\)（\(r=0,1,2,\cdots,n\)）叫做二項展開式的通項公式。講解通項公式的作用：可以用來求展開式中的任意一項。已知展開式中的某一項，也可以通過通項公式求出\(r\)的值。2.例題講解例1：求\((2x\frac{1}{x})^6\)的展開式。解：根據二項式定理，\((a+b)^n\)展開式的通項公式為\(T_{r+1}=C_{n}^ra^{nr}b^r\)，在\((2x\frac{1}{x})^6\)中，\(a=2x\)，\(b=\frac{1}{x}\)，\(n=6\)。所以\(T_{r+1}=C_{6}^r(2x)^{6r}(\frac{1}{x})^r=C_{6}^r2^{6r}x^{6r}(1)^rx^{r}=(1)^rC_{6}^r2^{6r}x^{62r}\)。分別令\(r=0,1,2,3,4,5,6\)，求出各項：當\(r=0\)時，\(T_1=(1)^0C_{6}^02^{60}x^{62\times0}=64x^6\)。當\(r=1\)時，\(T_2=(1)^1C_{6}^12^{61}x^{62\times1}=192x^4\)。當\(r=2\)時，\(T_3=(1)^2C_{6}^22^{62}x^{62\times2}=240x^2\)。當\(r=3\)時，\(T_4=(1)^3C_{6}^32^{63}x^{62\times3}=160\)。當\(r=4\)時，\(T_5=(1)^4C_{6}^42^{64}x^{62\times4}=60x^{2}\)。當\(r=5\)時，\(T_6=(1)^5C_{6}^52^{65}x^{62\times5}=12x^{4}\)。當\(r=6\)時，\(T_7=(1)^6C_{6}^62^{66}x^{62\times6}=x^{6}\)。所以\((2x\frac{1}{x})^6=64x^6192x^4+240x^2160+60x^{2}12x^{4}+x^{6}\)。例2：求\((x^2+\frac{1}{x})^{10}\)展開式中第4項的系數。解：由通項公式\(T_{r+1}=C_{n}^ra^{nr}b^r\)，在\((x^2+\frac{1}{x})^{10}\)中，\(a=x^2\)，\(b=\frac{1}{x}\)，\(n=10\)。那么第4項，即\(r+1=4\)，\(r=3\)。所以\(T_4=C_{10}^3(x^2)^{103}(\frac{1}{x})^3=C_{10}^3x^{14}x^{3}=C_{10}^3x^{11}\)。其系數為\(C_{10}^3=\frac{10!}{3!(103)!}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\)。例3：已知\((x+\frac{2}{x})^n\)的展開式中第3項與第5項的二項式系數相等，求展開式中\(x^2\)的系數。解：因為二項式展開式中第\(r+1\)項的二項式系數為\(C_{n}^r\)，已知第3項與第5項的二項式系數相等，所以\(C_{n}^2=C_{n}^4\)。根據組合數性質\(C_{n}^m=C_{n}^{nm}\)，可得\(n=2+4=6\)。則\((x+\frac{2}{x})^6\)的通項公式為\(T_{r+1}=C_{6}^r(x)^{6r}(\frac{2}{x})^r=C_{6}^r2^rx^{62r}\)。令\(62r=2\)，解得\(r=2\)。所以\(x^2\)的系數為\(C_{6}^22^2=\frac{6!}{2!(62)!}\times4=15\times4=60\)。（四）課堂練習1.求\((3x+2)^5\)的展開式。2.求\((2x\frac{1}{\sqrt{x}})^8\)展開式中第5項的系數。3.已知\((x^3+\frac{1}{x^2})^n\)的展開式中第6項的二項式系數與第12項的二項式系數相等，求展開式中不含\(x\)的項。（五）課堂小結1.二項式定理：\((a+b)^n=C_{n}^0a^n+C_{n}^1a^{n1}b+C_{n}^2a^{n2}b^2+\cdots+C_{n}^ra^{nr}b^r+\cdots+C_{n}^nb^n\)（\(n\inN^*\)）。2.二項展開式的通項公式：\(T_{r+1}=C_{n}^ra^{nr}b^r\)（\(r=0,1,2,\cdots,n\)），它是解決二項展開式中特定項問題的關鍵。3.強調在運用二項式定理和通項公式時，要注意準確確定\(n\)、\(a\)、\(b\)的值，以及\(r\)的取值范圍。（六）布置作業1.必做題：課本P36練