2024-2025學年福建省三明市沙縣區高二下學期3月月考數學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，導函數為，那么等于（）A. B. C. D.1【正確答案】C【分析】先對函數求導，再將代入，即可得出結果.【詳解】因為，則，所以.故選：C.本題主要求在某點處的導函數值，熟記導數計算公式即可，屬于基礎題型.2.已知，則（）A.28 B.30 C.56 D.72【正確答案】C【分析】由組合數性質求出，再用排列數公式求值.【詳解】因為，所以由組合數性質得，，所以.故選：C.3.直線是曲線的一條切線，則實數b=（）A.-1或1 B.-1或3 C.-1 D.3【正確答案】B【分析】利用導數求得切點坐標，進而求得的值.【詳解】令，解得，故切點為或，而，所以或.故選：B4.在端午小長假期間，某辦公室要從4名職員中選出若干人在3天假期堅守崗位，每天只需1人值班，則不同排班方法有（）A.12種 B.24種 C.64種 D.81種【正確答案】C【分析】分析每天排班方法數，再由分步計數原理求解即可【詳解】根據題意，第一天值班可以安排4名職員中的任意1人，有4種排班方法，同理第二天和第三天也有4種排班方法，根據分步計數原理可知，不同的排班方法有種，故選：C5.設函數在上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A.有極大值 B.有極小值C.有極大值 D.有極小值【正確答案】A【分析】由函數的圖象，可得函數的單調性，則答案可求.【詳解】函數的圖象如圖所示，當時，；當時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，有極大值，無極小值，故選.6.從5名學生中選出4名分別參加數學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數為A.48 B.72 C.90 D.96【正確答案】D【詳解】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當甲學生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數原理、排列數與組合數公式等知識，屬于基礎題．7.若函數有最大值，則實數的值是（）A.1 B. C.4 D.【正確答案】B【分析】通過導數確定為臨界點，由的符號分類討論求解即可.【詳解】，令，得臨界點（因，舍去），當時，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，此時無最大值，當時，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又因為，所以，滿足題意，故選.8.已知函數的定義域為R，且，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設g（x）＝，根據已知條件可得函數在定義域上單調遞減，從而將不等式轉化為的解集，從而可得出答案.【詳解】解：設＝，則＝，∵，∴，∴，∴y＝g（x）在定義域上單調遞減，∵∴＝，又＝，∴，∴，∴的解集為．故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】根據導數的運算法則對選項逐一判斷即可．【詳解】A選項，，故A選項正確；B選項，，故B選項錯誤；C選項，，故C選項正確；D選項，，故D選項錯誤；故選：AC10.[多選題]下列說法正確的是（）A.可表示為B.若把英文“hero”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤共有23種C.10個朋友聚會，見面后每兩個人握手一次，一共握手45次D.老師手里有3張參觀游園的門票分給7人中的3人，則分法有種【正確答案】ABC【分析】由排列數公式可判斷A；由排列定義可判斷B；由組合定義可判斷CD．【詳解】A項，，正確；B項，h，e，r，o的全排列為（種），正確的有1種，故可能出現的錯誤共有（種），正確；C項，10個朋友，兩個人握手一次，共握手（次），正確；D項，3張門票屬于相同元素，故應有種分法，D不正確．故選：ABC.11.已知函數，下列判斷正確的是（）A.的單調減區間是， B.的定義域是C.的值域是 D.與有一個公共點，則或【正確答案】ABD【分析】先判斷函數定義域，再求導分析函數的單調性與最值作出簡圖，進而可判斷各選項.【詳解】對B，函數定義域滿足，解得，故B正確；對A，，令可得和，解得和，故的單調減區間是，，故A正確；對C，由A可得當和時單調遞減，當時單調遞增，且，作出簡圖，可得的值域是，故C錯誤；對D，由圖象可得，與有一個公共點，則或，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數在上最小值為___________.【正確答案】【分析】利用導數判斷函數的單調性，進而求出函數的最值.【詳解】，令，即，解得，令，即，解得，所以函數上單調遞減；在上單調遞增；所以.故13.有紅、黃、藍旗各3面，每次升1面、2面或3面旗縱向排列在某一旗桿上表示不同的信號，順序不同也表示不同的信號，共可以組成______種不同的信號．【正確答案】39【分析】根據給定條件分成每次升1面、升2面、升3面旗3類，求出各類表示的信號數，再將各類信號數相加即得.【詳解】每次升1面旗可組成3種不同的信號；每次升2面旗可組成種不同的信號；每次升3面旗可組成種不同的信號，根據分類加法計數原理，共可組成種不同的信號．故3914.已知關于的方程在區間內有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】運用分離參數法，將方程有兩個實數根的問題轉化成兩個函數在給定區間上有兩個交點問題，繼而只需研究函數的圖象的單調性、最值和端點值比較即得.【詳解】由可得：，設，依題意，函數與函數的圖象在時有兩個交點.由，，，可知當時，，為減函數，當時，，為增函數，故時，又且由知如圖，要使函數與函數的圖象在時有兩個交點，須使，即實數的取值范圍為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.從位女生，位男生中選出人參加垃圾分類宣傳活動.（1）共有多少種不同的選擇方法？（2）如果至少有位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據組合數公式，即可求出結果；（2）由題意可知，“沒有女生入選”是“至少有位女生入選”的對立事件，由此即可求出結果【小問1詳解】解：從位女生，位男生中選出人參加垃圾分類宣傳活動，選擇方法數為.【小問2詳解】解：沒有女生入選的選擇方法數為，所以至少有位女生入選的選擇方法數為.16.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區間.【正確答案】（1）；（2）的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.【分析】（1）先對函數求導，然后結合導數的幾何意義可求切線的斜率，進而可求切線方程；（2）先對函數求導，然后結合導數與單調性的關系即可求解.【詳解】函數的定義域為，，求導，.由點斜式得切線方程為：，即.所以曲線在點處的切線方程為.（2）由（1）知，，令，得，.當x變化時，，的變化情況如下表：x30單調遞減極小值單調遞增所以，的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.本題主要考查了利用導數求解曲線在某點處的切線方程，以及利用導數求解函數的單調區間，考查學生的邏輯推理與運算能力，屬于中檔題.17.已知函數是函數的一個極值點.（1）求函數的單調遞增區間；（2）當，求函數的最小值.【正確答案】（1）和；（2）.【分析】（1）由極值點求出參數，再代入，解不等式求遞增區間（2）求在上的極值，與端點值比較得出最小值.【詳解】（1）由題意，則，當時，；當時，；當時，.所以，函數的單調遞增區間為和（2）當時，的變化情況如下表x012＋0－0＋增函數極大值減函數極小值增函數當.當.所以當時，函數的最小值為.用導數法求最值方法：先求導，然后求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值；18.畢業季有位好友欲合影留念，現排成一排，如果：（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用插空法可求出排法種數；（2）利用捆綁法可求出排法種數；（3）分兩種情況討論：①若在排尾；②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數，由加法原理計算可得出答案.【詳解】（1）將、插入到其余人所形成的個空中，因此，排法種數為；（2）將、兩人捆綁在一起看作一個復合元素和其他人去安排，因此，排法種數為；（3）分以下兩種情況討論：①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；②若不在排尾，則有個位置可選，有個位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個位置即可，此時，共有種排法.綜上所述，共有種不同的排法種數.本題考查了排列、組合的應用，同時也考查了插空法、捆綁法以及分類計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.19.已知是函數的一個極值點.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函數的單調區間；（Ⅲ）若直線與函數的圖象有3個交點，求的取值范圍.【正確答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范圍為【詳解】試題分析：（1）先求導，再由是函數的一個極值點即求解；（2）由（2）確定，再由和求得單調區間；（3）由（2）知，在內單調增加，在內單調減少，在上單調增加，且當或