送分專題（五）空間幾何體的三視圖、表面積與體積

［全國卷3年考情分析］

年份卷別考查內容及考題位置命題分析

空間幾何體的三視圖與直觀圖、面積的計1.“立體幾何”在高考

卷I

算f中一般會以“兩小一大”或

2017空間幾何體的三視圖及組合體體積的計“一小一大”的命題形式出

卷II

算不現，這“兩小”或“一小”

卷m球的內接圓柱、圓柱的體積的計算主要考查三視圖，幾何體的

卷I有關球的三視圖及表面積的計算表面積與體積，空間點、線、

空間幾何體的三視圖及組合體表面積的面位置關系（特別是平行與

卷n

計算廳6垂直）.

2016

空間幾何體的三視圖及組合體表面積的2.考查一個小題時，本小題

卷皿計算式9一般會出現在第4?8題的

直三棱柱的體積最值問題位置上，難度一般；考查2

錐體體積的計算/6個小題時，其中一個小題難

卷I空間幾何體的三視圖及組合體表面積的度一般，另一小題難度稍高，

計算?Tu一般會出現在第10?16題

2015空間幾何體的三視圖及組合體體積的計的位置上，本小題雖然難度

算工稍高，主要體現在計算量上，

卷n

三棱錐的體積、球的表面積、球與三棱錐但仍是對基礎知識、基本公

的結構特征式的考查.

考點一,空間幾何體的三視圖

【題點?考法?全練］

1.已知長方體的底面是邊長為1的正方形，高為其俯視圖是一個面積為1的正方

形，側視圖是一個面積為2的矩形，則該長方體的正視圖的面積等于（）

A.1B.A/2

C.2D.272

解析：選C依題意得，題中的長方體的正視圖和側視圖的高都等于地，正視圖的長

是小,因此相應的正視圖的面積等于gXg=2.

2.（2016?天潭高考）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得

到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側（左）視圖為（）

解析：選B由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側（左）視圖為圖②.

①②

3.（2017?北京高考）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）

A.3rB.2小

C.2y［2D.2

解析：選B在正方體中還原該四棱錐如圖所示,

從圖中易得最長的棱為

ACi=^AC2+CC?=A/（22+22）+22=2?

［準解?快解?悟通］

看到三視圖，想到常見幾何體的三視圖，進而還原空間幾何體.（注：三視圖中的

快審題

正視圖也叫主視圖，側視圖也叫左視圖）

明確三視圖問題的常見類型及解題策略

（1）由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察方向，注意

準解

看到的部分用實線，看不到的部分用虛線表示.

題

（2）由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖.先根據已知的一部分視圖，還原、推測

直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式.當然作為選擇題，也

可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.

（3）由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確

三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為實物圖.

考點二空間幾何體的表面積與體積

[題點?考法?全練]

1.（2016?全國卷II）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視

圖，則該幾何體的表面積為（）

A.207rB.247r

C.28?rD.327r

解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設圓

柱底面圓半徑為r,周長為c,圓錐母線長為/,圓柱高為瓦由圖得r

=2,c=2nr=4n,h=4,由勾股定理得：I='\/22+(2^/3)2=4,5*=兀/+/+34=4汗+167t

+8n=28兀

2.（2017?云南11校跨?區(qū)訓研）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

（）

[=]0

正視圖側視圖

俯視圖

A.1B.2

C.3D.6

解析：選C依題意，題中的幾何體是一個直三棱柱（其底面左、右相對），其中底面是

直角邊長分別為1,2的直角三角形，側棱長為3,因此其體積為gxiX2）X3=3.

3.（2017?浙江高考）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位:

cm3）＞（）

正視圖側視圖

Q

俯視圖

B.]+3

C與+1D粵+3

解析：選A由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個底面半徑為1,高為3的圓錐的

一半與一個底面為直角邊長為也的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，故該幾何

體的體積V=1xj7tXl2X3+|x^X^/2X^/2X3=^+1.

4.若正三棱錐4力CD中，ABLAC,且笈。=1,則三棱錐46CD的高為（）

A*B*

C.乎D.當

解析：選A設三棱錐A-8C。的高為瓦依題意得AB,AC,A。兩兩垂直，且A8=AC

=AD=^~BC=~^~,△BCD的面積為X1?=^^.由匕1a>=Vb-AC。得gSzksc。由=§S41CD,A3,

也

1以11

即-X--X解得h二坐,即三棱錐A-BCD的高人=乎.

34322

oo

5.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）

“2-+-3T14-1

正視圖側視圖

俯視圖

A.28+6港B.60+12/

C.56+12^5D.30+6小

解析：選D如圖，在長方體ABCDAIBIGA中，還原該三棱錐

P-BCD,易得8。=尸8=何，PD=2y［5,:.SAPBD=：X2木

又易得SABCD=；X4X5=10,SABCP=|XBCXPC=10,SAPC?=|XCDXCCI=10,:.

///

該三棱錐的表面積是30+6^5.

［準解?快解?悟通］

快審1.看到求規(guī)則圖形的表面積（體積），想到相應幾何體的表面積（體積）公式.

2.看到求不規(guī)則圖形的表面積，想到幾何體的側面展開圖.

3.看到求不規(guī)則圖形的體積，想到能否用割補思想、特殊值法等解決.

1.活用求幾何體的表面積的方法

⑴求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，即空間圖形平

面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點.

（2）求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先

準求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差得幾何體的表面積.

解2.活用求空間幾何體體積的常用方法

題

⑴公式法：直接根據相關的體積公式計算.

（2）等積法：根據體積計算公式，通過轉換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容

易，或是求出一些體積比等.

（3）割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當分割或補形，轉化為易計算

體積的幾何體.

考點三多面體與球的切接問題

［題點考法全練］

1.（2017?全國卷田）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的

球面上，則該圓柱的體積為（）

解析：選B設圓柱的底面半徑為r,則r2=l2-Q）2=i所以圓柱的體積V=1nXl

37r

=不

2.（2017?貴陽檢測）三棱錐P-48C的四個頂點都在體積為竽的球的表面上，底面A8C

所在的小圓面積為16K,則該三棱錐的高的最大值為（）

A.4B.6

C.8D.10

解析：選C依題意，設題中球的球心為O、半徑為￡,△A5C的外接圓半徑為〃則

,苧=5；",解得K=5,由幾戶=16兀，解得r=4,又球心O到平面45C的距離為"九一』

=3,因此三棱錐P-ABC的高的最大值為5+3=8.

3.半徑為2的球0中有一內接正四棱柱（底面是正方形，側棱垂直底面）.當該正四棱

柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是.

解析：依題意，設球的內接正四棱柱的底面邊長為“、高為力，則有16=2<?+九222限

ah,即4。臼他,該正四棱柱的側面積S=4ahW16\/i,當且僅當h=巾a=2吸時取等

號.因此，當該正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是47rx22

-16/=16（兀一也）.

答案：165一啦）

［準解?快解?悟通］

快審題看到多面體與球的切接問題，想到是內切還是外接，想到球心位置和半徑的大小.

掌握“切”“接”問題的處理方法

（1）“切”的處理：解決與球有關的內切問題主要是指球內切多面體與旋轉體，解答時要

準解先找準切點，通過作截面來解決.如果內切的是多面體，則多通過多面體過球心的對角

題

面來作截面.

（2）“接”的處理：把一個多面體的幾個頂點放在球面上即球的外接問題.解決這類問題

的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.

f專題過關檢測L

一'選擇題

i.如圖所示是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是（）

正視圖側視圖

O

俯視圖

合

ABCD

解析：選D先觀察俯視圖,由俯視圖可知選項B和D中的一個正確，由正視圖和側

視圖可知選項D正確.

2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是（）

—2—

正視圖側視圖

俯視圖

9

2-

A.B.2

C,2D.3

解析：選D由三視圖判斷該幾何體為四棱錐,且底面為梯形，高為匚故該幾何體的

體積，=；X；X（l+2）X2Xx=3,解得x=3.

3.（2017?廣州縹合測試）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線

畫出的是某幾何體的正視圖（等腰直角三角形）和側視圖，且該幾何體的體二）、二

積為小則該幾何體的俯視圖可以是（）

解析：選D由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為2,

其底面為正方形，面積為2X2=4,因為該幾何體的體積為:X4X2=§,滿足

條件，所以俯視圖可以為一個直角三角形.選D.

4.（2017?新強第二次適應性檢測）球的體積為4由兀，平面a截球。的球

面所得圓的半徑為1,則球心O到平面a的距離為（）

A.1Bm

C.小D.A/6

解析：選B依題意，設該球的半徑為R,則有專火3=43見由此解得/?=小，因此

球心。到平面a的距離d=y]R2—l2=y[2.

B.（2小+6）JT+96

C.（44+4）兀+64

D.（44+4）4+96

解析：選D幾何體為一個圓錐和一個正方體的組合體，正方體的棱長為4,圓錐的高

為4,底面半徑為2,幾何體的表面積為S=6X42+nX22+rtX2X^42+22=（4Vs+4）7r+

96.

6.（2018屆高三?西安八校聯(lián)考）某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視

圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為（）

A,2

解析：選C依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，設其直角邊長為a,

則斜邊長為也”，圓錐的底面半徑為半a、母線長為a,因此其俯視圖中橢圓的長軸長為也a、

7.在棱長為3的正方體ABCfMiBiGOi中，尸在線段55上，且怒M為線段

31G上的動點，則三棱錐的體積為（）

A.1B.1

C.1D.與M點的位置有關

解析：選B?.?黑■=[,.,.點尸到平面3G的距離是d到平面8G距離的;，即為萼1

rU\/J

19193

=I.M為線段BiCi上的點，.,.SAMBC=3X3X3=5，/.VM-PBC=VP-MBC-TXTX1=r.

8.（2017?貴州適應性考試）如圖，在正方體A3C0-481G"中，點P

是線段4G上的動點，則三棱錐P-BCD的俯視圖與正視圖面積之比的

最大值為（

A.1B.也

C.小D.2

解析：選D正視圖，底面8,C,O三點，其中。與C重合，隨著點尸的變化，其

正視圖均是三角形且點尸在正視圖中的位置在邊BiG上移動，由此可知，設正方體的棱長

為。，則SE閩=%2;設4G的中點為0,隨著點尸的移動，在俯視圖中，易知當點尸在

0G上移動時，SML國就是底面三角形BCD的面積，當點P在。41上移動時，點尸越靠近

Alt俯視圖的面積越大，當到達4的位置時，俯視圖為正方形，此時俯視圖的面積最大，

所以學的最大值為畀=2.

S俯視用=。2,

3正視困2

9.（2017?石家莊一桃）祖胞是南北朝時期的偉大數學家，5世紀末提出體積計算原理，

即祖眶原理：“嘉勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，

被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體

積一定相等.現有以下四個幾何體：圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體，圖②、

圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖眠原理的兩個幾何體為（）

0.5R

①②③④

A.①@B.①③

C.D.

解析：選D設截面與底面的距離為心則①中截面內圓的半徑為九則截面圓環(huán)的面

積為n（R2-h2）;②中截面圓的半徑為R-h,則截面圓的面積為n（R—h）2;③中截面圓的半

徑為R一號則截面圓的面積為“（/?一鄉(xiāng)2；④中截面圓的半徑為'R2-九2,則截面圓的面積

為兀（R2—〃2）.所以①④中截面的面積相等，故其體積相等，選D.

10.等腰△ABC中，AB=AC=59BC=69將5c沿SC邊上的高A。折成直二面

角B-AD-C,則三棱錐B-ACD的外接球的表面積為（）

20

A.57rB.

C.10nD.34n

解析：選D依題意，在三棱錐〃?AC。中，AD9BD,CD兩兩垂直，且AO=4,BD

=CD=3,因此可將三棱錐氏AC。補形成一個長方體，該長方體的長、寬、高分別為3,3,4,

且其外接球的直徑2R=*而4不=犧，故三棱錐B-ACD的外接球的表面積為4n/?2=

347r.

11.（2017?鄭州第二次反??頸測）將一個底面半徑為1,高為2的圓錐形工件切割成一個

圓柱體，能切割出的圓柱的最大體積為（）

A—

'.27

-九

C.TD.于

解析：選B如圖所示，設圓柱的半徑為r,高為x,體積為V,由

題意可得￡=[7^,所以x=2—2r,所以圓柱的體積V=71^（2—2r）=Inij2

x/

2

-

-#)(0<rvl),則V'=2n(2r-3r2),由2加(2/-3/)=0,得r3

柱的最大體積Vmax=2n(^)2-d)3]=27,

12.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面上，54_1_平面ABC,SA=2小,

AB=1,AC=2,N8AC=60。，則球。的表面積為（）

A.4nB.127r

C.167rD.647r

解析：選C取SC的中點E,連接AE,BE,依題意，BC2=AB2+AC2§

-lAB-ACcos60°=3,：.AC2=AB2+BC1,即A5_L8C.又&4_L平面ABC,:.PX

SA±BC,又SAQA5=A,...BCJ■平面S48,BC±SB,AE=^SC=BE,:.

點E是三棱錐S-ABC的外接球的球心，即點E與點O重合，OA=；SC=；