3乘法公式第3課時完全平方公式2024～2025學年北師大版數學七年級下冊課時目標素養達成1.理解完全平方公式的推導過程,了解完全平方公式的幾何背景幾何直觀、抽象能力2.理解完全平方公式的本質,并會運用完全平方公式進行簡單的計算運算能力1.計算:(2x-1)2等于()A.4x2+1 B.4x2-2x+1C.4x2-4x-1 D.4x2-4x+12.若(x-2)2=x2+mx+n,則m,n的值分別是()A.4,4 B.-4,4C.-4,-4 D.4,-4DB3.運用完全平方公式計算:(1)(4m+n)2.

(2)(-a+b)2.【解析】(1)(4m+n)2=16m2+8mn+n2.(2)(-a+b)2=a2-2ab+b2.

完全平方公式的幾何背景(幾何直觀、推理能力)【典例1】(教材再開發·P20“思考·交流”強化)如圖所示,分別以長方形ABCD的BC,CD為邊向外作正方形BEFC和正方形DCGH,延長EF,HG交于點I.若正方形BEFC和正方形DCGH的面積和為13,長方形ABCD的面積為6,則正方形AEIH的周長為

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【自主解答】設正方形BEFC的邊長為a,正方形DCGH的邊長為b,因為正方形BEFC和正方形DCGH的面積和為13,長方形ABCD的面積為6,所以a2+b2=13,ab=6,又因為(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25,所以a+b=5或a+b=-5(舍去),所以4(a+b)=20,即正方形AEIH的周長為20.答案:20(2024·深圳期中)[閱讀材料]我們知道,圖形也是一種重要的數學語言,它直觀形象,能有效地表現一些代數中的數量關系,而運用代數思想也能巧妙地解決一些圖形問題.在一次數學活動課上,張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片,其中甲種紙片是邊長為x的正方形,乙種紙片是邊長為y的正方形,丙種紙片是長為y,寬為x的長方形.并用甲種紙片一張,乙種紙片一張,丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形.[理解應用](1)觀察圖2,用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式,請你直接寫出這個等式.[拓展升華](2)利用(1)中的等式解決下列問題.①已知a2+b2=10,a+b=6,求ab的值;②已知(2023-c)(c-2021)=-2022,求(2023-c)2+(c-2021)2的值.【解析】(1)題圖2中陰影部分的面積=(x+y)2-2xy,題圖2中陰影部分的面積=x2+y2,所以(x+y)2-2xy=x2+y2.(2)①當a2+b2=10,a+b=6時,代入(1)中的等式,得36-2ab=10,解得ab=13.②因為(2023-c)(c-2021)=-2022,且(2023-c)+(c-2021)=2,根據(1)中的等式,得4-2×(-2022)=(2023-c)2+(c-2021)2,所以(2023-c)2+(c-2021)2=4048.

1.(2024·廣州白云期中)計算(x-1)2=()A.x2-1 B.x2-x+1C.x2-2x+1 D.x2+2x+1【解析】(x-1)2=x2-2x+1.C2.(2024·佛山順德期末)計算:(3x-y)2=______________.

【解析】(3x-y)2=9x2-6xy+y2.

9x2-6xy+y2

1.下列運算結果正確的是()A.2a+3a=5a2

B.(-ab2)3=-a3b6C.a3·a3=a9

D.(a+2b)2=a2+4b2【解析】A.2a+3a=5a,原計算錯誤,故此選項不符合題意.B.(-ab2)3=-a3b6,原計算正確,故此選項符合題意.C.a3·a3=a6,原計算錯誤,故此選項不符合題意.D.(a+2b)2=a2+4ab+4b2,原計算錯誤,故此選項不符合題意.B2.計算:(-x-3y)2=______________.

【解析】(-x-3y)2=[-(x+3y)]2=(x+3y)2=x2+9y2+6xy.

x2+9y2+6xy

3.計算:(1)(3a-2b)2.

(2)(-x2-y)2.【解析】(1)原式=(3a)2-2×3a×2b+(2b)2=9a2-12ab+4b2.(2)原式=x4+2x2y+y2.知識點1

完全平方公式的幾何背景1.(2024·深圳龍華期末)下列圖形陰影部分的面積能夠直觀地解釋(x-1)2=x2-2x+1的是()【解析】選項A中的陰影部分的面積可以用(x-1)2=x2-2x+1來解釋.A知識點2

完全平方公式的應用2.下列計算結果正確的是()A.(x+y)2=x2+y2B.(x-y)2=x2-2xy-y2C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2D.(3x+y)2=9x2+6xy+y2【解析】A.原式=x2+y2+2xy,錯誤;B.原式=x2-2xy+y2,錯誤;C.原式=x2-4y2,錯誤;D.原式=9x2+6xy+y2,正確.D3.若4x2+4x+m=(2x+1)2,則m的值為()A.4 B.1 C.-1 D.-4【解析】(2x+1)2=4x2+4x+1,所以m=1.B4.(2024·深圳福田質檢)若(x+2)2=x2+kx+4,則k的值為______.

【解析】(x+2)2=x2+4x+4,則k=4.

4

6.(2024·梅州五華期末)已知(a+b)2=14,ab=3,則a2+b2=()A.4 B.8

C.11

D.20【解析】因為a2+b2=(a+b)2-2ab,(a+b)2=14,ab=3,所以a2+b2=14-2×3=8.B7.如圖所示,四個等腰直角三角形拼成一個正方形,則陰影部分的面積為()A.a2+b2

B.a2-b2C.2ab

D.4ab【解析】整體是邊長為a+b的正方形,因此面積為(a+b)2,四個等腰直角三角形的面積和為a2+b2,所以陰影部分的面積為(a+b)2-a2-b2=2ab.C8.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,則代數式A為________.

【解析】因為(x+2y)2=(x-2y)2+A,所以A=(x+2y)2-(x-2y)2=(x+2y+x-2y)(x+2y-x+2y)=2x·4y=8xy.

8xy

9.已知實數a,b滿足a-b=2,則2a2-4ab+2b2的值為______.

【解析】因為a-b=2,所以(a-b)2=a2-2ab+b2=4,所以2a2-4ab+2b2=2(a2-2ab+b2)=2×4=8.

8

11.(2024·珠海金灣期末)【綜合探究】實踐:把一張長方形紙片進行兩次連續對折后得到邊長為a,b(a>b)的小長方形(圖1),再展開還原(圖2)沿著折痕(虛線部分)剪開,拼成一個大正方形(圖3).

(1)猜想:①圖3中間小正方形的邊長為

;(用含a,b的式子表示)

②根據材料,直接寫出式子ab,(a-b)2,(a+b)2之間的等量關系

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(2)應用:若x+y=7,xy=2,求(x-y)2的值.【解析】(1)①由題圖3可得中間小正方形的邊長為a-b.答案:a-b②題圖3大正方形的面積可以表示為(a+b