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壓軸題專訓二隱形圓問題1．[2021·福建中考]如圖，在正方形ABCD中，E，F為邊AB上的兩個三等分點，點A關于DE的對稱點為A′，AA′的延長線交BC于點G.(1)求證：DE∥A′F；證明：如圖，設AG與DE的交點為O.∵點A關于DE的對稱點為A′，∴AO＝A′O，AA′⊥DE.∵E，F為邊AB上的兩個三等分點，∴AE＝EF＝BF，∴EO是△AA′F的中位線，∴EO∥A′F，即DE∥A′F.21(2)求∠GA′B的大小；解：如圖，連接GF.∵AA′⊥DE，四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，AD＝BA，∴∠ADE＋∠DEA＝90°＝∠DEA＋∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，即∠ADE＝∠BAG.在△ADE和△BAG中，

∴△ADE≌△BAG，∴AE＝BG，∴BF＝BG，∴∠GFB＝∠FGB＝45°.易知∠FA′G＝90°，又∵∠FBG＝90°，∴點F，B，G，A′四點共圓，∴∠GA′B＝∠GFB＝45°.21(3)求證：A′C＝2A′B.證明：設AE＝EF＝BF＝BG＝a，則AD＝BC＝3a，∴CG＝2a.在Rt△ADE中，DE＝由(2)知△ADE≌△BAG，∴AG＝DE＝

a.∵∠EAO＝∠ADE，∴sin∠EAO＝sin∠ADE，

∵EO是△AA′F的中位線，∴A′F＝2OE＝

a.∵∠FA′G＝∠FBG＝90°,∴∠A′FB＋∠A′GB＝180°.又∵∠A′GC＋∠A′GB＝180°，∴∠A′FB＝∠A′GC.21【提分筆記】1.利用圓的定義(平面內到定點的距離等于定長的所有點構成的集合)構造隱形圓．2．折疊問題中經常用到隱形圓，考慮方向：某一邊翻折時，此邊長度不變，軌跡為圓.3．定弦定角：∠APB，AB為定值→P點軌跡為圓弧．

常見特殊圖形：2.在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，點A在EB邊上，且CA＝BE.以AC為斜邊作Rt△DAC，使得B、D兩點在直線AC的異側，且∠DAC＝∠E，AD與EC交于點F.(1)求證：∠DCF＝∠ACB；21證明：(1)∵∠EBC＝90°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°，∠E＋∠ECB＝90°.∵∠DAC＝∠E，∴∠DCA＝∠ECB，即∠DCF＋∠ECA＝∠ACB＋∠ECA，∴∠DCF＝∠ACB.(2)求證：CF＝AD；21∵∠DAC＝∠E，∠ACE＝∠ACE，∴△CAF∽△CEA，

∵∠DAC＝∠E，∠EBC＝∠ADC＝90°，∴△CAD∽△CEB，∵CA＝BE，∴CF＝AD.(3)過點A作AH⊥EC，垂足為H.求證：EH＝AF.以AC為直徑作⊙O，連結BH，如圖．∵∠EBC＝∠AHC＝90

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