高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濟寧市2023-2024學年高二下學期期末考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則的元素個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】，.故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命題“”的否定是.故選：B.3.已知隨機變量，若，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C【解析】.故選：C.4.用5種不同的顏色對如圖所示的四個區域進行涂色，要求相鄰的區域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.60種 B.120種 C.180種 D.240種【答案】C【解析】先對區域涂色有5種選擇，再對涂色有4種選擇，繼續對涂色有3種選擇，最后對涂色還是有3種選擇，由乘法原理可知，總共有種涂色方法.故選：C.5.已知定義在上的偶函數,若對于任意不等實數都滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為對于任意不等實數都滿足，即當時，；時，故在區間上單調遞增.因為是定義在上的偶函數，則，所以不等式，又，由在區間上單調遞增.則，即，解得，或，故選：D.6.已知兩個變是和之間存在線性相關關系，某興趣小組收集了一組樣本數據，利用最小二乘法求得的回歸方程是，其相關系數是.由于某種原因，其中一個數據丟失，將其記為，具體數據如下表所示：123450.50.61.41.5若去掉數據后，剩下的數據也成線性相關關系，其相關系數是，則（）A. B.C. D.的大小關系無法確定【答案】A【解析】由表中數據可得，由樣本中心點在回歸直線上，得，解得，故去掉的一組數據恰為樣本中心點，故新樣本數據的平均值沒有變化，即仍然成立，由相關系數公式可知，則故選：A.7.已知函數在上是減函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題函數在上單調遞減且的對稱軸為，所以；因為函數在上單調遞減且的導函數為，所以,即在上恒成立；所以，，則，所以當時，，時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故；將代入得，代入得，所以若函數在上是減函數，則有，解得.故選：D.8.若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，，得，，，，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以，即.設，，則，得，當，，單調遞減，當，，單調遞減，所以當時，函數取得最小值0，所以，即（當且僅當時等號成立）所以，所以，所以所以.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則的最小值為9D.若，則的最大值為【答案】BD【解析】對于A，如果，則，故A錯誤；對于B，作差比較大小，,由于，則，則,即，故B正確.對于C,，當且僅當,即取等號，故C錯誤.對于D,由于，則，即，則,即，，，當且僅當取等號，故D正確.故選：BD.10.已知函數的定義域為，滿足.當時，，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于直線對稱B.是奇函數C.在上單調遞減D.【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以的圖象關于直線對稱，故A正確；對于B，因為，所以，且注意到函數的定義域為，所以是偶函數；對于C，因為時，所以，，所以，所以在上單調遞減，故C正確；對于D，因為，所以函數的周期是4，而，所以，故D正確.故選：ACD.11.如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點出發，每隔等可能地向左或向右移動一個單位.設移動次后質點位于位置，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.移動6次后質點位于原點O的概率最大【答案】ABD【解析】設隨機變量表示“移動次后質點向右移動的次數”，則，由題意知，即.對于A：，A正確；對于B：，B正確；對于C：，C錯誤；對于D：的所有可能取值有，，當時，最大，最大，D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數為冪函數，且在區間上單調遞減，則實__________.【答案】【解析】由題意得，，解得，故答案為：-113.現有6位同學報名參加學校的足球?籃球等5個不同的社團活動，每位同學只能參加一個社團，且每個社團都要有同學參加，在小華報名參加足球社團的條件下，有兩名同學參加足球社團的概率為__________.【答案】【解析】設事件為小華報名參加足球社團，事件為兩名同學參加足球社團，則.故答案：14.已知分別是函數和圖象上的動點，則的最小值為__________.【答案】【解析】當函數在點處的切線與的圖象平行時，則此時的最小值為點到直線的距離，，令，則，所以單調遞增，而，，所以存在唯一的，，且使得，所以，即，，所以，點到直線的距離為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為了解高二?1班學生數學建模能力的總體水平，王老師組織該班的50名學生（其中男生24人，女生26人）參加數學建模能力競賽活動.（1）若將成績在80分以上的學生定義為“有潛力的學生”，統計得到如下列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為該班學生的數學建模能力與性別有關聯？沒有潛力有潛力合計男生61824女生141226合計203050（2）現從“有潛力”的學生中按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人作進一步的調研，記隨機變量為這3人中男生的人數，求的分布列和數學期望.附：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為：該班學生的數學建模能力與性別無關，因為，所以，依據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據證明推斷不成立，因此可以認為成立，即該班學生的數學建模能力與性別無關.（2）從“有潛力”的學生中按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，則隨機變量服從超幾何分布，可能取.，，.則的分布列為123所以.16.在的展開式中，第3項與第10項的二項式系數相等.（1）求的展開式中的常數項；（2）若，求.解：（1）因為，所以.所以所以的展開式中的常數項為.（2）因為，令得.二項式兩邊求導，得到令得.所以.17.已知定義在上的函數滿足，且當時，.（1）求在上的解析式；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，所以，所以當時，，又當時，，所以；（2）因為，所以在上為增函數，又，所以，即，設，則，令得；令得，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，故，所以，即實數的取值范圍為.18.已知甲?乙兩位同學參加某知識競賽活動，競賽規則是：以搶答形式進行，共有7道題，搶到并回答正確者得1分，答錯則對方得1分，當其中一人得分領先另一人3分或7道題全部答完時比賽結束.甲?乙兩人搶到每道題的概率都是，甲正確回答每道題的概率均為，乙正確回答每道題的概率均為，且兩人每道題是否回答正確均相互獨立.（1）求答完前兩道題后兩人各得1分的概率；（2）設隨機變量為比賽結束時兩人的答題總個數，求的分布列和數學期望.解：（1）由題意可知，每道題都要搶題與答題，每人得分有兩種情況，“本人搶到且答對”與“對方搶到且答錯”.設“第道題甲得1分”，“第道題乙得1分”，“答完前兩道題后兩人各得1分”，則,則事件與為對立事件，與相互獨立，與與互斥，所以，，.（2）隨機變量的取值為.，，.所以隨機變量的分布列為357所以.19.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求的值；（3）在（2）的條件下，證明：.解：（1）函數的定義域為，又，①當時，在上單調遞增.②當時，令得；令得所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）①當時，在上單調遞增，又，所以當時，，所以不恒成立.②當時，在上