專題01全等三角形中的手拉手旋轉(zhuǎn)模型

【模型展示】

E

特點

6CD

在線段BCD同側(cè)作兩個等邊三角形4ABC和^CDE,連接AD與BE。

(1)ABCE^AACD,△BCM^AACN,AMCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=6O°

(3)AMCN為等邊三角形

結(jié)論

(4)MN〃:BD

(5)CF為/BFD的角平分線

(6)FC+FE=FD

【模型證明】

?/ABCEsAACD

:.ZCBE=ZCAD

ZACB=ZECD=60°

:.ZACN=60°

在

ZACB=ZECD=60°

<BC=AC

ZCBM=ZCAN

:.ABCM=AACN

vABCfisAACD

NBEC=NADC

在AMCE與A2VCD中

ZMCE=ZNCD=60°

-EC=DC

ZBEC=ZADC

AMCE三ANCD

2

E

b

BcD

ABCE=AACD

BE=AD

ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

NBMC=NAFM

ZBCM=ZAFM=60°,即ZAFB=60"

ABCM=AACN

:.CM=CN

ZMCN=60Q

AMCN為等邊三角形

???AMCN為等邊三角形

ZMNC=60°

???ZNCD=60°

NMNC=NNCD

:.MN//BD

E

BCD

3

過點C分別作PC1BE,QC1AD

:ABCEMAACD

:.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

:.RtABPC=RtAAQC

在RfAPCR與R/AQCT中

PC=QC

FC=FC

RtAPCF=RtAQCF

即RC平分ZBRD

在線段RDh截取FGuRE,連接EG

-.-FG=FE,NEFG=60°

.?.AER湃邊三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

ZCED=ZEFG=60°

:.ZFEC=ZGED

在AEG。與AEbS1

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

ZFEC=ZGED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

:.FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

4

結(jié)論：AE=CG且AE_LCG

其他相關(guān)

模型及其

結(jié)論結(jié)論：

1、=SCDE

2、若AM=GM,則其反向延長線DH_LCE;

3、DM=-CE

2

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在ABC中，ZABC=90°,分別以AB,AC為邊作等邊△ABD和等邊：ACE,連結(jié)DE,若AB=3,

AC=5,則ED=（）

A.2A/2B.273C.4D.3萬

2.如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形

CDE,與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與C。交于點Q,連結(jié)PQ.以下結(jié)論錯誤的是（)

B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

5

3.如圖，在小△ABC和以△ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=5,AD=AE=2,點P,Q,R分別

是BC,DC,DE的中點.把△ADE繞點A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則△PQR的面積不可能是（）

A.8B.6C.4D.2

4.如圖，在10ABe中，至=4?,點。、尸是射線BC上兩點，且AD，,，若=ZBAD=ZCAF=15°；

則下列結(jié)論中正確的有（）

①CELBF；②△ABD四△ACE；③=$四邊形A℃E;?BC-^EF=2AD-CF

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，正ABC和正△COE中，B、C、。共線，且BC=3a>,連接A。和BE相交于點R以下結(jié)論中

正確的有（）個

①/AFB=60。②連接尸C,則CF平分③BF=3DF?BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

6.如圖，點C是線段AE上一動點（不與A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形

CDE,AD與BE交于點0,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,有以下5個結(jié)論:①AD=BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；@DE=DP；⑤/AOB=60。.其中一定成立的結(jié)論有（）個

6

B

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

7.如圖，△ABD、△CDE是兩個等邊三角形，連接2C、BE.若NDBC=30。，BD=6,BC=8,則BE=

8.如圖，AABC中，ZC=90°,AC=BC=6,將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。到△ABC的位置，連

接BC,BC的延長線交于點D,則BD的長為.

9.如圖，ABC是邊長為5的等邊三角形，BD=CD,/BDC=120。.E、P分別在A2、AC上，且NED尸=60。,

則三角形AEF的周長為.

7

E

B

D

10.如圖，C為線段上一動點(不與點A、E重合)，在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE,AD與BE

交于點與2c交于點尸,3E與CD交于點Q,連接尸Q.以下五個結(jié)論:①AZ)=BE；②P。AE;③AP=2。；

?DE=DP；⑤/AO8=60。.恒成立的結(jié)論有.(把你認為正確的序號都填上)

三、解答題

11.如圖，AAa^D_ECD都是等腰直角三角形，C4=CB,C￡>=CE,A4C8的頂點A在白瓦力的斜邊DE上,

(1)求證：BD=AE.

(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的長.

12.如圖，A、B、C在同一直線上，且AABD,ABCE都是等邊三角形，AE交BD于點M,CD交BE于

點N,MN〃AC,求證：

(1)ZBDN=ZBAM；

(2)ABMN是等邊三角形.

8

E

13.如圖1,B、C、。三點在一條直線上，A。與BE交于點O,△ABC和△EC。是等邊三角形.

(1)求證：4ACD/ABCE；

⑵求/BOO的度數(shù);

14.在△AEB和AZJEC中，AC,BD相交于點尸，AE,8。相交于點O,AE=BE,DE=CE,ZAEB=ZDEC.

⑴求證：AC=BD；

(2)求證：ZAPB=ZAEB.

15.AACB和ADCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若點A,D,E在同一直線上，連接AE,BE.

①求證：4ACD咨LBCE；

9

②求NAEB的度數(shù).

⑵類比探究：如圖2,點B、D、E在同一直線上，連接AE,AD,BE,CM為△DCE中。E邊上的高，請

求的度數(shù)及線段AD,DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)拓展延伸：如圖3,若設(shè)(或其延長線)與BE的所夾銳角為a,則你認為a為多少度，并證明.

16.如圖，在AABC和AAOE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,連接BO,CE,8。與CE交于點

0,跳)與AC交于點H

(1)求證：BD=CE.

(2)若/BAC=48。，求/CO。的度數(shù).

(3)若G為CE上一點，GE=OD,AG=OC,S.AG//BD,求證：BD±AC.

17.如圖1,在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,/BAC=90。，點E,P分別為AB,AC的中點，H為線

段EF上一動點(不與點￡,F重合)，過點A作AGLA8且AG=A8,連接GC,HB.

(1)證明：AHB出AGC；

(2)如圖2,連接GRHG,8G交AF于點Q.

①證明：在點8的運動過程中，總有/班6=90。；

②當AQG為等腰三角形時，求NAHE的度數(shù).

(1)如圖1,線段AN與線段是否相等?證明你的結(jié)論；

(2)如圖1,線段4V與線段交于點。，求/AOM的度數(shù)；

(3)如圖2,AN與MC交于點E,BM與CN交于■點、F,探究ACM的形狀，并證明你的結(jié)論.

10

NN

19.已知：兩個等腰直角三角板△ACB和△OCE(AC=BC,DC=CE,ZACB=ZDCE=90°)如圖所示擺

放，連接4E、BD交于點、O.AE與。C交于點M,BD與AC交于點N.

(1)如圖1(兩個等腰直角三角板大小不等)，試判斷AE與8。有何關(guān)系并說明理由；

(2)如圖2(兩個等腰直角三角板大小相等，即AC=DC),在不添加任何輔助線的情況，請直接寫出圖2

中四對全等的直角三角形.

20.如圖1,在AABC中，CA=CB,ZACB=90°.點。是AC中點，連接80,過點A作AE_LB。交8。

的延長線于點E,過點C作CF±BD于點F.

(1)求證：NEAD=NCBD；

(2)求證：BF=2AE；

(3)如圖2,將ABCF沿BC翻折得到ABCG,連接AG,請猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系.

11

21.定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”.

圖1

圖2

(1)特例感知：如圖1,四邊形是“垂美四邊形”，如果。4=OO=go8,0B=2,ZOBC=GO°,貝。

AD2+BC1=,AB2+CD2=.

(2)猜想論證：如圖1,如果四邊形A3CZ)是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊A3,CD與BC,AD之間的

數(shù)量關(guān)系并給予證明.

(3)拓展應用：如圖2,分別以R3ACB的直角邊AC和斜邊為邊向外作正方形AC/G和正方形

連接CE,BG,GE,已知AC=4,440=60。，求GE長.

22.兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應連接起來得到

兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖形中，AB^AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE,連接80,CE,貝1]

(1)請證明圖1的結(jié)論成立；

(2)如圖2,△ABC和△AE。是等邊三角形，連接8。，EC交于點O,求/B0C的度數(shù)；

(3)如圖3,AB=BC,/ABC=/BDC=60。,試探究/A與/C的數(shù)量關(guān)系.

23.已知在&△ABC中，/ACB=90。，a,b分別表示/A,的對邊，a>b.記△ABC的面積為S.

12

圖1

(1)如圖1,分別以AC,CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形8GFC.記正方形ACDE的面積為耳，正

方形BGFC的面積為邑.

①若H=9,邑=16,求S的值；

②延長EA交GB的延長線于點N,連結(jié)FN,交2C于點交于點秋若(如圖2所示)，求

證：邑Y=2S.

(2)如圖3,分別以AC,CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE,記等邊三角形ACD的面積

為耳，等邊三角形CBE的面積為邑.以AB為邊向上作等邊三角形ABF(點C在△AB尸內(nèi))，連結(jié)￡尸,CF.若

EFLCF,試探索邑-，與S之間的等量關(guān)系，并說明理由.

24.如圖，在MAABC中，ZACB=90°,AC=BC,。為斜邊AB上一動點(不與端點A,B重合)，以C

為旋轉(zhuǎn)中心，將C。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接AE,BE,尸為AE的中點.

⑴求證：BE工AB；

(2)用等式表示線段CD,BE,CF三者之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

3

(3)若CP=5，CD=5求tanZBCE的值.

25.如圖，AC?和△COD都是以。為直角頂點的等腰直角三角形，連接AC,BD.

(1)如圖1,試判斷AC與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.

13

O

D

A------------------------B

圖1

(2)如圖2,若點。哈好在AC上，且D為AC的中點，AB=出,求一3OD的面積.

(3)如圖3,設(shè)AC與3。的交點為E,若AE=CE,44QD=60。，AB=4,求8的長.

14

專題01全等三角形中的手拉手旋轉(zhuǎn)模型

【模型展示】

E

特點

6CD

在線段BCD同側(cè)作兩個等邊三角形4ABC和^CDE,連接AD與BE。

(1)ABCE^AACD,△BCM^AACN,AMCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=6O°

(3)AMCN為等邊三角形

結(jié)論

(4)MN〃:BD

(5)CF為/BFD的角平分線

(6)FC+FE=FD

【模型證明】

15

16

E

b

BcD

ABCE=AACD

BE=AD

ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

NBMC=NAFM

ZBCM=ZAFM=60°,即ZAFB=60"

ABCM=AACN

:.CM=CN

ZMCN=60Q

AMCN為等邊三角形

???AMCN為等邊三角形

ZMNC=60°

???ZNCD=60°

NMNC=NNCD

:.MN//BD

E

BCD

17

過點C分別作PC1BE,QC1AD

:ABCEMAACD

:.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

:.RtABPC=RtAAQC

在RfAPCR與R/AQCT中

PC=QC

FC=FC

RtAPCF=RtAQCF

即RC平分ZBRD

在線段RDh截取FGuRE,連接EG

-.-FG=FE,NEFG=60°

.?.AER湃邊三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

ZCED=ZEFG=60°

:.ZFEC=ZGED

在AEG。與AEbS1

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

ZFEC=ZGED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

:.FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

18

一、單選題

1.如圖，在ABC中，ZABC=90°,分別以AB,AC為邊作等邊△ABD和等邊：ACE,連結(jié)DE,若AB=3,

AC=5,則ED=()

A.2A/2B.273C.4D.3亞

【答案】C

【分析】在RfAABC中可直接運用勾股定理求出BC,然后結(jié)合“手拉手”模型證得△ABC四△A￡>E,即可得

到OE=BC,從而求解即可.

【詳解】解：在RfAABC中，AB=3,AC=5,

由勾股定理得：BC=4,

,/△ABD和,ACE均為等邊三角形，

：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

：.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

19

即：ZBAC=ZDAE,

在△ABC和A4OE中，

AB=AD

，ABAC=ZDAE

AC=AE

：.△ABC^^\ADE(SAS),

：.DE=BC=4,

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用

勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵.

2.如圖，C為線段AE上一動點(不與點A,E重合)，在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形

CDE,與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與C。交于點Q,連結(jié)尸。.以下結(jié)論錯誤的是()

R

A.ZAOB=6Q°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC//DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCBE=/OEO,于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,得出A正確；根據(jù)△CQB等(ASA),得出B

正確；由4ACD%ABCE得NCBE=NDAC,力口之/ACB=/OCE=60。,AC=BC,得至!]△CQB咨△CfiA(ASA),

再根據(jù)NPCQ=60。推出△尸C。為等邊三角形，又由/PQC=/DCE,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出C

正確；根據(jù)/CDE=60。，ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知/。。用NCQE,得出D錯誤.

【詳解】解：：等邊AABC和等邊ACDE,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=ZBCE,

在△40與4BCE中，

AC=BC

<NACD=NBCE,

CD=CE

.".△ACD^ABCE(SAS),

20

ZCBE=ZDAC,

又丁ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,即ZACP=ZBCQ,

^：AC=BC,

在^CQB與ACPA中，

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

APAC=ZCBQ

：./\CQB^/\CPA(ASA),

:.CP=CQ,

又：NPCQ=60。可知△尸CQ為等邊三角形，

???ZPQC=ZDCE=60°,

：.PQ〃AE,

故C正確，

?:△CQ^QXCPA,

：.AP=BQf

故B正確，

*：AD=BEfAP=BQ,

：.AD-AP=BE-BQf

即DP=QE,

9：ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,

AZDQE^^CDE,故D錯誤；

ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,

??,等邊△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

:?BC〃DE,

：.ZCBE=ZDEO,

：.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

故A正確.

故選：D.

21

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到

不變量.

3.如圖，在mAABC和RdADE中，ZBAC=ZDAE=9Q°,AB=AC=5,AD=AE=2,點尸，Q,R分別

是BC,DC,DE的中點.把△ADE繞點A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則APOR的面積不可能是（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】連接2。、CE,2。的延長線交CE的延長線于。，AC交2。于"證明△54D烏△C4瓦然后可推

出APOR是等腰直角三角形，54尸。氏=白2。2,由48=5,4）=2可知3SBH7,從而得到那么

/22

9149即可得出答案.

OZO

【詳解】解：連接5。、CE,5。的延長線交CE的延長線于0,AC交B0于H.

\'AB=AC9AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°f

：./BAD=NCAE,

：.ABAD^ACAE,

:,BD=CE,/ABH=/OCH,

9：ZAHB=ZCHO,

???NO=NA4H=90。，

??,點尸，。，H分別是BC,DC,0E的中點，

：?PQ=WBD,PQ//BO,QR=^EC,QR//CO,

???30J_0C,

：.PQ-LRQ,PQ=QR,

???△PQH是等腰直角三角形，

1c

PQR=^-PQ2,

22

\"AB=5,AD=2,

：.3<BD<7,

，△PQR的面積不可能是8,

故答案為：A.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定

理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.

4.如圖，在sABC中，至=4?,點。、尸是射線BC上兩點，且AD，,，若=ZBAD=ZCAF=15°；

則下列結(jié)論中正確的有（）

①CELBF；②△ABD/AACE；③以.=S四邊形的。；@BC-^EF=2AD-CF

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】由ADLAF,ZBAD=ZCAF,得出/BAC=90。，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/B=/ACB=45。，

由SAS證得△ABD附Z\ACE(SAS),得出BD=CE,ZB=ZACE=45°,SAABC=S四邊形ADCE,貝!)/ECB=90°,

即EC_LBF,易證/ADF=60。，ZF=30°,由含30。直角三角形的性質(zhì)得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,則BD=

|EF,由BC-BD=DF-CF,得出BC-：EF=2AD-CF,即可得出結(jié)果.

【詳解】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

.\ZBAC=90°,

VAB=AC,

；.NB=/ACB=45。，

在△ABD和AACE中，

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

23

.".△ABD^AACE(SAS),

/.BD=CE,NB二NACE=45°,ABC=S四邊形ADCE,

???ZECB=90°,

AEC±BF,

VZB=45°,ZBAD=15°,

???ZADF=60°,

???ZF=30°,

.\EF=2CE=2BD,DF=2AD,

ABD=|EF,

VBC-BD=DF-CF,

.?.BC-|EF=2AD-CF,

①、②、③、④正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、含30。角直角三角形的性質(zhì)、外角

的定義等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，正.ABC和正△CDE中，B、C、。共線，且BC=3CD,連接4。和BE相交于點孔以下結(jié)論中

正確的有()個

①/AFB=60。②連接FC,則CF平分NBFD③BF=3DF?BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)“手拉手”模型證明從而得到/CBE=/C4D,再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可

求解/ATO=NACB=60。，即可證明①；作CNL3E于河點，CN1AD于N點、,證明CEM&CDN,結(jié)

合角平分線的判定定理即可證明②；利用面積法表示和的面積，然后利用比值即可證明③；

利用“截長補短”的思想，在池上取點。，使得FC=FQ,首先判斷出一PCQ為等邊三角形，再結(jié)合“手拉

24

手''模型推出；3CF之qACQ即可證明④.

【詳解】解：①???ABC和均為等邊三角形，

AZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在；3CE和中，

BC=AC

</BCE=ZACD

EC=DC

：..BCE^ACD(SAS)9

：./CBE=/CAD,

VZAFB=ZCBE-^-ZCDA,ZACB=ACDA+ACAD,

AZAFB=ZACB=60°,故①正確；

②如圖所示，作00,5石于M點，CN上AD于N點、,

則ZCME=ZCND=90°,

?；LBCE'ACD,

：./CEM=/CDN,

在&CEM和△CDN中，

ACME=ZCND

<NCEM=ZCDN

CE=CD

；?iCEMMCDN(AAS),

：.CM=CN9

/.CF平分ZBFD,故②正確；

③如圖所示，作于尸點，

SBRCF=-BF.CM=-BC.FP,S力?=-DF?CN=-CD-FP,

22DCF22

-BF.CM-BC.FP

?c3BCF__2_______2______

??~s-1-1'

3DCF-DF.CN-CD.FP

22

*：CM=CN,

25

BFBC

???整理得:

DF-CD

,:BC=3CD,

.BF3CD0

>.-----=-------=3,

DFCD

:.BF=3DF,故③正確;

④如圖所示，在AD上取點。，使得FC=FQ,

,：ZAFB=ZACB=60°,CF平分ZBFD,

二Z.BFD=120。，ZCFD=-ZBFD=60°,

2

；?-PCQ為等邊三角形，

ZFCQ=60°,CF=CQ,

???ZACB=60°,

：.ZACB+ZACF=NFCQ+ZACF,

NBCF=NACQ,

在△以才和4AC。中，

BC=AC

■NBCF=ZACQ

CF=CQ

：..BCF^ACQ(SAS),

：.BF=AQ,

VAQ=AF+FQ,FQ=FC,

：.BF=AF+FC,故④正確；

綜上，①②③④均正確；

故選：A.

【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等邊三角形的基本性質(zhì),

掌握全等三角形中的輔助線的基本模型，包括“手拉手”模型，截長補短的思想等是解題關(guān)鍵.

26

6.如圖，點C是線段AE上一動點（不與A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形

CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,有以下5個結(jié)論:①AD=BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤NAOB=60。.其中一定成立的結(jié)論有（）個

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,從而證出

△ACD^ABCE,可推知AD=BE；

③由△ACD絲ZiBCE得/CBE=NDAC,力口之NACB=NDCE=60。，AC=BC,得至!]△ACPg^BCQ(ASA),

所以AP=BQ；故③正確；

②根據(jù)②△CQBgZ\CPA(ASA),再根據(jù)/PCQ=60。推出△PCQ為等邊三角形，又由/PQC=/DCE,根

據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；

④根據(jù)NDQE=/ECQ+NCEQ=6(F+/CEQ,ZCDE=60°,可知NDQE彳/CDE,可知④錯誤；

⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC〃DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCBE=NDEO,于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,可知⑤正確.

【詳解】①,?,等邊△ABC和等邊△DCE,

；.BC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60°,

/.ZACD=ZBCE,

在△ACD和△BCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

AACD^ABCE(SAS),

；.AD=BE；

故①正確；

③,.?△ACD^ABCE(已證)，

；./CAD=/CBE,

27

??,ZACB=ZECD=60°(Bffi),

???ZBCQ=180°-60°x2=60°,

???ZACB=ZBCQ=60°,

在△ACP與ABCQ中，

NCAD二NCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60°,

???AACP^ABCQ(ASA),

???AP=BQ；

故③正確；

②;AACP^ABCQ,

APC=QC,

AAPCQ是等邊三角形，

???NCPQ=60。,

.\ZACB=ZCPQ,

???PQ〃AE；

故②正確；

?VAD=BE,AP=BQ,

.?.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,

NDQErNCDE,

???DErQE,

貝IJDPrDE,故④錯誤；

⑤丁ZACB=ZDCE=60°,

NBCD=60。，

??,等邊△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

???BC〃DE,

:.ZCBE=ZDEO,

JZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正確；

28

綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤，錯誤的結(jié)論只有④，

故選D.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，此圖形是典型的“手拉手”模型，

熟練掌握此模型的特點是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.如圖，AABD、是兩個等邊三角形，連接2C、BE.若/DBC=30。，BD=6,BC=8,則=

【答案】BE=10

【分析】連接AC,根據(jù)題意易證△ACD0ABED(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=BE,再根據(jù)勾股

定理求出AC的值即可得出結(jié)論.

【詳解】如圖，連接AC,

AABZ)>△CDE是兩個等邊三角形，

；.AB=BD=AD=2,CD=DE,ZABD=ZADB=ZCDE=60,

ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,

.".ZADC=ZBDE,

AD=BD

在^ACD與ABDE中<ZADC=ZBDE,

CD=DE

：.AACD^ABED(SAS),

；.AC=BE,

ZDBC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=60°+30°=90°,

在RtAABC中，AB=6,BC=8,

29

AC=7AB2+BC2=762+82=10>

.".BE=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，孰練的掌握知識點是解題

關(guān)鍵.

8.如圖，AABC中，ZC=90°,AC=BC=6,將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。到△A5C的位置，連

接BC,的延長線交于點D,則2D的長為.

【答案】6

【分析】連接89，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=A￡,判斷出△AB夕是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊

都相等可得AB=BB',然后利用“邊邊邊”證明△ABC和AB，BC全等,根據(jù)全等三角形對應角相等可得/ABC

=ZB'BC,延長BC交AB，于D,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得利用勾股定理列式求出AB,然后

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出2D

【詳解】解：如圖，連接28',

B'

△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△AB'C,

J.AB^AB',ZBAB'=60°,

/XAB夕是等邊三角形，

30

在△ABC和A23c中，

AB=BB'

<AC'=B'C,

BC'=BC

.?.△ABCN/XHBC'(SSS),

ZABC'^ZB'BC=3Q°,

延長BC交AH于D,

則BDLAB',

VZC=90°,AC=BC=0,

；.AB=J(何+(0j=2=AB',

AD=—AB=1

2

BD=SJAB2-AD2=6，

故答案為：V3

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形

的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

9.如圖，ABC是邊長為5的等邊三角形，BD=CD,N3DC=120。.E、尸分別在AB、AC上，且/￡0尸=60。，

則三角形AE尸的周長為.

【答案】10

［分析】延長AB到N,使BN=CF,連接DN,求出NFCD=/EBD=/NBD=90。,根據(jù)SAS證4NBD學AFCD,

推出￡W=￡)/，ZNDB=ZFDC,求出NEDF=NEDN,根據(jù)SAS證AEDF0AEDN,推出￡尸=硒，易得AAEF

的周長等于AB+AC.

【詳解】解：延長A2到N,使BN=CF,連接LW,

31

A

：.ZABC=ZACB=60°,

■:BD=CD,ZBDC=nO°,

：./DBC=/DCB=30。,

：.ZACD=ZAB￡)=30°+60°=90°=ZNBDf

???在△嵇。和4bCD中，

BD=DC

<ZNBD=ZFCD,

BN=CF

:?△NBD/&FCD(5AS),

：.DN=DF,NNDB=/FDC,

VZB￡)C=120°,ZEDF=60°,

：.NEDB+NFDC=6。。,

：.ZEDB+ZBDN=60°,

即ZEDF=ZEDN,

在△石/和△即尸中，

DE=DE

<ZEDF=/EDN,

DN=DF

:.XEDN經(jīng)XEDF(SAS),

EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

???△ABC是邊長為5的等邊三角形，

：.AB=AC=5,

?；BE+CF=EF,

：.AAEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,

故答案為：10.

32

【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性

質(zhì)和判定的綜合運用.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

10.如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE,AD與BE

交于點與BC交于點與CO交于點Q,連接PQ.以下五個結(jié)論:①AO=BE；②P。AE；?AP=BQ；

@DE=DP；⑤NAOB=60。.恒成立的結(jié)論有.（把你認為正確的序號都填上）

【答案】①②③⑤

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及SAS即可證明；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明AMCN為等邊三角形，再證

明△即可求解.

【詳解】解：①△鈿（7和△DCE均是等邊三角形，點A,C,E在同一條直線上，

：.AC=BC,EC=DC,NBCE=NACD=120。

：.AACD^AECB

'.AD=BE,故本選項正確，符合題意；

②?：AACD絲AECB

：.ZCBQ=ZCAP,

又,/ZPCQ=ZACB=60°,CB=AC,

：.ABCe^AACP,

：.CQ=CP,

又NPCQ=60。，

.?.△PC。為等邊三角形，

ZQPC=6Q0=ZACB,

J.PQl/AE,故本選項正確，符合題意；

③,/ZACB=NDCE=60。,

：.ZBCD=60°,

：.ZACP=ZBCQ,

'：AC=BC,ZDAC=ZQBC,

：./\ACP^/\BCQ(ASA),

33

CP=CQ,AP=BQ,故本選項正確，符合題意；

④已知△ABC、AOCE為正三角形，

故/。以=/2。1=60。=4DCB=60°,

又因為/￡>PC=/ZMC+NBC4,ZBCA=60°=>zDPC>60°,

故。P不等于OE,故本選項錯誤，不符合題意；

⑤「△ABC、ADCE為正三角形，

AZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

/.△ACD^ABCE(SAS),

/.ZCAD=ZCBE,

：.ZAOB=ZCAD+ZCEB=ZCBE+ZCEB,

ZACB=ZCBE+ZCEB=60°,

ZAOB=60°,故本選項正確，符合題意.

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③⑤.

三、解答題

11.如圖，△ACB和ECD都是等腰直角三角形，。4=。尻。￡>="44圓的頂點4在上瓦刀的斜邊止上,

(1)求證：BD=AE.

(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）AC='?cm.

2

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得出NBCD=/ACE,然后根據(jù)SAS定理證明△BCD絲ZXACE,從而得

出結(jié)論;

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/BDC=NAEC,然后結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求得/BDA是直角三角

34

形，從而利用勾股定理求解.

【詳解】⑴?「△ACB和一ECD都是等腰直角三角形，

.??ZACB=ZECD=90。,

：.ZACD+/BCD=90°,ZACD+ZACE=90°,

:.ZBCD=ZACE,

在△以?和△AC5中，

CB=CA

</BCD=/ACE

CD=CE

:.NBCD^ACE(SAS),

???BD=AE.

(2)YBCD與ACE,

：.NBDC=ZAEC,

又???..ECD是等腰直角三角形，

???ZCDE=ZCED=45°,

：.ZBDC=45。,

：.ZBDC+ZCDE=90°,

???NHD4是直角三角形，

???AB2=Blf+AD1=AE2+AD2=32+62=45,

在等腰直角三角形ACB中，

AB2=AC2+BC2=2AC2,

2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

12.如圖，A、B、C在同一直線上，且AABD,ABCE都是等邊三角形，AE交BD于點M,CD交BE于

點N,MN〃AC,求證：

(1)ZBDN=ZBAM；

(2)△BMN是等邊三角形.

35

E

ARC

【答案】(1)證明過程見詳解；(2)證明過程見詳解。

【分析】(1)只需要證明AABE也AD3C,就可以得到/3DN=NB4Af.

(2)NDBA=NEBC=60°,因為MN〃AC,所以NACVB=NNBC=60°,NNMB=/MBA=60°,所以ABMN

是等邊三角形.

【詳解】證明：(1)VZEBC=ZABD=60°

：.ZDBC=ZABE

在ADBN、A4BM中

DB=AB

<ZDBC=ZABE

BC=BE

：.AABE0NDBC

.\ZBDN=ZBAM

(2)；NDBA=NEBC=60°,MN//AC,

，NMNB=NNBC=6G,

NNMB=NMBA=6?,

所以ABAW是等邊三角形.

【點睛】這是一個典型的手拉手模型，是初中幾何必會的模型之一，兩個60。的三角形是等邊三角形.

13.如圖1,B、C、。三點在一條直線上，AD與BE交于點。，△ABC和AEC。是等邊三角形.

A

AE

圖1

(1)求證：AACD/ABCE；

(2)求/BOO的度數(shù)；

(3)如圖2,若B、C、。三點不在一條直線上,N8OD的度數(shù)是否發(fā)生改變？________(填“改變”或“不改

36

變”)

【答案】(1)證明見解析

(2)ZBO￡>=120°

(3)不改變，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)"SAS'證明△ACD之△BCE即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得/AOC=NBEC,再由三角形的外角性質(zhì)得/4。8=60。，即可求解；

(3)同(1)得：4ACD咨LBCE,得出/D4C=NEBC,根據(jù)三角形外角求出/AOE=120。，即可得出答

案.

(1)

證明：：AASC和△ECD是等邊三角形,

：.ZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

ZBCE=ZACD,