專題27三角形的內切圓（基礎）

一.選擇題

1.如圖，在△ABC中，AO,B0分別平分NBAC,ZABC,則點。是△ABC的（）

A

A.夕卜心B.內心C.中線交點D.高線交點

b+c—CL

2.已知AC_L8C于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列選項中。。的半徑為一--的是（）

AA

B"

B.3C

az6

aD."C

3.如圖，。/為△ABC的內切圓，AB=9,3c=8,CA=10,點。，E分別為AB,AC上的點，且0E與。/

相切，DE//BC,則DE的長（）

BC

8873

A.3.6B.—C.3D.—

2727

4.如圖，在△ABC中，/是△ABC的內心,。是A3邊上一點，。。經過8點且與A/相切于/點.若tan

74

，則sin/C的值為（）

A

o.

5.如圖，O。截△ABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是（）

A.點。是△ABC的內心B.點。是AABC的外心

C.ZiABC是正三角形D.△ABC是等腰三角形

6.三角形的內心是（）

A.三條中線的交點

B.三條高的交點

C.三邊的垂直平分線的交點

D.三條角平分線的交點

7.如圖，在△A2C中，點/為△ABC的內心，點D在BC上，且〃）_L3C,若NABC=44°,ZC=56°,

則的度數為（）

C.178°D.180°

8.如圖，△ABC是一張三角形紙片，。。是它的內切圓，點。、E是其中的兩個切點，已知AO=6aw,小

明準備用剪刀沿著與。。相切的一條直線剪下一塊三角形（△AMN）,則剪下的△AMN的周長是（）

C.15cmD.18cm

9.如圖，正△ABC的三邊上有三點D,E,F,且AD=BE=CR設A3=x,DE=y,△AD尸的內切圓的半

徑為遮，則關于x的函數關系式為（）

B.y=%

A.y=x-6C.y=x-3D.y=—

JX

10.如圖，RtZ\ABC頂點A,2分別在〉軸，x軸上，ZABC=90°,且A3=20,AC=10V5.將△ABC沿

AC折疊，B點落在D處，NBAD+NCBX=9Q°,則△AOB的內心的坐標是（）

(4.5,4.5)C.(6,6)D.(6,8)

11.如圖所示，△ABC的內切圓。。與AB、BC、AC分別相切于點。、E、F,若/￡>E『=55°,則/A的

度數是（）

C.70°D.125°

12.如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D,連接2D,BE,CE,若/

CBD=32°,則NBEC的大小為（）

A.64°B.120°C.122°D.128°

二.填空題

13.如圖，已知正方形A2CZ）的邊長為m正方形EPG8的邊長為6,則△4跖的內切圓半徑為

14.如圖，點。是△A2C的內切圓的圓心，若NBAC=80°,則/BOC=（填度數）.

15.等腰△ABC中，ZA=60°,其面積為----，它的內切圓面積為

27-------------

16.如圖，是△ABC的內切圓，與AB,BC,CA分別切于點O,E,F,ZDOE=120°,ZEOF=110°,

則乙4=,/B=,ZC=.

17.在RtzMBC中，ZC=90,AC=6,BC=8,且△ABC的三邊都與圓O相切，則圓O的半徑r=

18.如圖，內切于△ABC,切點依次為￡＞、E、F,若AB=5,BC=1,AC=8,那么AD=,BE

=,CF=.

19.如圖，ZVIBC的三邊分別切OO于。、E、F,若/A=50°,則

A

20.如圖，在△ABC中，點。是△ABC的內心，ZA=48°,ZBOC=

21.如圖，ZVIBC的內切圓與三邊分別相切于點。、E、F,若48=50°,則/EOE=度.

22.如圖，△A2C的周長為24c〃z,AC=8cm,。。是△ABC的內切圓，。。的切線MN與A3、BC分別交

于點M、N,則△BMN的周長為cm.

23.如圖，。0是等邊△ABC的內切圓，分別切AB,BC,AC于點E,F,D,P是麗上一點，則/EPF的

度數是.

三.解答題

24.如圖，△A2C中，AC=BC,/為△ABC的內心，。。經過2,/兩點，且。在2C邊上，。0與BC交

于點D.

(1)求證：C/為。。的切線;

1

(2)若tanZCBI=j,AB=6,求BC的長.

25.如圖1,O。為aABC的外接圓，點。在圓上，AD為△A2C中NCAB的外角平分線.

(1)如圖1,證明：DB=DC；

D

(2)如圖2,延長ZM交BC的延長線于/點，△CZJM的內心尸在死■上，若tan/M=求tan/DCB

的值.

圖1圖2

26.在△ABC中，M是BC邊的中點，/是內切圓的圓心，A〃_LBC于點”，E是直線與A”的交點，求

證：AE=r.其中r是內切圓的半徑.

27.如圖，點E是AABC的內心，AE的延長線和AABC的外接圓。。相交于點。，求證：DE=DB.

28.如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D

(1)若求NDBC；

(2)求證：BD=DE.

29.如圖，△ABC外切于OO,切點分別為。、E、F,BC=7,OO的半徑為百，

(1)ZA=60°,求△A2C的周長.

(2)若/A=70°,點M為。0上異于RE的動點，則/FME的度數為

RDC

30.如圖，出是0。的切線，切點為A,AC是。。的直徑，連接O尸交。。于E.過A點作于點

D,交。。于8,連接BC,PB.

(1)求證：PB是的切線；

(2)求證：E為△E4B的內心；

/Tn

(3)若cos/P4B=)岑，BC=\,求PO的長.

專題27三角形的內切圓（基礎）

一.選擇題

1.如圖，在△ABC中，AO,B0分別平分NBAC,ZABC,則點。是△ABC的（）

bC

A

A.外心B.內心C.中線交點D.高線交點

【分析】根據三角形的內心是三角形三個內角角平分線的交點即可得結論.

【解答】解：：A。，8。分別平分NBAC,ZABC,

.?.點。是AABC的內心.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，解決本題的關鍵是區分三角形的內切圓與外接圓的定義.

b+c—a

2.已知ACL8C于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列選項中O。的半徑為一--的是（）

【分析】根據圓切線的性質和相似三角形的性質分別進行判定即可.

【解答】解：A、設圓的半徑是尤，圓切AC于E,切于。，切于R如圖（1）,

同樣得到正方形OECD,AE=AF,BD=BF,貝Ua-尤+b-x=c,

故本選項錯誤;

B、設圓切A3于尸，圓的半徑是》連接。尸，如圖(2),

圖（2）

,OFAO

則—=—,

BCAB

yb-y

ac

ab

）y="a+：-c,

故本選項錯誤;

C、連接OE、OD,

BD^C

圖（3）

VAC>3C分別切圓。于E、D,

；?/OEC=NODC=NC=90°,

*：OE=OD,

???四邊形OECO是正方形，

：.OE=EC=CD=OD,

設圓。的半徑是r,

*：OE//BC,

：.NAOE=NB,

/AEO=/ODB,

...△OD5s△AEO,

OEAE

OD

b-r

a-rr

故本選項錯誤;

D、從上至下三個切點依次為D,E,F；并設圓的半徑為x；

,:BD=BF,

.,.AD=BD-BA=BF-BA=a+x-c；

又,:b-;c=AE=AO=a+x-c；

b+c—a

所以尤=

2

故本選項正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查對正方形的性質和判定，切線的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內切

圓與內心，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據這些性質求出圓的半徑是解此題的關鍵.

3.如圖，為△ABC的內切圓，AB=9,BC=8,CA=10,點。，E分別為AB,AC上的點，且。E與

相切，DE//BC,則DE的長（

8873

A.3.6B.—C.3D.—

2727

【分析】如圖，O/與AB、AC、DE的切點為/、N、G,DG=DM=x,EG=EN=y.首先求出AM、

4EDE

期的長’由皿得到而=就=靛'列出方程組即可解決問題?

【解答】解：如圖，。/與AB、AC、OE的切點為M、N、G,設OG=OM=x,EG=EN=y.

AB+AC-BC11

\*AM=AN=

2

1111

■:DE〃BC,

.ADAEDE

AB~AC~BC'

1111

?4F-一xF乙-一yx+，y

??—,

9108

解得x=S產告

.11,77_88

..OE=x+y=/+互=斤

故選：B.

【點評】本題考查三角形內切圓與內心，切線長定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是

學會利用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型.

4.如圖，在△A2C中，/是△ABC的內心，。是邊上一點，。。經過2點且與4相切于/點.若tan

74

，則sin/C的值為（）

D心

3

【分析】延長4/交BC于O,連接O/,作BHLAC于H,如圖，根據內心的性質得/。8/=/DB/,則

可證明。/〃BD,再根據切線的性質得OLA/,則加上4/平分NBAC,所以△ABC為等腰三

角形，得至!JAB=4C,接著在中，利用正切的定義得到tan/54H=^=,,于是可設BH=

24x,AH=lx,利用勾股定理得到AB=25x,貝UAC=AB=25x,CH=AC-AH=l8x,然后在Rt2\BC//

中，利用勾股定理計算出BC=30x,再利用正弦的定義計算sinC的值.

【解答】解：延長A/交BC于。，連接O/,作B"L4C于”，如圖，

:/是△ABC的內心，

JBI平分NA3C,即Z0BI=Z.DBI,

?：OB=OI,

：.ZOBI=ZOIB,

ZDBI=ZOIB9

：.OI//BD,

；A/為。。的切線，

OI±AI,

：.BD±AD,

平分NBAC,

...△ABC為等腰三角形，

：.AB=AC,

在RtZvlBH中，tan/BAH=端=竿

設2H=24尤，AH=lx,

：.AB=y/BH2+AH2=25x,

.?.AC=A3=25x,

???CH=AC-AH=25x-7x=18x,

在RtZXBCH中，BC=VCH2+BH2=30x,

..「BH24%4

..smc=—=—=-.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內

切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內心就是三角形三個內角角

平分線的交點.也考查了等腰三角形的判定與性質.

5.如圖，截AABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是（）

A.點。是△ABC的內心B.點。是aABC的外心

C.ZVIBC是正三角形D.△A2C是等腰三角形

【分析】過。作OM_LAB于M,ONLBC于N,OQLAC于Q,連接OK、OD、OF,根據垂徑定理和

已知求出DM=KQ=7W,根據勾股定理求出OM=ON=O。，根據三角形內心的定義求出即可.

【解答】解:

過。作0M_L42于M,ONLBC于N,OQ_LAC于。，連接OK、OD、OF,

111

由垂徑定理得：DM=KQ=]KH,FN—FG,

"：DE=FG=HK,

：.DM=KQ=FN,

'：OD=OK=OF,

...由勾股定理得：OM=ON=OQ,

即0到三角形ABC三邊的距離相等，

是△ABC的內心，

故選：A.

【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的內心的應用，注意：三角形的內心到三角形三邊的

距離相等.

6.三角形的內心是（）

A.三條中線的交點

B.三條高的交點

C.三邊的垂直平分線的交點

D.三條角平分線的交點

【分析】根據三角形的內心的性質解答即可.

【解答】解：因為三角形的內心為三個內角平分線的交點，

故選：D.

【點評】此題主要考查了三角形內切圓與內心，解題的關鍵是要熟記內心的定義和性質.

7.如圖，在△ABC中，點/為△ABC的內心，點。在BC上，且">_LBC,若NABC=44°,ZC=56°,

則的度數為（)

A

A.174°B.176°C.178°D.180°

【分析】先利用三角形內角和得到/BAC=80°,再根據三角形內心性質得到/AB/=NDB/=22°,Z

BAI=40°,則可計算出NA/B=118°,48/0=68°,然后根據周角的定義計算NA/D的度數.

【解答】解：?.?/ABC=44°,ZC=56°,

AZBAC=180°-44°-56°=80°,

?.?點/為AABC的內心，

11

ZABI=ZDBI=^ZABC=22°,ZBAI=^ZBAC=40°,

AZA/B=180°-22°-40°=118°,

\'ID±BC,

：.ZBID=90°-22°=68°,

AZAID=36Q°-118°-68°=174°.

故選：A.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與

三角形頂點的連線平分這個內角.

8.如圖，△ABC是一張三角形紙片，。。是它的內切圓，點。、E是其中的兩個切點，已知AZ)=6C7W,小

明準備用剪刀沿著與。。相切的一條直線剪下一塊三角形(△AMN),則剪下的△AMN的周長是()

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

【分析】利用切線長定理得出MF,FN=EN,AD=AE,進而得出答案.

【解答】解：如圖所示：

「△ABC是一張三角形的紙片，OO是它的內切圓，點。是其中的一個切點，AD=6cm,

設尸是。。的切點，

故。FN=EN,AD=AE,

：.叢AMN的周長=AM+AN+MN=AD+AE=6+6=12(cm).

【點評】此題主要考查了三角形的內切圓、切線長定理；由切線長定理得出AM+AN+MN=AD+4E是解

題關鍵.

9.如圖，正△ABC的三邊上有三點O,E,F,S.AD=BE=CF,設AB=無，DE=y,△AOF的內切圓的半

徑為痣，則關于x的函數關系式為（）

A.y=x-6B.y=-^-xC.y=x-3D.y=—

11

【分析】首先證明△DEb是等邊三角形，由SMDF=SABDE=SAEFC=2(AD+AF+DF)*V3=,(x+y)?遮,

根據S叢ABC一SAEDF=3°SAADF,可得f丁2_亨/2=3?5?(]+,)?百，化簡后即可解決問題.

【解答】解：?:△ABC為等邊三角形，且AD=BE=b

：.AF^BD=CE,

又?.?/4=/3=/。=60°,

:?△ADF/dBED/ACFE(SAS),

：.DF=ED=EF,

???&DEF是一個等邊三角形，

11

.：SAADF=SABDE=SAEFC=2(AD+AF+DF)?V3=々(x+y)*V3,

***S/\ABC-SAEDF=3°SAADF，

??￥/=3(x+y)*V3,

(x2-^2)=6(x+y),

(x+y)(x-y)=6(x+y),

?:x+yWO,

??x-y=6,

*.y=x-6.

故選：A.

【點評】題主要考查了等邊三角形的判定與性質和全等三角形判定及三角形面積公式，根據已知得出△

1

AD尸絲八8即絲△CFE是解題關鍵，解題的突破點是記住SAABC=±Q+b+cAr。是△A2C內切圓的半

徑）.

10.如圖，Rt^ABC頂點A,B分別在y軸，x軸上，ZABC=90°,且AB=20,AC=10V5.將△ABC沿

AC折疊，2點落在。處，ZBAD+ZCBX^90°,則△498的內心的坐標是（）

【分析】延長。C交x軸于E點，如圖，先利用勾股定理計算出3c=10和證明AD〃。5再根據折疊的

性質得/■D=/4BC=90°,AD=AB=20,接著判斷四邊形AOED為矩形，然后判斷△AOBs/^EC,

利用相似比得到生=—=—=2,設OB=t,則CE=%,BE=20-t,在RtACBE中利用勾股定理得

BECEBC2

1

到（20-t）12+（T）2=102,解方程得到03=12,則。4=16,然后計算出AAOB的內切圓的半徑，從

2

而得到△A03的內心的坐標.

【解答】解：延長。C交x軸于E點，如圖，

VZABC=90°,

ZABO+ZCBE=90°,BC=y/AC2-AB2=J(10V5)2-202=10,

而/BAD+/CBE=90°,

ZBAD=ZABO,

J.AD//OE,

「△ABC沿AC折疊，3點落在。處,

AZD=ZABC=90a,AZ)=AB=20,

ZBEC=90°,

四邊形AOE。為矩形,

：.OE=AD=20.

VZABO+ZBAO=90°,ZABO+ZCBE=90°,

???ZBAO=ZCBE,

1^ZAOB=ZBEC,

：.AAOBsABEC,

?OAOBAB20

??BE-CE-BC_1。一'

設OB=t,則CE=3,BE=20-t,

1

在RtzXCBE中，(20-r)2+(r)2=102,

2

整理得P-32什240=0,解得九=12,?2=20(舍去),

.*.05=12,

：.OA=7AB2-OB2=V202-122=16,

設△A08的內切圓的半徑為r,則，=12+片。=4,

.?.△A02的內心的坐標為(4,4).

故選:A.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與

三角形頂點的連線平分這個內角.也考查了勾股定理、折疊的性質和相似三角形的判定與性質.

11.如圖所示，△A2C的內切圓O。與A3、BC、AC分別相切于點￡＞、E、F,若/DEF=55°,則/A的

度數是（）

A.35°B.55°C.70°D.125°

【分析】根據三角形的內切圓與圓心和圓周角定理即可求解.

【解答】解：連接OO,OF,OA,如下圖所示，

A

BEC

：△ABC的內切圓O。與A3、BC、AC分別相切于點D、E、F,

VZDEF=55°,

AZDOF=2ZDEF=2X55°=110°（圓心角是圓周角的2倍），

:在三角形AOD與三角形AOF中，

VZA+ZADO+ZAFO+ZDOF='360o,

VAD,A尸是圓的切線，

AZADO=ZAFO=90°,

—360°-90°-90°-110°=70°,

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與圓心和圓周角定理，解題關鍵根據圓周角求出圓心角/QOF即可

得出答案.

12.如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點。，連接BO,BE,CE,若/

CBD=32°,則NBEC的大小為（）

D

A.64°B.120°C.122°D.128°

【分析】根據圓周角定理可求NCAD=32°,再根據三角形內心的定義可求/BAG再根據三角形內角

和定理和三角形內心的定義可求/EBC+NECB,再根據三角形內角和定理可求N8EC的度數.

【解答】解：在OO中，?.?NCBD=32°,

AZCAD=32°,

:點E是△ABC的內心，

ZBAC=M0,

:.NEBC+/ECB=（180°-64°）+2=58°,

AZBEC=180°-58°=122°.

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的內心，圓周角定理，三角形內角和定理，關鍵是得到/EBC+/ECB的度數.

二.填空題

a—b

13.如圖，已知正方形A5CD的邊長為〃，正方形EFGH的邊長為。，則AAE尸的內切圓半徑為―r

【分析】根據正方形的性質可以證明A4跖&ZX3尸G,得AE=BF,再根據直角三角形內切圓的半徑等于

兩條直角邊的和減去斜邊的差的一半進行計算.

【解答】解：,??四邊形ABCO和四邊形EFGH都是正方形,

AZA=ZB=ZEFG=90°,EF=FG,

：.ZAFE=NBGF,

：.AAEF^ABFG(A4S),

：.AE=BF,

.\AE+AF=AB=a,

a-b

：.AAEF的內切圓半徑——，

2

a—b

故答案為——

2

【點評】此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及直角三角形內切圓的半徑公式：直角

三角形內切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半.

14.如圖，點。是AABC的內切圓的圓心，若/BAC=80°,則/BOC=130°（填度數）.

【分析】運用三角形內角和定理得出/ABC+/ACB的度數，再根據點。是△A2C的內切圓的圓心，得

出/OBC+/OCB=50°,從而得出答案.

【解答】解：???/54C=80°,

ZABC+ZACB=180°-80°=100°,

?..點。是△ABC的內切圓的圓心,

：.B0,CO分別為NA2C,的角平分線,

：.ZOBC+ZOCB=5Q°,

AZBOC=130°.

故答案為：130°.

【點評】本題主要考查對三角形的內角和定理，三角形的內切圓與內心等知識點的理解和掌握，能求出

ZOBC+ZOCB的度數是解此題的關鍵.

7IA/Q7/QIqQ

15.等腰△A2C中，ZA=60°,其面積為丁一，它的內切圓面積為，一一工.

【分析】根據有一個角等于60°的三角形是等腰三角形，得到△ABC是等邊三角形，設它的內切圓的半

徑為r,求出三角形的邊長和高代入三角形的面積公式解得r=譽或，于是得到內切圓面積為:名詈m

olV3243

【解答】解：?:△ABC是等腰三角形.

VZA=60°,

：.AABC是等邊三角形,

設它的內切圓的半徑為八

.\BC=2y/3r,高=3r,

S/\ABC=2x2V3r*3r=

解得：勺警，

olV3

.??內切圓面積為：譽導碧4K

81V3SD

，……，7V3+12

故答案為：------IT.

243

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，等邊三角形的面積，圓的面積，熟練掌握三角形內切圓的

性質是解題的關鍵.

16.如圖，。。是△ABC的內切圓，與AB,BC,CA分別切于點DE,F,ZD0E=120°,Z￡0F=110°,

則/A=50°,ZB=60°,ZC=70°

【分析】利用切線的性質得出班=NOEC=NOPC=90°,進而利用四邊形內角和定理以

及三角形內角和定理得出答案.

【解答】解：是AABC的內切圓，與AB,BC,C4分別切于點。，E,F,

，ZODB=ZOEB=ZOEC=NOFC=90°,

又?.,/￡>OE=120°,ZEOF=110°,

AZB=360°-120-90°-90°=60°,

ZC=360°-110°-90°-90°=70°,

AZA=180°-ZB-ZC=50°.

故答案為：50°,60°,70°.

【點評】此題主要考查了切線的性質以及四邊形內角和定理以及三角形內角和定理，熟練應用切線的性

質定理是解題關鍵.

17.在Rt/XABC中，ZC=90,AC=6,BC=8,且△ABC的三邊都與圓。相切，則圓O的半徑r=2.

【分析】設O。半徑是r,連接04、OB、OC、OD,OE、OF,根據勾股定理求出AB,根據三角形的面

積公式得出S^CB—SAOAC+S^OBC+SAOAB>代入求出即可.

【解答】解：設O。半徑是r,

連接OA、OB、OC、OD、OE、OF,

：OO為△ABC的內切圓，切點是E、F,

：.OD±AB,OEA.CB,OF±AC,OD=OE=OF=r,

"：AC=6,BC=8,由勾股定理得：AB=1Q,

根據三角形的面積公式得：S^ACB=S^OAC+SAOBC+S^OAB，

/.ACXBC=ACXr+BCXr+ABXr,即：6X8=6廠+8日lOr,

.*.r=2.

故O。半徑是2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了切線的性質，三角形的內切圓與內心，三角形的面積等知識點的理解和掌握，

能得出S/^CB=S^OAC+SAOBC+S^OAB是解止匕題的關鍵.

18.如圖，內切于△ABC,切點依次為￡>、E、F,若AB=5,BC=Q,AC=8,那么">=3,BE

=2,CF=5.

【分析】根據切線長定理求出AD=ARFC=EC,BD=BE,設AD=無，進而用x表示出2C的長，即

可求出答案.

【解答】解：:。。內切于△ABC,切點依次為E、F,AB=5,BC=1,AC=8,

：.AD=AF,FC=EC,BD=BE,設貝UAF=尤，

.*.FC=8-x,BE=BD=AB-AD—5-x,

:.EC+BE=8-x+5-x=BC=J,

解得：x=3,

.,.FC=8-3=5,BE=BD=5-3=2,

故答案為：3,2,5.

【點評】此題主要是考查了切線長定理.要掌握圓中的有關定理，才能靈活解題.

19.如圖，△A2C的三邊分別切O。于D、E、F,若NA=50°,則/￡>所=65°.

【分析】連O￡>,OF.則得到/與/。跖的數量關系.而/OOP與是互補的，因此先求出/

DOF,再就能得到角DEE

【解答】解：連OD,OF,如圖，

貝l]ODLAB,OFLAC；

：.ZDOF=180°-ZA=180°-50°=130°,

ii

又,：NDEF="DOF=/130。=65°,

故填65°.

【點評】熟練掌握切線的性質定理和圓周角定理.記住四邊形的內角和為360。.

20.如圖，在△ABC中，點。是△ABC的內心，NA=48°,NBOC=114°.

【分析】利用內心的定義，OB,OC都是角平分線，因此可求出NOBC與/0C8的和，從而得到/BOC

的度數.

【解答】解：是△ABC的內心，

：.OB,OC分別平分NA2C,ZACB,

11

/.ZOBC+ZOCB=(ZABC+ZACB)=工(180°-48°)=66。,

AZBOC=180°-66°=114°.

故答案為：114.

【點評】此題主要考查了三角形的內心性質，理解三角形內心的定義，記住三角形內角和定理是解題的

關鍵.

21.如圖，△ABC的內切圓與三邊分別相切于點。、E、F,若乙8=50°,則65度.

【分析】設的內切圓圓心為O,連接OE,OF,根據△ABC的內切圓與三邊分別相切于點。、E、

F,可得OF±BC,再根據四邊形內角和可得/EOE的度數，再根據圓周角定理即可得結論.

【解答】解：如圖，設△ABC的內切圓圓心為。，連接OE,OF,

：△ABC的內切圓與三邊分別相切于點。、E、F,

J.OELAB,OF±BC,

：./OEB=/OFB=9Q°,

VZB=50°,

AZEOF=180°-50°=130°,

:.NEDF="EOF=65。.

故答案為：65.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，切線的性質，解決本題的關鍵是掌握三角形內切圓與內心.

22.如圖，△A2C的周長為24c〃z,AC=8cm,。。是△ABC的內切圓，。。的切線與A3、BC分別交

于點M、N,則△BMN的周長為8cm.

【分析】設。。與△ABC與各邊的切點分別為。、E、F,。。與MN相切于G點，如圖，利用切線長定

理得到AD=AF,BD=BE,CF=CE,MD=MG,NG=NE,則可計算出AD+CE=S,接著利用AB+BC

=16得到BD+BE=8,然后利用等線段代換得到的周長二^^山丘

【解答】解：設。。與△4BC與各邊的切點分別為。、E、F,。。與MN相切于G點，如圖，

：.AD=AF,BD=BE,CF=CE,

VAC=8,BPAF+CF=8,

：.AD+CE=S,

,/AABC的周長為24,

：.AB+BC+AC=24,

：.AB+BC=16,

即BD+AD+BE+CE=\6,

：.BD+BE=8,

?；OO的切線MN與AB、2C分別交于點M、N,

：.MD=MG,NG=NE,

:ABMN的周長=BM+BN+MN=BM+BN+MG+NG=BM+BN+MD+NE=BD+BE=8(cm).

故答案為8.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與

三角形頂點的連線平分這個內角.也考查了切線長定理.

23.如圖，是等邊△A2C的內切圓，分別切AB,BC,AC于點￡,F,D,P是麗上一點，則NEPF的

度數是60。.

【分析】連接OE、OF,如圖，根據三角形內切圓的定義和切線的性質得到OF±BC,則利用

四邊形的內角和得到/8+/EOF=180°,則可求出/EOF=120°,然后根據圓周角定理得到/EPF的

度數.

【解答】解：連接。尾OF,如圖，

?；OO是等邊△ABC的內切圓，

：.OE±AB,OF±BC,

：.ZBEO=ZBFO=90a,

：.ZB+ZEOF=ISQ°,

,/△ABC為等邊三角形，

AZB=60°,

：.Z￡OF=180°-ZB=120°,

1

AZEPF=^ZEOF=60°.

故答案為600.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓.三角形的內

心就是三角形三個內角角平分線的交點.也考查了切線的性質、等邊三角形的性質和圓周角定理.

三.解答題

24.如圖，△ABC中，AC=BC,/為△ABC的內心，經過8,/兩點，且。在8C邊上，與BC交

于點D.

(1)求證：C/為的切線；

1

(2)若tanNC3/=爭AB=6,求5c的長.

【分析】(1)連接C7延長C7交A3于連接0/,作。石_13/于只要證明CH_L43,OI//AB,即

可推出OILCh

(2)想辦法求出。￡即可解決問題；

【解答】(1)證明：連接C/延長C/交A3于“，連接0/,作OEL3/于E.

?:/是內心，

???ZIBH=/IBO,

?：OB=OI,

：,/0BI=/0IB,

：.ZIBH=Z0IB,

：.OI//AB,

9

：CA=CBf/HCA=/HCB,

：.CH上AB,

：.CHLOI

，/c是。。的切線.

1

(2),?tanZCBI=tanZIBH=1,

【點評】本題考查三角形的內心與內切圓、等腰三角形的性質、切線的判定、勾股定理，平行線的性質

等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，熟練應用內心的性質解決問題，學會利用參數解決問題，

屬于中考常考題型.

25.如圖1,。。為△ABC的外接圓，點。在圓上，AO為△ABC中/CAB的外角平分線.

(1)如圖1,證明：DB=DC；

D

(2)如圖2,延長ZM交BC的延長線于/點，△CZJM的內心尸在前■上，若tan/M=],求tan/DCB

的值.

【分析】(1)如圖1中，只要證明/。BC=/3即可解決問題；

(2)如圖2中，作尸尸_LBM于F,PELDM于E,連接PD、PM、PC、PA.首先證明肱1=MC,作AH

QAU

_LCM于H,由tan/AMC=1=瑞，設A”=3Z,HM=4k,則AM=CM=5Z,CF=k,推出tan/AC”=

Au2卜

器=*=3,由/04加=/05。=/￡)。3=/4。3,可得tanNOC8=3.

【解答】(1)證明：如圖1中，

VZ2+Z￡>AC=180°,ZDBC+ZDAC=1SO°,

：.Z2=ZDBCf

VZ1=Z3,N1=N2,

???ZDBC=Z3,

：.DB=DC.

(2)解：如圖2中，作尸口L3M于尸，PELDM于E,連接尸。、PM、PC、PA.

D

???尸是△OCM的內心，

AZPMA=ZPMC,NPDA=/PDC,

：.PE=PF,PA=PC,

易證絲△尸/C,APEM^APFM,

：.AE=CFfEM=FM,

：.AM=CM,

作AH_LCM于H,

QAU

VtanZAMC=4=

設A”=3Z,HM=4k,則AM=CM=5Z,CF=k,

tanZAC//==半=3,

?/ZCAM=ZDBC=ZDCB=ZACB,

tanZDCB=3.

【點評】本題考查三角形的內心、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質、勾股定理、全等三角形的判

定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

26.在△ABC中，〃是邊的中點，/是內切圓的圓心，于點“，E是直線與A”的交點，求

證：AE=r.其中r是內切圓的半徑.

【分析】設圓/與8C相切于P,連接/P,設AB=c,AC=b,BC=a,根據已知條件得到BM=去根據

切線的性質得到尸2=丐心，根據三角函數的定義得到B〃=c?cos/B=g/，根據相似三角形的

h-4-r

性質得到EH=r-----①

a

根據三角形的面積公式得到AH=吐泮于是得到結論.

【解答】證明：設圓/與BC相切于尸，連接"，

設A8=c,AC=b,BC=a,

EHn”ann。+。一6nr」/ntt2+C2—Z)2

則BM=2，PB=——，BH=c?cosNB=,

LlPMs^MEH,

aa2+c2-b2

EHHMBM-BH萬一2ab+c

IP-PM-BM-BP—a_a+c-b-

22a

：.EH=i-——①

CL

三角形的面積公式知a*AH=(a+A+c),

.ga+b+c

..AH=----a----

a+b+c

結合①，②可得AE=A”-EH=-r-r?—=r

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的作出輔

助線是解題的關鍵.

27.如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓。。相交于點。，求證：DE=DB.

【分析】根據內心的概念得到乙鉆E=/CBE,/BAO=ND4C,根據圓周角定理得到/C4O=/CB￡>,

根據三角形的外角的性質、等腰三角形的判定定理證明即可.

【解答】證明：?.?點E是△ABC的內心,

:./ABE=NCBE,ZBAD=ZDAC,

由圓周角定理得，ZCAD